淺析高中立體幾何教學(xué)中割補法的運用

劉穎欣

【摘要】 ?割補法是高中立體幾何教學(xué)中較為常見的方法，可以有效地將抽象的立體幾何進行“割補”，輔助學(xué)生解決特殊立體幾何問題，降低知識的難度，提升解題效率。本文從割補法在高中立體幾何中的應(yīng)用意義入手，深入進行分析，并通過實際的案例進行探討，以供參考。

【關(guān)鍵詞】 ?高中 立體幾何教學(xué) 割補法

【中圖分類號】 ?G633.6 ? ? ? ? ? ? 【文獻標(biāo)識碼】 ?A ? 【文章編號】 ?1992-7711（2019）02-146-01

引言

割補法的實質(zhì)是對幾何體進行合理的分割或者補形，進而發(fā)現(xiàn)其與已知幾何之間存在的關(guān)系，呈現(xiàn)出一種全新的構(gòu)造思想，并利用對立統(tǒng)一的辯證思維幫助學(xué)生思考問題，提升其創(chuàng)新意識，形成立體思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)水平。

一、割補法在高中立體幾何教學(xué)中應(yīng)用的意義

受高中立體幾何自身的性質(zhì)影響，具有較強的抽象性，學(xué)生在學(xué)習(xí)相關(guān)知識過程中，經(jīng)常出現(xiàn)難以理解的內(nèi)容，難以直觀的感受知識內(nèi)涵，影響自身的學(xué)習(xí)效果，逐漸對立體幾何知識失去興趣。靈活利用割補法進行教學(xué)，可以促使學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思維，通過割補將抽象的立體幾何轉(zhuǎn)換為學(xué)生熟悉的知識內(nèi)容，達到“歸化”思想的目的，有效的解決立體幾何問題。與此同時，通過割補法進行分割與補充可以從整體上提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促使其積極主動進行學(xué)習(xí)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提升自身的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)，全面發(fā)展。

二、高中立體幾何教學(xué)中割補法的應(yīng)用分析

（一）分割法

分割法的實質(zhì)是將立體幾何進行合理的分割，將抽象的幾何體分割為學(xué)生熟悉的幾何體，通過分析各部分之間的關(guān)系明確其整體的性質(zhì)，以達到解題的目的，降低習(xí)題的難度。例如，以習(xí)題為例，已知三棱錐P-ABC，其中PA長為4，PB=PC長為2，∠APB=∠APC=∠BPC均為60°求：三棱錐P-ABC的體積，如圖1所示。

分析：在例題中可以將三棱錐P-ABC進行分割，分割為兩個三角形，通過三角形體積計算出三棱錐P-ABC的體積。

解題：以BC的中點D為連接點，連接PD、AD，并以此為基礎(chǔ)過P點作PH⊥AD，通過條件分析已知可證明H為△ABC的垂足，因此PH即為三棱錐P-ABC的高，由棱錐體積公式VP-ABC=■SΔABC·PH即獲得三棱錐P-ABC的體積。

在上述解題過程中，靈活應(yīng)用分割法將三棱錐P-ABC進行合理的分割，但實際上△PAD面積為不規(guī)則圖形，并且其三邊分別為4，■，■，在計算時較為復(fù)雜，不易計算出結(jié)果，可以靈活選擇延長PB、PC至E、F，使PE=PF長為4，則三棱錐P-AEF是正三棱錐，由此證明BC是邊EF上的中位線，進行有效的計算。經(jīng)過延長發(fā)現(xiàn)BC與EF的比為1：2，因此可知SΔPBC與SΔPEF的比值為1：4，又根據(jù)立體已知條件明確三棱錐A-PBC與三棱錐A-PEF的高相等，計算出VA-PBC與VA-PEF的比值為1：4，通過VA-PEF=■■計算出VP-ABC體積為■■.

（二）補形法

補形法主要的實質(zhì)是利用補方式將原有的抽象幾何轉(zhuǎn)變?yōu)槿碌膸缀误w，并研究其新幾何體的性質(zhì)，降低知識的難度。例如，以習(xí)題為例，一個四面體的

所有棱長都為■，并且其幾何體的四個頂點處在一個球面上，計算出球的表面積為，如圖2所示。

分析：通過分析明確三角形的ΔADC的重心，并設(shè)其重心為E，由此可知

的重心為E，則球心在線段BE上，可在直角三角形進行合理的計算，但受其幾何體因素影響，在計算過程中較為復(fù)雜，可以選擇補形法進行計算。

解題：以現(xiàn)有的圖形為基礎(chǔ)，將正四面體補充為一個球形，實現(xiàn)正方體的外接球，由此可知正四面體的棱長為■，進而計算出正方體的棱長為1，由此可知外接球半徑為■/2，計算出球形的體積為3π.

例如，另一習(xí)題中，也同樣采用補形法進行計算，已知的幾何體ABCD-EFGH是一個平面截長方體的剩余部分，并已知AB=4BC=3，AE=5，BF=8，CG=12，求幾何體ABCD-EFGH的體積。

分析：在計算過程中，應(yīng)首先分析當(dāng)前的梯形ACGE，并且BFHD中的位線相重合，進而明確其DH的長為9，選擇補形法進行應(yīng)用，延長其邊長AE，BF，CG，DH，獲取其延長點，將整體的圖形進行合理的補充，最終獲取點

A′B′C′D′，并保證AA′=BB′=CC′=DD′=17，通過其條件計算出EA′=12，F(xiàn)B′=9，GC′=5，HD′=8，最終可知經(jīng)過補形的長方體ABCD-A′B′C′D′的體積與幾何體ABCD-EFGH的體積比為2：1，由此可以計算出VABCD-EFGH=1/2VABCD-A′B′C′D′=1/2×3×4×17=102，獲得最終的體積數(shù)值。靈活選擇補形法有效的促使其抽象度降低，幫助學(xué)生明確問題的實質(zhì)，從整體上進行幾何圖形優(yōu)化，充分利用已知條件，達到解決問題的目的。

結(jié)論

綜上所述，割補法在高中立體幾何教學(xué)中的應(yīng)用，可以從整體上降低立體幾何的難度，并幫助學(xué)生將抽象的圖形進行合理的轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的知識內(nèi)容，通過分割或者補充進行知識的歸化，幫助學(xué)生明確問題的實質(zhì)，從整體上思考問題，促使問題更加直觀，創(chuàng)新學(xué)生的思維，促使學(xué)生提升自身的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)水平，實現(xiàn)全方面發(fā)展。

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