混雜隨機(jī)系統(tǒng)基于離散時(shí)間狀態(tài)觀測(cè)的幾乎必然指數(shù)鎮(zhèn)定

余珮琳　崔瑤　程培*

摘??? 要：基于離散時(shí)間狀態(tài)觀測(cè)，研究混雜隨機(jī)系統(tǒng)的幾乎必然指數(shù)鎮(zhèn)定.在擴(kuò)散項(xiàng)和漂移項(xiàng)中同時(shí)加入反饋控制器，通過選取適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)，利用Markov鏈的平穩(wěn)分布和穩(wěn)定性分析的方法，得到混雜隨機(jī)系統(tǒng)的幾乎必然指數(shù)鎮(zhèn)定，再通過含有線性反饋控制器系統(tǒng)的穩(wěn)定性來說明所得結(jié)果的可行性.

關(guān)鍵詞：混雜隨機(jī)系統(tǒng);離散時(shí)間觀測(cè);Lyapunov函數(shù);幾乎必然指數(shù)鎮(zhèn)定;p階矩指數(shù)穩(wěn)定

中圖分類號(hào)：O231????????????????? DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2019.02.017

0?引言

隨機(jī)系統(tǒng)，是一類受隨機(jī)因素作用的時(shí)間過程的數(shù)學(xué)模型.由于實(shí)際系統(tǒng)中不可避免的存在隨機(jī)因素，且很多實(shí)際系統(tǒng)也無法避免它的影響.因此在很多領(lǐng)域及工程實(shí)際應(yīng)用中，隨機(jī)系統(tǒng)得到廣泛的應(yīng)用，隨機(jī)系統(tǒng)的理論也得到學(xué)者廣泛關(guān)注[1-2].其中重要的一類是混雜隨機(jī)微分方程，也被稱為帶有Markov切換的隨機(jī)微分方程.

近年來，越來越多的學(xué)者研究了混雜隨機(jī)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定性[3-5]，但是大多數(shù)學(xué)者研究的是其p階矩指數(shù)鎮(zhèn)定和均方指數(shù)鎮(zhèn)定[6-9].考慮到連續(xù)時(shí)間觀測(cè)費(fèi)時(shí)費(fèi)力，所以研究者通常采取對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行離散時(shí)間觀測(cè)的方法.而反饋控制依賴離散時(shí)間觀測(cè)值導(dǎo)致控制系統(tǒng)成為一個(gè)特殊的混雜隨機(jī)微分方程.在公開的文獻(xiàn)資料中，研究這類離散時(shí)間狀態(tài)反饋控制的文獻(xiàn)非常少，文獻(xiàn)[10]中毛學(xué)榮老師首次對(duì)這方面開展相關(guān)研究.該研究基于離散時(shí)間觀測(cè)，考慮加入混雜隨機(jī)微分方程漂移項(xiàng)的狀態(tài)反饋控制函數(shù)[u（x（t/τ）τ，? r（t） ，? t）]，使得系統(tǒng)達(dá)到均方指數(shù)鎮(zhèn)定.文獻(xiàn)[11]在此基礎(chǔ)上做了改進(jìn)，使得系統(tǒng)的鎮(zhèn)定估計(jì)更加準(zhǔn)確.后來又有一些學(xué)者在此基礎(chǔ)上研究了系統(tǒng)的幾乎必然指數(shù)鎮(zhèn)定，如文獻(xiàn)[12]研究了混雜隨機(jī)系統(tǒng)的幾乎必然指數(shù)鎮(zhèn)定和不鎮(zhèn)定.文獻(xiàn)[13-14]利用M-矩陣的相關(guān)性質(zhì)研究混雜隨機(jī)系統(tǒng)的幾乎必然指數(shù)鎮(zhèn)定.

