一種[lp]正則化改進(jìn)的車輛軌跡學(xué)習(xí)算法

汪霜霜　李春貴

摘??? 要：車輛軌跡學(xué)習(xí)可用于視頻監(jiān)控系統(tǒng)，以識(shí)別正常和異常車輛運(yùn)動(dòng)模式，用于交通運(yùn)營、公共服務(wù)和執(zhí)法管理.本文的目的是研究一種新的基于視頻監(jiān)控系統(tǒng)的車輛軌跡學(xué)習(xí)自適應(yīng)稀疏重構(gòu)方法.由于[l1]和[l2]最小化的解的稀疏性會(huì)受到范數(shù)中項(xiàng)的值的損害，在實(shí)踐中不能保證得到足夠稀疏的解，本文提出了一種改進(jìn)的基于[lp][0<p<1]最小化的車輛軌跡學(xué)習(xí)方法，應(yīng)用[lp]范數(shù)的下限理論獲得更稀疏的重構(gòu)系數(shù)向量，以獲得比[l1]或[l2]最小化更稀疏的解.通過實(shí)驗(yàn)分析，所提出的方法可以解決過擬合問題，獲得更稀疏的解.

關(guān)鍵詞：稀疏重構(gòu);范數(shù);正則化;最小化

中圖分類號(hào)：TP277.2;U495??????????? DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2019.02.008

0??? 引言

伴隨著人們對(duì)實(shí)時(shí)交通的管理和安全上的需求逐步增長，視頻監(jiān)控系統(tǒng)被廣泛用于交通道路.由于傳輸和存儲(chǔ)視頻數(shù)據(jù)的成本顯著降低，大量交通視頻被收集并應(yīng)用于車輛運(yùn)動(dòng)模式、交通違規(guī)和車輛碰撞的研究.但是難以連續(xù)手動(dòng)監(jiān)控和分析如此大量的視頻，致使研究人員開發(fā)智能方法，從存儲(chǔ)的視頻數(shù)據(jù)中自動(dòng)識(shí)別交通事件和交通活動(dòng).OH Cheol等[1]提出了一種用于學(xué)習(xí)車輛行為的新型高速公路交通監(jiān)控系統(tǒng)，通過檢測(cè)車輛換道引起的潛在碰撞來進(jìn)行監(jiān)控跟蹤，設(shè)置碰撞時(shí)間和停車距離指數(shù)這兩個(gè)指標(biāo)來學(xué)習(xí)車輛行為.然而，當(dāng)前大多數(shù)的視頻監(jiān)控系統(tǒng)只能捕獲交通量和車輛變道或超速行為，不能滿足諸如車輛行為識(shí)別和異常行為檢測(cè)的需求.因此，當(dāng)務(wù)之急是需要研究一種有效的方法來進(jìn)行關(guān)于交通運(yùn)營、公共服務(wù)和執(zhí)法的視頻中監(jiān)控的車輛軌跡的學(xué)習(xí).

有研究學(xué)者聲稱，稀疏表示可以表現(xiàn)出對(duì)大量噪聲和面部遮擋的魯棒性[2].稀疏重建技術(shù)能很好地避免樣本不足、特征描述不完整、額外的噪聲和失真等問題[3].稀疏重建的核心是解決[l0]最小化問題.現(xiàn)有的研究成果通常是將[l0]最小化問題歸結(jié)為[l1]或[l2]最小化問題，并應(yīng)用凸優(yōu)化求解器，如二階核心規(guī)劃求解器，甚至啟發(fā)式算法，如正交匹配追蹤算法等[4].ADU-GYAMFI等[5]應(yīng)用稀疏表示技術(shù)來識(shí)別交通標(biāo)志.CONG等[6]應(yīng)用具有組約束的稀疏重建模型來檢測(cè)基于視頻數(shù)據(jù)的異常事件.然而，來自[l1]和[l2]最小化的解的稀疏性會(huì)受到范數(shù)中項(xiàng)的值的損害，導(dǎo)致不能保證得到足夠稀疏的解，這將會(huì)損害基于[l1]和[l2]最小化的學(xué)習(xí)方法的辨別能力.

