一種新型雙曲拋物面椅子的數(shù)學(xué)原理

楊小兵 胡丹 吳朦

摘要：本文研究了一種新型雙曲拋物面椅子的數(shù)學(xué)原理.對于新型椅的構(gòu)成做了簡單闡述，根據(jù)新型椅的特點(diǎn)，抽取數(shù)學(xué)模型，確定了椅子所在的線面方程，對其進(jìn)行了數(shù)學(xué)描述.對于椅子的穩(wěn)定性，利用力矩平衡法對椅子的重心進(jìn)行探討，并對該方法進(jìn)行了分析.最終運(yùn)用Matlab軟件繪制了椅子的內(nèi)部形狀，利用Maple軟件模擬了椅子的動態(tài)形成過程.

關(guān)鍵詞：馬鞍面;椅子模型;動態(tài)變化;重心

中圖分類號：O29? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? 文章編號：1673-260X（2019）02-0008-03

椅子的造型主要以線和以體為主[1].隨著經(jīng)濟(jì)和科技的發(fā)展，人們對椅子有了更高層次的追求，表現(xiàn)為對椅子各方面的創(chuàng)新.早在20世紀(jì)50年代設(shè)計(jì)大師Bertoia設(shè)計(jì)的以線為造型的“鉆石椅”[2]，它是用一張金屬網(wǎng)作為椅背焊接而成，簡單耐用卻不失華美.再如20年代，荷蘭家居設(shè)計(jì)師Gerrit Thomas Rietveld設(shè)計(jì)了以體為造型的具有立體形態(tài)的紅藍(lán)椅[3]，它是由幾何形態(tài)的木板組合而成，整體的立體形態(tài)和鮮艷的色彩交相輝映.

椅子的創(chuàng)新除了造型設(shè)計(jì)，還涉及椅子的模擬與仿生原理[4]，如1936年西班牙Salvador Dalia就設(shè)計(jì)了一種類似于嘴唇型的沙發(fā)[5]，具有超現(xiàn)實(shí)主義風(fēng)格;1954年，Sori Yanagi設(shè)計(jì)的酷似蝴蝶的凳子[6]，它由兩片彎曲定型的纖維板通過一個軸心連接而成;1956年美國Geoge Nelsom設(shè)計(jì)的琴鍵型椅子，將音樂融入了家具設(shè)計(jì)中.這些椅子的設(shè)計(jì)不僅僅是物質(zhì)創(chuàng)新，還是人類精神文明的創(chuàng)新.

目前，美國設(shè)計(jì)師Carlo Aiello也設(shè)計(jì)了一種新型的拋物線椅，這是一種以線為造型的椅子，它充分運(yùn)用了直紋面的設(shè)計(jì)理念，用不銹鋼網(wǎng)制作而成，其幾何形態(tài)十分優(yōu)美.其創(chuàng)新之處在于，整體綜合了馬鞍面和人體工程學(xué)[7].由于國內(nèi)外的椅子只有少部分是運(yùn)用了馬鞍面的理念，因此研究這類椅子的構(gòu)造原理、動態(tài)生成及重心等對椅子的創(chuàng)新顯得尤為重要.

1 椅子的組成部分

該設(shè)計(jì)來源于雙曲拋物面的數(shù)學(xué)分析及其最小表面厚度和長跨距的強(qiáng)結(jié)構(gòu)特征.椅子的外部是由三個三角形組成的一個輕質(zhì)支撐框架，椅子的內(nèi)部是由兩個高度對稱的雙曲拋物面（馬鞍面）合并成一個單一的表面作為椅座和靠背.其表面是由一個個開放的不銹鋼網(wǎng)絡(luò)交織而成，可以帶來多孔的視覺陳述，而光線和空間的流動與周圍環(huán)境融為一體，給人一種視覺的沖擊.簡約而不簡單，深受人們喜愛.通過查閱相關(guān)資料，可知椅子的實(shí)際參數(shù)[7]為：高h(yuǎn)1=94cm，長L=102cm，寬d=89cm，座位高h(yuǎn)2=43cm.如圖1所示：

2 提取抽象的數(shù)學(xué)模型，建系作圖

如圖2所示，已知這張椅子左右結(jié)構(gòu)高度對稱，且椅子中兩個馬鞍面共用平面OAA1.以椅子的后落地點(diǎn)作為原點(diǎn)O，y軸過BB1中點(diǎn)，Z軸過靠背頂點(diǎn)C，建立空間直角坐標(biāo)系.如圖2所示：

根據(jù)最能引起美感的比例設(shè)計(jì)，可取E為線段OA的黃金分割點(diǎn)，則有：

椅座馬鞍面方程為：

z=-0.067（x2+y2）+0.057xy

椅座和靠背的方程并非標(biāo)準(zhǔn)的馬鞍面方程，需要其標(biāo)準(zhǔn)方程經(jīng)過旋轉(zhuǎn)、平移，這里只給出了椅座的方程，靠背的馬鞍面方程同理可求，計(jì)算中其結(jié)果四舍五入，保留到千分位.