本文將繼續(xù)研究隨機(jī)混雜隨機(jī)系統(tǒng)的幾乎必然指數(shù)鎮(zhèn)定，不同于文獻(xiàn)[13-14]的是本文運(yùn)用Markov切換的平穩(wěn)分布，利用Borel-Cantelli’s引理、Chebyshev’s不等式等隨機(jī)分析技巧，得到系統(tǒng)幾乎必然指數(shù)鎮(zhèn)定的條件，即[Σi=1mπi（αi+0.5ρ2i-σ2i）<0]，很顯然本文得到的條件保守性更小.最后通過含有線性反饋控制器系統(tǒng)的穩(wěn)定性來說明所得結(jié)果的可行性.

1?準(zhǔn)備知識(shí)

本文采用以下記號(hào)：記[（Ω， F， Ftt≥0， P）]為含有滿足通常條件的代數(shù)流[Ftt≥0]的完備概率空間.令[B（t）=（B1（t）， B2（t）， …， Bm（t））T]為定義在該空間上的m維布朗運(yùn)動(dòng).對(duì)于[x∈?n]，[x]表示其歐幾里得范數(shù).令[r（t）（t≥0）]為定義在概率空間上取值于有限狀態(tài)空間[S=（1， 2， …， N）]的右連續(xù)Markov鏈，滿足

[Ρr（t+δ）=jr（t）=i=γijδ+o（δ） ，??? ??? if? i≠j，1+γiiδ+o（δ） ， if? i=j.]

其中，[δ>0]且[γii=-Σj≠iγij]，[o（δ）]為無窮小量，[γij≥0]表示從[i]到[j]的轉(zhuǎn)移概率.記[Γ=（γij）N×N]，[Γ]是一個(gè)[N×N]的常數(shù)轉(zhuǎn)移矩陣.假定Markov鏈[r（?）]是不可約的.[π=（π1 ， π2 ， …， πm）∈?1×N]為平穩(wěn)分布.另外，對(duì)[j∈S]，當(dāng)[πj>0]及[∑πj>0]，有[π Γ=0].

在[t≥0]上，考慮以下閉環(huán)系統(tǒng)

[dx（t）=f（x（t） ，? r（t） ，? t）dt+u（x（[tτ]τ） ，? r（[tτ]τ） ，? t）dB（t）].????????? （1）

[x0∈?n]為系統(tǒng)（1）的初始狀態(tài)，[x（t;t0，x0）]為系統(tǒng)（1）的唯一解.[f：?n×S→?n]，[u：? ?n×S→?n×m].當(dāng)[τ→0]時(shí)，上述系統(tǒng)（1）轉(zhuǎn)變成以下相關(guān)的混雜隨機(jī)系統(tǒng)

[dy（t）=f（y（t） ，? r（t）， t）dt+u（y（t） ，? r（t）， t）dB（t）].????????????????? （2）

[y0∈?n]為系統(tǒng)（2）的初始狀態(tài)，[y（t ;? t0 ，? x0）]為系統(tǒng)（2）的唯一解.

對(duì)于隨機(jī)混雜系統(tǒng)（1）假設(shè)以下條件都成立.

假設(shè)1.1? 存在正常數(shù)[K1]和[K2]，[?（x ，? y ，? i）∈?n×?n×S]，使得：

[f（x， i， t）-f（y， i， t）≤K1x-y]， [u（x， i， t）-u（y， i， t）≤K2x-y].

假設(shè)1.2? 存在常數(shù)[αi∈?，ρi≥0]和[σi≥0]，使得：

[xTf（x， i， t）≤αix2]， [u（x， i， t）≤ρix]， [xTu（x， i， t）≥σix2]，

[?i∈S，?x∈?n].令[α=maxi∈Sαi]，[ρ=maxi∈Sρi].

假設(shè)1.3? 對(duì)于假設(shè)1.2中的常數(shù)[αi]，[ρi]，[σi] 及平穩(wěn)分布[πi]，有以下式子成立

[Σi=1mπi（αi+0.5ρ2i-σ2i）<0].

定義1.1? 若對(duì)[?x∈?n]，都有

[limt→∞sup（1/t）logx（t; t0， x0）<0， a.s].

則稱方程（1）的解幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定.