因此，在車輛軌跡學(xué)習(xí)的領(lǐng)域中，要找到一種更稀疏的解決方案來減少規(guī)范中的有害影響，從而增強(qiáng)稀疏重構(gòu)的能力.為此，本文提出了一種改進(jìn)的基于[lp][0<p<1]最小化的車輛軌跡學(xué)習(xí)的方法，應(yīng)用[lp]范數(shù)的下限理論獲得更稀疏的重構(gòu)系數(shù)向量，通過實(shí)驗(yàn)作比較，獲得比[l1]或[l2]最小化更稀疏的解，為后續(xù)利用基于軌跡的稀疏重建方法來檢測(cè)車輛異常行為的研究做準(zhǔn)備.

1???? 相關(guān)理論

1.1??? 稀疏規(guī)則化和最小化誤差

稀疏正則化能被廣泛應(yīng)用在于它的一個(gè)關(guān)鍵優(yōu)點(diǎn)——能夠自動(dòng)選擇特征.通常，輸入[xi]的大多數(shù)元素或特征與最終的輸出[yi]無關(guān).若在求解目標(biāo)函數(shù)最小化的時(shí)候使用這些[7]，雖然可以讓結(jié)果的訓(xùn)練誤差更小，但是在對(duì)新樣本進(jìn)行預(yù)測(cè)的時(shí)候，由于有了這些無關(guān)信息的干擾，從而影響了對(duì)正確[yi]的預(yù)測(cè).稀疏正則化算子會(huì)學(xué)習(xí)怎樣去刪除這些無關(guān)緊要的特征，其做法就是將與這些特征對(duì)應(yīng)的權(quán)重值設(shè)置為零，其引入的作用就是為了能夠進(jìn)行自動(dòng)選擇特征.

為了讓模型更好地?cái)M合訓(xùn)練數(shù)據(jù)，一般是將誤差最小化，而使用正則化參數(shù)則是避免模型過分?jǐn)M合訓(xùn)練數(shù)據(jù).所謂過度擬合，就是在訓(xùn)練樣本中，已建立好的學(xué)習(xí)模型表現(xiàn)過于優(yōu)越，然而在驗(yàn)證數(shù)據(jù)集和測(cè)試數(shù)據(jù)集中表現(xiàn)出的性能卻不如意.過度擬合的根本原因是模型學(xué)習(xí)過于精確，甚至將訓(xùn)練集中的樣本噪聲也進(jìn)行了訓(xùn)練.參數(shù)越多，模型的復(fù)雜性就不斷增加，并且易出現(xiàn)過度擬合現(xiàn)象，影響預(yù)測(cè)新樣本的正確性.要在盡可能保證模型“簡單”的基礎(chǔ)上去訓(xùn)練誤差達(dá)到最小化，這樣所得的參數(shù)才具備好的泛化性能，即得到的測(cè)試誤差小.正則函數(shù)的使用可以使模型“簡單”化.把與模型相關(guān)的先驗(yàn)知識(shí)融入到模型的學(xué)習(xí)當(dāng)中，讓其具有所需要的特性，例如稀疏、低秩、平滑等.[l1]和[l2]正則化常被用來解決過擬合問題.

1.2?? [l1]范數(shù)

[l1]范數(shù)被稱為“稀疏規(guī)則算子”.因?yàn)閇l0]范數(shù)很難進(jìn)行優(yōu)化求解，而[l1]范數(shù)是[l0]范數(shù)的最優(yōu)凸近似，比較容易優(yōu)化求解，更得研究者的喜愛和重視.

對(duì)于[l1]正則化，是指權(quán)值向量[w]中各個(gè)元素的絕對(duì)值之和，通常表示為[w1]，數(shù)學(xué)表示如式（1）所示：

[Ωθ=12w1=12i=1nwi]???????????????????????????? （1）

用線性代數(shù)表示損失函數(shù)為：

[Jw;X，y=αw1+Jw;X，y]???????????????????????? （2）

對(duì)權(quán)重求取梯度，得：

[?wJw;X，y=αsignw+?wJw;X，y]?????????????????????????????????????????? （3）

其中[signw]表示取[w]中各個(gè)元素的正負(fù)號(hào).從上面的等式可以看出，正則化對(duì)梯度的影響并不是線性地縮放每個(gè)[wi]，而是添加了一項(xiàng)與[wi]相同符號(hào)的常數(shù).通過[l1]正則化，可以利用足夠大的[α]實(shí)現(xiàn)稀疏.也就是說[l1]正則化可以產(chǎn)生稀疏權(quán)值矩陣，即產(chǎn)生一個(gè)稀疏模型，可以用于特征選擇機(jī)制[8].

