高中數(shù)學(xué)建模的教學(xué)與探究

溫茜茜

摘 要：本文對(duì)新高考模式下高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)進(jìn)行教學(xué)探究，文中以2008年美國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)建模B題的抑制城市犯罪暴力問(wèn)題為案例，在此建立回歸分析數(shù)學(xué)模型對(duì)數(shù)據(jù)資料進(jìn)行相關(guān)分析和預(yù)測(cè).在構(gòu)建解題的研究過(guò)程，針對(duì)高中學(xué)數(shù)學(xué)建模，介紹回歸分析類型問(wèn)題解決的建模方法和技巧，包括回歸分析的類型、原理算法、編程計(jì)算、分析解決問(wèn)題，培養(yǎng)和提高中學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力。

關(guān)鍵詞：新高考;高中數(shù)學(xué);建模教學(xué)

一、回歸分析模型

（一）問(wèn)題的提出

犯罪暴力事件，失業(yè)人數(shù)，失業(yè)率，高中入學(xué)人數(shù)，高中輟學(xué)人數(shù)，畢業(yè)率，輟學(xué)率，入獄人口，假釋人數(shù)，假釋違反者，假釋違反的百分比.對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和建模，并為城市制定計(jì)劃以減少犯罪暴力。

（二）回歸分析基本類型及原理

變量之間的相互關(guān)系可分為確定性關(guān)系，也叫做函數(shù)關(guān)系，其特征是：一個(gè)變量隨著其他變量的確定而確定;另一類關(guān)系叫相關(guān)關(guān)系，其特征是：變量之間的關(guān)系很難用一種精確的方法表示出來(lái).由于存在測(cè)量誤差等原因，或當(dāng)對(duì)事物內(nèi)部規(guī)律了解得更加深刻時(shí)，確定性關(guān)系和相關(guān)關(guān)系可能互相轉(zhuǎn)化.

回歸分析就是處理變量之間的相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法，是最常用的數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，能解決預(yù)測(cè)、控制、生產(chǎn)工藝優(yōu)化等問(wèn)題，有著廣泛應(yīng)用.回歸分析一般分為線性回歸分析與非線性回歸分析.

線性回歸又分一元線性回歸和多元線性回歸，其中一元線性回歸為一個(gè)自變量，其模型是y=a+bx+ε，其中a為截距、b為回歸直線的斜率，它們稱回歸系數(shù)，ε是隨機(jī)誤差.多元線性回歸的自變量為多個(gè)，其模型是，其中b0是常數(shù)項(xiàng)，稱為y對(duì)應(yīng)于的偏回歸系數(shù)，ε是隨機(jī)誤差.有時(shí)兩個(gè)變量之間的關(guān)系可以不是線性的相關(guān)關(guān)系，而是某種曲線的相關(guān)關(guān)系，這種情況則需要構(gòu)建曲線回歸分析模型.

非線性回歸即為曲線回歸，又分為一元非線形和多元非線形.一元非線形回歸（曲線回歸）指的是一個(gè)自變量的非線形回歸，主要有對(duì)數(shù)、反函數(shù)、拋物線、三次、復(fù)合、冪函數(shù)、指數(shù)、logistics等曲線方程.多元非線形回歸指的是自變量有兩個(gè)或兩個(gè)以上的非線形回歸.常見(jiàn)的六類曲線代換方法如下：

（1）雙曲線;（2）冪函數(shù)曲線;（3）指數(shù)曲線，其中a>0;（4）倒指數(shù)曲線;（5）對(duì)數(shù)曲線，x>0;（6）S型曲線

（三）回歸分析解題方法

回歸分析的大概解題方法和步驟如下：

（1）數(shù)據(jù)整理（包含因變量和自變量）;

（2）選定因變量與自變量之間的模型（根據(jù)數(shù)據(jù)特征結(jié)合經(jīng)驗(yàn)構(gòu)建數(shù)學(xué)式子），利用數(shù)據(jù)按照最小二乘準(zhǔn)則計(jì)算模型中的系數(shù);

（3）利用統(tǒng)計(jì)分析方法對(duì)不同的模型進(jìn)行比較，找出與數(shù)據(jù)擬合得最好得模型;

（4）判斷得到的模型是否適合于這組數(shù)據(jù);

（5）利用模型對(duì)因變量作出解釋或預(yù)測(cè).

（四）解題并得出結(jié)論

根據(jù)散點(diǎn)圖及經(jīng)驗(yàn)構(gòu)建畢業(yè)率關(guān)于暴力數(shù)量的一元線性回歸模型：

處理數(shù)據(jù)后，經(jīng)過(guò)殘差分析和檢驗(yàn)，從相關(guān)性分析與回歸分析的結(jié)果來(lái)看，畢業(yè)率與暴力事件相關(guān)，且呈現(xiàn)負(fù)相關(guān).當(dāng)畢業(yè)率越低，暴力事件越高;畢業(yè)率高，暴力事件數(shù)量降低.接著對(duì)其進(jìn)行回歸預(yù)測(cè)，可得出暴力事件數(shù)量下降，畢業(yè)率要呈增長(zhǎng)趨勢(shì).

二、對(duì)教材相關(guān)內(nèi)容的分析

新課標(biāo)人教版數(shù)學(xué)必修1第三章第二節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用就安排了用回歸分析的方法來(lái)解決問(wèn)題的內(nèi)容如汽車速率問(wèn)題、人口增長(zhǎng)問(wèn)題、桶裝水銷售利潤(rùn)問(wèn)題、身高體重問(wèn)題等，用學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等來(lái)擬合并解決問(wèn)題.高考中也出現(xiàn)了需要用回歸分析的方法解決的問(wèn)題.

參考文獻(xiàn)

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