2?主要結(jié)果

在證明主要定理之前，先給出以下引理.

引理2.1[2]? 對(duì)于線性方程

[Γc=η]，?????????????????????????????????? （3）

其中[c、η∈?m]，[Γ]是一個(gè)[n×n]的常數(shù)轉(zhuǎn)移矩陣，有以下結(jié)論成立：

1）當(dāng)且僅當(dāng)[πη=0]時(shí)，方程（3）有解，其中[π]是關(guān)于[Γ]的平穩(wěn)分布;

2）記[Im]是所有元素均為1的m維列向量，假設(shè)[c]與[c]是方程（3）的兩個(gè)解，則[c-c=γ0Im，?γ0∈?];

3）[c=γ0Im+h0]為方程（3）的任意解，[γ0∈?]且[h0∈?m]是方程（3）滿足[πh0=0]的唯一解.

引理2.2?? 由引理2.1知方程[Γc=v+βIm]有解[c=（c1， c2， …， cm）∈?m]， 其中，[v=（v1， v2， …， vm）T∈?m]，[β=-πv].

證? 定義列向量[v=（v1， v2， …， vm）T∈?m]，其中[vi=αi+12ρ2i-σ2i]，

令[β=-πv]，則[β=-Σi=1mπi（αi+12ρ2i-σ2i）>0].證畢.

令[cmin=min{ci}]，[cmax=max{ci}].

引理2.3? 若假設(shè)1.1—假設(shè)1.3成立，則對(duì)于[?（x0，r0）∈?n×S]，[?p∈（0，1）]及[γ>0]，混雜隨機(jī)系統(tǒng)（1）的解滿足

[Εy（t; x0， r0）p≤Mx0pe-γpt， ?t≥0]，

其中[M=1-pcmin1-pcmax].

證? 由引理2.2可知：

[vi-Σj=1Nγijcj=-β].?????????????????????????????????? （4）

故存在充分小的[p∈（0， 1）]，使得對(duì)[?i∈S]，下面兩式同時(shí)成立：

[1-pci>0]，???????????????????????????????????? （5）

[β-pσ2i2+Σj=1Nγijcjcip1-pci>0].???????????????????????????? （6）

由式（4）知

[Σj=1Nγij1-pcjp（1-pci）=-（Σj=1Nγijcj+Σj=1Nγijcjcip1-pci）].??????????????????? （7）

定義Lyapunov函數(shù)

[V（y， t， i）=（1-pci）eγptyp].

其中[γ=mini∈Sγi]，[γi=β+Σj=1Nγijcjcip1-pci-p2σ2i]，由式（6）知[γ>0].

簡(jiǎn)記[y（t; x0， r0）=y（t）]，由Dynkin’s公式可得：

[ΕV（y（t）， t， r（t））=V（x0， 0， r（0））+Ε0tLV（y（s）， s， r（s））ds， t≥0]?????????????? （8）

其中，

[LV=pγ（1-pci）eγptyp+p（1-pci）eγptyp-2yTf（y， i， t）+ ? 12p（1-pci）eγptyp-2u（y， i， t）2-p（2-p）2（1-pci）eγptyp-4yTu（y， i， t）2+ ? Σj=1Nγij（1-pcj）eγptyp.]

由假設(shè)1.2、式（4）和式（7）可得：

[LV≤p（1-pci）eγptyp（γ+αi+12ρ2i-σ2i+p2σ2i-Σj=1Nγijcj-Σj=1Nγijcjcip1-pci）≤ ?? p（1-pci）eγptyp（γ-β-Σj=1Nγijcjcip1-pci+p2σ2i）≤0.]

代入式（8）中有：

[ΕV（y（t）， t， r（t））≤V（x0， t0， r0）]，

因此

[（1-pcmax）eγptΕy（t; x0， r0）p≤（1-pcmin）x0p].

引理2.3得證.

引理 2.4[12]? 令假設(shè)1.1和假設(shè)1.2成立.