1.3?? [l2]范數(shù)

[l2]范數(shù)又稱歐幾里德距離之和.它是指權(quán)值向量[w]中各個(gè)元素的平方和然后再求平方根，通常表示為[w2]， 數(shù)學(xué)表示為：

[Ωθ=12w22=12i=1nwi2]?????????????????????????? （4）

讓[l2]范數(shù)的規(guī)則項(xiàng)[w2]最小，即讓[w]的每個(gè)元素都很小，都接近于0.參數(shù)越小，模型越簡單;模型越簡單，過度擬合的可能性就越低.那么損失函數(shù)就變成了如式（5）所示：

[Jw;X，y=αwTw+Jw;X，y]??????????????????????????????????????????????????????????????????&nbsp;? （5）

求解梯度后，其梯度表示為：

[?wJw;X，y=αw+?wJw;X，y]???????????????????????????? （6）

因此在梯度下降過程中權(quán)重的更新如下式所示：

[w←w-βαw+?wJw;X，y]

其中，[β]為梯度下降的步長，最終得到了：

[w←1-βαw-?wJw;X，y]

可以看到，在梯度更新的每個(gè)步驟之前收縮權(quán)重向量，并讓權(quán)重向量乘以常數(shù)因子，加入權(quán)重衰減量后導(dǎo)致學(xué)習(xí)規(guī)則被修改. 通過[l2]范數(shù)，既可以實(shí)現(xiàn)對(duì)模型空間的抑制[9]，還可以實(shí)現(xiàn)正則化，在一定程度上避免過擬合，提升了模型的泛化能力.但是，[l2]范數(shù)不能夠得出稀疏解.

1.4?? 殘差

所謂殘差，是指觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值（擬合值）之間的差，即是因變量的觀測(cè)值[yi]與根據(jù)估計(jì)的回歸方程求出的預(yù)測(cè)[yi]之差，用[e]表示.反映了用估計(jì)的回歸方程去預(yù)測(cè)[yi]而引起的誤差，第[i]個(gè)觀察值的殘差為：

[ei=yi-yi].

通過對(duì)殘差及殘差圖的分析，以考察模型假設(shè)的合理性的方法，稱為殘差分析.可以利用殘差所提供的信息分析出數(shù)據(jù)的可靠性、周期性以及其他干擾項(xiàng)，可用來判定分析模型的假定正確與否，運(yùn)用殘差分析的方法來檢查回歸線的異常點(diǎn)比較直觀，效果也好.

2??? 車輛軌跡的稀疏重構(gòu)

2.1?? 基于[l1]和[l2]范數(shù)的車輛軌跡的稀疏重構(gòu)

通過訓(xùn)練車輛軌跡，可以近似線性組合任何一個(gè)新的車輛軌跡[10-11].對(duì)于給定的第[i]類足夠訓(xùn)練的軌跡（總共有M個(gè)類），同一類的測(cè)試軌跡[yi∈Rm]可以通過訓(xùn)練軌跡的線性組合來表示，如下所示：

[yi=Aiσi=σi，1θi，1+σi，2θi，2+…+σi，nθi，n（σi∈Rn）]????????????????????? （7）

也可以用訓(xùn)練字典來表達(dá)為：

[yi=Aiσi∈Rm]????????????????????????????????????????????????????????????????????? （8）

其中[σ=0，…，0， σTi， 0，…，0T∈Rn]是一個(gè)系數(shù)向量，其中大多數(shù)條目具有零元素，[θi，n]是[A]的特征值.

稀疏重建在車輛軌跡學(xué)習(xí)中的應(yīng)用如圖1所示.