通過抽取抽象的數(shù)學(xué)模型，對椅子建立了空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)椅子的特點(diǎn)及各組成部分之間的關(guān)系，利用實(shí)際參數(shù)和一個巧妙的比例對椅子支撐框架、椅座和靠背進(jìn)行分析.求解出這些方程為后面椅子的仿真模擬作鋪墊.

3 椅子的重心

不論物體如何放置，其重力的合力作用線相對于物體總是通過一個確定的點(diǎn)，這個點(diǎn)稱為物體的重心[8].確定物體重心的位置在產(chǎn)品設(shè)計(jì)、機(jī)械制造、工程上有著非常重要的意義，而椅子重心的位置就對其使用的穩(wěn)定性和舒適性有著直接的影響.目前測量物體重心的方法有力矩平衡法、質(zhì)量矩守恒、引力法、懸掛法等[9].本文主要采用力矩平衡法求椅子的重心，并對這種方法進(jìn)行了分析.

3.1 力矩平衡原理

力矩：在物理學(xué)里是指作用力使物體繞著轉(zhuǎn)動軸或支點(diǎn)轉(zhuǎn)動的趨向，力矩可以分為力對軸的矩和力對點(diǎn)的矩，力矩M的計(jì)算為：

當(dāng)作用在物體上多個力的合力矩為零時叫作力矩平衡，有固定轉(zhuǎn)動軸的物體的平衡條件是力矩的代數(shù)和為零.

3.2 力矩平衡法求椅子的重心

用力矩平衡法求椅子重心，首先需要測量椅子的重量，其次測量個支撐點(diǎn)受力大小，然后設(shè)出重心坐標(biāo)結(jié)合力矩平衡即可求出重心[10-11].本文的計(jì)算結(jié)果采用四舍五入，經(jīng)查閱資料，知道該椅子的質(zhì)量為5kg，以D2點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖3所示：

運(yùn)用傾斜法求z的坐標(biāo)[9]，保持B、B1支撐點(diǎn)的狀態(tài)不變，將O點(diǎn)抬高60cm，此時椅子與水平面的夾角可以近似為？琢=？仔6，傳感測力器測得O、B、B1點(diǎn)示數(shù)分別為：

由式（1）～式（5）可知重心F（34，0，43），此時椅子的重心剛好落在椅座的馬鞍面上，如圖3所示.根據(jù)三角形重心坐標(biāo)，可知底面三角形重心為G（34，0，0），即椅子的重心剛好與椅子框架落地點(diǎn)所組成的三角形的重心重合.這樣的高度吻合，可見該椅子的設(shè)計(jì)十分巧妙.該椅子上重下輕，重心較低.當(dāng)有人坐在上椅子時，使得重力對支點(diǎn)產(chǎn)生力矩，即抵抗力距.由于各支撐點(diǎn)與原點(diǎn)的距離不斷增大，抵抗力矩也隨之增大，最終實(shí)現(xiàn)和外力力矩的平衡.此時，椅子的重心有所降低，重心的投影仍與底面三角形的重心重合，加上椅子的支撐框架為三角形，充分體現(xiàn)了椅子的穩(wěn)定性.

結(jié)果分析：用力矩平衡法求椅子的重心操作簡單，結(jié)果較為準(zhǔn)確，是一種測量重心的好方法，但是需要傳感測力器.另外，查閱資料可知該椅子的材料采用304號不銹鋼，且密度均勻?yàn)?.93g/cm3理論上我們可以利用質(zhì)心去近似計(jì)算椅子重心，該方法不需實(shí)驗(yàn)儀器，只需確定積分區(qū)間和椅子體積，也不失為一種方法，這就需要我們在面對具體的問題中，采用適當(dāng)?shù)姆椒?

4 椅子的動態(tài)生成過程

研究椅子的生成過程，對于椅子的設(shè)計(jì)尤為重要.這里采取由局部到整體的研究方法，要研究整個椅子的動態(tài)生成過程，就必須清楚椅子每一部分是如何生成過程.首先運(yùn)用Matlab軟件繪制了椅座靠背連一起的情況，如圖6所示，再利用Maple軟件對椅子的仿真模擬得到如圖7的結(jié)果.

5 結(jié)語

本文通過建立椅子支撐框架直線方程模型和椅座、靠背馬鞍面方程模型，考慮椅子的穩(wěn)定性，采用力矩平衡法對椅子的重心進(jìn)行計(jì)算，并將這種方法進(jìn)行分析，最后利用Matlab軟件、Maple軟件繪圖，直觀地描述了該新型椅子的數(shù)學(xué)原理和動態(tài)生成過程.

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