[Εx（t; x0， r0）2≤x02e（2α+ρ2）t]，

[Εx（t; x0， r0）-x（δt; x0， r0）2≤2τ（K21τ+ρ2）e（2α+ρ2）t≥0].

[?（x0， r0）∈?n×S]，[?t≥0].

引理2.5 [12]令假設(shè)1.1和假設(shè)1.2成立且[p∈（0， 1）]，對(duì)于[?（x0， r0）∈?n×S]，[?t≥0]

[Εx（t; x0， r0）-y（t; x0， r0）p≤x0pep（K1+1.5K22）t（H（τ）[e（2α+ρ2）t-1]）p/2].

其中 [H（τ）=6K22[τ（K21τ+ρ2）+2（1-e-γτ）]2α+ρ2].

類似于文獻(xiàn)[12]中的引理5，有以下引理成立.

引理 2.6? 若假設(shè)1.1—假設(shè)1.3成立且存在自由參數(shù)[ε∈（0， 1）]，[τ>0]是下列方程的唯一解

[ep（K1+1.5K22）（τ+log（Mε）/pγ）（H（τ）[e（2α+ρ2）（τ+log（Mε）/pγ）-1]）p/2=1-ε].

其中[γ， M]和[H（τ）]由引理2.3和引理2.5給出.對(duì)于[?τ∈（0， τ]]，存在正整數(shù)[k， λ]使得系統(tǒng)（1）滿足

[Εx（kkτ; x0， r0）p≤x0pe-λkkτ， ?k=1， 2， 3， ….]

[?（x0， r0）∈?n×S].

定理2.1? 若假設(shè)1.1—假設(shè)1.3成立，存在正常數(shù)[τ]，假設(shè)[τ≤τ]，則稱系統(tǒng)（1）幾乎必然指數(shù)鎮(zhèn)定.

證 令[τ∈（0， τ]]且[?（x0， r0）∈?n×S]，簡(jiǎn)記[x（t; x0， r0）=x（t）]，對(duì)[?t≥0]，存在唯一的整數(shù)[k]使得[t∈[kkτ， （k+1）kτ）]，由系統(tǒng)（1）的時(shí)齊次性和引理2.4有

[Ε（x（t）2Fkkτ）≤xkk2e（2α+ρ2）（t-kkτ）≤xkk2e（2α+ρ2）kτ].

利用H?lder不等式知

[Ε（x（t）pFkkτ）≤C1xkkp].

其中[C1=e（α+0.5ρ2）pkτ].應(yīng)用引理2.6可得：

[Εx（t）p≤C1Εxkkp≤C1x0pe-λkkτ≤C2x0pe-λt] .??????????????????? （9）

其中[C2=C1eλkτ].則系統(tǒng)（1）p階矩指數(shù)穩(wěn)定，接下來由系統(tǒng)（1）的p階矩指數(shù)穩(wěn)定推出其幾乎必然指數(shù)鎮(zhèn)定.

由式（9）可知：

[Εsupkkτ≤t≤（k+1）kτx（t）p≥e-0.5λkkτ≤C2Εx0pe-λkkτ].

再由Chebyshev’s不等式可知

[Ρsupkkτ≤t≤（k+1）kτx（t）p≥e-0.5λkkτ≤C2Εx0pe-λkkτ].

令[Ak=supkkτ≤t≤（k+1）kτx（t）p≥e-0.5λkkτ]，則：

[Σk=0∞Ρ（Ak）=Σk=0∞Ρsupkkτ≤t≤（k+1）kτx（t）p≥e-0.5λkkτ≤C2Εx0pΣk=0∞e-λkkτ<∞.]

由Borel-Cantelli’s引理有[Ρlimk→∞Ak=0]，即[supkkτ≤t≤（k+1）kτx（t）p<e-0.5λkkτ].

對(duì)[?ω∈Ω， ?k0=k0（ω）]使得：

[supkkτ≤t≤（k+1）kτx（t，ω）p<e-0.5λkkτ， ?k≥k0（ω）].

