高中不等式恒成立問題解題策略分析

楊智博

摘 要：高中數(shù)學常見問題中，不等式恒成立問題是貫穿整個高中數(shù)學的重要內容，縱觀十年的高考數(shù)學試題，不管是在選擇題、填空題還是簡答題，不等式恒成立出現(xiàn)的幾率都非常大，尤其是結合函數(shù)、數(shù)列等知識點作為壓軸大題出現(xiàn)時，難度較大且學生得分率不高，本文根據不等式的類型和特點采用不同的解題方法。

關鍵詞：不等式恒成立;重要不等式;解題方法

一、高中不等式的基本內容

（一）不等式的基本性質

不等式的基本性質是學習不等式的基礎，也是證明不等式與解不等式的主要依據，實質是運用實數(shù)運算來定義兩個實數(shù)的大小關系。不等式的基本性質有九種：

（二）重要不等式

高中數(shù)學中幾個重要不等式對于解題非常重要，主要有均值不等式、柯西不等式、基本不等式、絕對值不等式等，其中基本不等式難度有所降低但應用非常廣泛，而柯西不等式等難度略高。

3.絕對值三角不等式

第一種情況，兩個實數(shù)的絕對值三角不等式，若a，b都是實數(shù)，則當且僅當ab≥0時等號成立

第二種情況，多個實數(shù)的絕對值三角不等式，若a，b，c，都是實數(shù)，則當且僅當（a-b）（b-c）大于等于0時，等號成立。

二、不等式恒成立問題解題常用方法

（一）用一元二次方根的判別法

這是最簡單的一種解題方法，一般出現(xiàn)在選擇題或者填空題中，做題時應注意不等號符號。

例如：對于x∈R，不等式x2-2x+3-m≥0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。

解題關鍵：將有關參數(shù)的一元二次不等式轉化為二次函數(shù)或者二次方，利用其函數(shù)圖像來解題。如果二次函數(shù)的定義域不是R，相當于在指定的區(qū)間內求不等式恒成立，這時韋達定理、根與系數(shù)的分布公式就可以幫助我們求解，有時轉換為求最值也不失為一種好方法。

解析：設f（x）=x2-2x+3-m≥0，其函數(shù)圖像是開口向上的拋物線，要使f（x）=x2-2x+3-m≥0，只需要使△≥0即可，即（-2）2-4（3-m）≤0，由此解得m≤2.

（二）分離變量法

在不等式中通常會有兩個變量，一個變量是已知的，將已知的變量與所求的變量分別置于不等號兩邊或者將不等式問題轉化為求最值。

例如：x∈（1，2）時，不等式x2+mx+4

解析：當x∈（1，2）時，由x2+mx+4-5 可得 m≤-5

解題關鍵：利用分離變量法來確定不等式時，實參數(shù)的取值范圍很重要，先將參數(shù)與變量分離，再解出不等式，得出參數(shù)的取值范圍，最終再轉化為函數(shù)值。

（三）數(shù)形結合法

用最直接的辦法解不等式是學生最常用的，但對于一些不等式來說，直接解函數(shù)會增加困難而且無法解得最終答案，此時需要轉換解題思路，若把不等式進行變形，使得我們可以畫出函數(shù)的圖像，通過圖像就可輕而易舉的判斷出結果，這種方法在選擇題中尤其適用，觀察圖像就能立馬在給定選項中鎖定正確答案。

例如：f（x）≥2x-m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍。

解析：畫一平面直角坐標系，在坐標系中分別作出函數(shù)y=2x-m和y=f（x）的圖像，由于f（x）≥2x-m恒成立，所以函數(shù)y=2x-m應該總是在函數(shù)y=f（x）的圖像下方，因此當x=-2時，y=-4-m≤0，所以m≥-4，故m的取值范圍是[-4+∞）。

解題關鍵：不等式問題與函數(shù)問題常常是分不開的，將不等式轉化為兩個函數(shù)，利用函數(shù)圖像的位置來確定參數(shù)的范圍，關鍵在于構造函數(shù)，準確畫出函數(shù)圖像。

三、解題策略小結

對于一次函數(shù)問題，利用一次函數(shù)的圖形特征就可求解，對于二次函數(shù)問題，結合拋物線轉化為求最值得問題，注意對參數(shù)的范圍分類討論，不管是一次函數(shù)還是二次函數(shù)，都可以用數(shù)形結合法。

對于f（x）≥g（x）這種題型的問題，利用數(shù)形結合法的思想轉化為函數(shù)圖像的上下關系進行求解，也可以用參數(shù)分離法，將問題轉化為a≥f（x）或者a≤f（x）恒成立，這里就可以運用不等式知識和函數(shù)求最值的方法求解。

結束語：雖然不等式的題型變化多樣，但萬變不離其宗，牢牢掌握解題方法非常重要，抓準出題人的意圖，準確的判斷出用何種方法解題是關鍵，學好不等式恒成立的相關內容，對同學們的幫助不僅僅是成績的提高，更是思維的擴展，能提高學生的探究欲望和解決問題的能力。

參考文獻

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