因此，對(duì)于[kkτ≤t≤（k+1）kτ，k≥k0（ω）]有

[1tlogx（t，ω）<-0.5λkkτp（k+1）kτ=-0.5λkp（k+1）].

對(duì)[?ω∈Ω]，令[t→∞]

[limt→∞ sup1tlogx（t，ω）≤-λ2p<0].

系統(tǒng)（1）幾乎必然指數(shù)鎮(zhèn)定.證畢.

注： 文獻(xiàn)[12]在假設(shè)1.2的成立條件下研究混雜隨機(jī)系統(tǒng)的幾乎必然指數(shù)鎮(zhèn)定.該文獻(xiàn)指出在???????? [γiu>0（i≠u）]成立的條件下，假設(shè)1.3即[Σi=1mπi（αi+0.5ρ2i-σ2i）<0]等價(jià)于以下式子

[-（α1+0.5ρ21-σ21） -γ12 … γ1N-（α2+0.5ρ22-σ22） -γ22 … γ2N ? ??? ?????????? ?-（αN+0.5ρ2N-σ2N） ???? -γN2 …??? γNN>0].

文獻(xiàn)[14]在假設(shè)1.1—假設(shè)1.2成立的條件下，運(yùn)用條件[γiu∨（σ2i-0.5ρ2i-αi）>0]以及M-矩陣

[?。╬）=diag（θ1（p） ， …， θN（p））-Γ]，其中[θi（p）=（p（2-p）σ2i）/2-pρ2i/2-pαi]，得到系統(tǒng)（1）的幾乎必然指數(shù)鎮(zhèn)定.而本文僅需假設(shè)1.3成立，顯然限制性更小.

接下來將研究線性反饋控制函數(shù)為[u（x， i）=A（i）x]的系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

假設(shè) 3.1存在常數(shù)[K1>0]，[αi∈?（i∈S）]，使得：

[f（x， i， t）-f（y， i， t）≤Kx-y]， [xTf（x， i， t）≤αix2]， [?x， y∈?n].

避免記號(hào)上的重復(fù)，先令[B（t）]為一個(gè)標(biāo)量布朗運(yùn)動(dòng).考慮以下閉環(huán)系統(tǒng)

[dx（t）=f（x（t） ， r（t） ， t）+A（r（t/τ））x（（t/τ））dB（t）]，??????????????????? （10）

其中[A（i）∈?n×n（i∈S）].記[A（i）=Ai]，[u（x， i）-u（y， i）≤Aix-y ，] [?x， y∈?n].

對(duì)[?i∈S]存在矩陣[Di∈?n×n]使得

[Di=1]， [λmin（Di+DiT）≥3].?????????????????????????? （11）

對(duì)于非負(fù)實(shí)數(shù)[δi]有：

[δ2i>4αi].???????&nbsp;????????????????????????????? （12）

令[Ai=δiDi（i∈S）]，對(duì)[?x∈?n]，記

[u（x， i）=Aix≤δix]，

[xTu（x， i）=xTAix=0.5xT（Ai+ATi）x≥34δix2].

所以當(dāng)[ρi=δi， σi=34δi]，[u（x，i）≤ρix]，[xTu（x，i）≥σix2].

由式（12）可得[σi2-0.5ρ2i-αi=0.25δ2i-αi>0].即

[Σi=1mπi（αi+0.5ρ2i-σ2i）<0].

簡(jiǎn)單來說，若選擇上述[Di]和[δi]滿足條件式（11）式（12）且令[Ai=δiDi（i∈S）]，就可以通過定理2.1的結(jié)論得到系統(tǒng)（10）幾乎必然指數(shù)鎮(zhèn)定.

3?結(jié)論

本文對(duì)隨機(jī)混雜系統(tǒng)進(jìn)行離散時(shí)間狀態(tài)觀測(cè)，在擴(kuò)散項(xiàng)和漂移項(xiàng)中加入反饋控制，運(yùn)用Markov切換的平穩(wěn)分布，利用Borel-Cantelli’s引理、Chebyshev’s不等式等隨機(jī)分析技巧和建立特殊的Lyapunov函數(shù)，先得到混雜隨機(jī)系統(tǒng)的p階矩指數(shù)穩(wěn)定，再由p階矩指數(shù)穩(wěn)定推出混雜隨機(jī)系統(tǒng)的幾乎必然指數(shù)鎮(zhèn)定，最后給出含有另外一種反饋控制函數(shù)系統(tǒng)的幾乎必然指數(shù)鎮(zhèn)定.

參考文獻(xiàn)

[1]?孫云霞，程培，李殿強(qiáng)，等.脈沖隨機(jī)Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定性[J].廣西科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2017，28（2）：42-47.

[2]?高遠(yuǎn).混沌系統(tǒng)的參數(shù)微擾隨機(jī)脈沖控制[J].廣西工學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，15（2）：14-18.

[3]?QIU Q W，LIU W，HU L J，et al. Stabilization of stochastic differential equations with markovian switching by feedback control based on discretetime state observation with a time delay[J]. Statistics & Probability Letters，2016，115：16-26.

[4]?YIN G，XI F B. Stability of regime-switching jump diffusions[J]. SIAM journalon control and optimization，2010，48（7）：4525-4549.

[5]?ZHANG D F， CHEN Z J. Exponential stability for stochastic differential equation driven by G-Brownian motion[J]. Applied Mathematics Letters，2012，25（11）：1906-1910.

[6]?DONG R， MAO X R. On pth moment stabilization of hybrid system sby discrete-time feedback control[J]. Stochastic Analysis and Applications，2017，35（1）：1-20.

[7]?ZHU Q X， ZHANG Q Y. Pth moment exponential stabilisation of hybrid stochastic differential equations by feedback controls based on discretetime state observations with a time delay[J]. Iet Control Theory & Applications，2017，11（12）： 1992-2003.

[8]?LI Y Y， LU J Q， MAO X R，et al. Stabilization of hybrid systems by feedback control based on discrete-time state and mode observations[J].Asian Journal of Control，2017，19（2）：1943-1953.

[9]?PENG S G ， ZHANG Y ， YU S M. Global mean-square exponential stabilization of stochastic system with time delay via impulsive control[J]. Asian Journal of Control， 2012， 14（1）：288-299.

[10]?MAO X R.Stabilization of continuous-time hybrid stochastic differential equations by discrete-time feedback control[J]. Automatica， 2013， 49（12）：3677-3681.

[11]?MAO X R， LIU W， HU L J， et al. Stabilization of hybrid stochastic differential equations by feedback control based on discrete-time state observations[J]. Systems & Control Letters，2014，73：88-95.

[12]?MAO X R ， YIN G G ， YUANC G. Stabilization and destabilization of hybrid systems of stochastic differential equations[J]. Automatica， 2007， 43（2）：264-273.

[13]?DONG R. Almost sure exponential stabilization by stochastic feedback control based on discrete-time observations[J].Stochastic Analysis Applications，2018，36（4）：561-583.

[14]?SONG G F， LU Z Y， ZHENG B C， et al. Almost sure stabilization of hybrid systems by feedback control based on discrete-time observations of mode and state[J]. Science China Information Sciences，2018，61（7）：130-145.

Almost surely exponential stabilization of stochastic hybrid system based on discrete-time state observations

YU Peilin， CUI Yao， CHENG Pei*

（School of Mathematical Sciences， Anhui University， Hefei 230601， China）

Abstract： The paper studies the almost surely exponential stabilization of hybrid stochastic systems， based on the observations of discrete-time state and the control function which is embedded into the drift part and diffusion part. We get the almost surely exponential stabilization of the hybrid random? system by choosing appropriate Lyapunov function， using Markov chain stationary distribution and methods of stability analysis. The stability of the system with linear feedback controller is used to??????? illustrate the feasibility of the results.

Key words： hybrid random system; discrete time observation; Lyapunov function; almost surely??????? exponential stabilization; the pth moment exponential stabilization