由圖1可見，字典[A]由訓(xùn)練軌跡組成，它包含M個(gè)類.根據(jù)稀疏重構(gòu)模型，測(cè)試軌跡[y]的系數(shù)向量[σ]為：

[σall=[0， 0， 0， 0， 0， 0，…， 0.87， 0， 0， 0.33，-0.21， 0， …，0， 0， 0， 0， 0， 0]T]

基于系數(shù)向量[σall]，[y]可以通過稀疏重構(gòu)來學(xué)習(xí). 為了尋找[y=Aσ]的最稀疏解，可以采用式（9）解決：

[minσ0：=σ0]

[s.t.]???????????? [y=Aσ]????????????????????????????????????????????????????????????????????? （9）

其中，[σ0]表示[σ]的[l0]范數(shù)，計(jì)算[σ]中非零項(xiàng)的數(shù)量.式（9）表示的是眾所周知的非確定性多項(xiàng)式問題，由于其目標(biāo)函數(shù)是非凸的，所涉及的問題是要找到最稀疏解.通常的解決方法是將[l0]范數(shù)放寬為如[l1]范數(shù)或[l2]范數(shù)這樣的凸目標(biāo)函數(shù)，就可使問題變得容易處理[12].[l1]范數(shù)或[l2]范數(shù)的數(shù)學(xué)公式如式（10）—式（11）所示：

[minσ1：=σ1]

[s.t.]???????????? [y=Aσ]????????????????????????????????????????????????????&nbsp;?????????? （10）

[minσ2：=σ2]

[s.t.]???????????? [y=Aσ]???????????????????????????????? （11）

式（10）所表達(dá)的具有[l1]范數(shù)的模型被認(rèn)為是[l0]范數(shù)和[l2]范數(shù)之間的折衷，這是一個(gè)凸優(yōu)化問題，可以通過二階核心編程或者甚至標(biāo)準(zhǔn)線性編程求解器在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)求解來解決[13].式（11）的優(yōu)點(diǎn)在于它的精確解（全局最小值）只需使用一些啟發(fā)式算法就能很快找到，如正交匹配追蹤（OMP）算法.

2.2??? 一種改進(jìn)[lp]范數(shù)的車輛軌跡的稀疏重構(gòu)

由于[l2]范數(shù)的稀疏性會(huì)被范數(shù)中元素的平方值顯著削弱，造成式（11）的解與稀疏性相去甚遠(yuǎn).根據(jù)稀疏表示和壓縮感知理論可知，如果[σ0]的解足夠稀疏，[l0]極小化問題的解就等于下一個(gè)[l1]極小化問題的解，但是實(shí)現(xiàn)這樣的條件很難，在實(shí)踐中的大多數(shù)情況下也是沒用的.因此對(duì)于一些對(duì)稀疏性要求很高的地方，式（10）同樣不適用.

對(duì)此應(yīng)該引入較小的[lp][0<p<1]范數(shù)來保證稀疏解.然而，[lp]范數(shù)[0<p<1]的目標(biāo)函數(shù)是非凸的，它的精確解（全局極?。┩瑯邮欠谴_定性多項(xiàng)式問題.由于等式約束在實(shí)踐中過于嚴(yán)格，因此通常是通過引入一個(gè)有效的小誤差[ε]轉(zhuǎn)換為不等式形式[14]，即[Aσ-y≤ε].通過引入正則項(xiàng)[γσpp]將約束最小化問題轉(zhuǎn)化為無約束最小化問題，如式（12）所示：

[minfσ：=Aσ-y22+γσpp]??????????????????????????? （12）

其中[p]= 0和1分別對(duì)應(yīng)于式（9）和式（10）的[l0]正則化和[l1]正則化.

根據(jù)式（12），在正則化項(xiàng)中使用[lp][0<p<1]范數(shù)通?？梢哉业奖仁褂肹l1]范數(shù)更稀疏的解，可以建立更強(qiáng)的學(xué)習(xí)模型，但是它的求解過程有很強(qiáng)的不確定性，其計(jì)算復(fù)雜度、時(shí)間和空間復(fù)雜度都難以控制.為了解決這個(gè)問題，引入了[lp]正則化的下限定理[15]，以保證在比[l1]正則化更弱的條件下得到更稀疏的解.[lp]正則化的下限定理的內(nèi)容如式（13）所示：

[L=γp2Afσ01/（1-p）][0<p<1]????????????????????????????????????????????????????????????????? （13）

對(duì)于式（12），大多數(shù)最小化算法本質(zhì)上都是下降迭代，它們生成一系列點(diǎn)[σv]，[v=0， 1， …]，這樣目標(biāo)函數(shù)值[fσv]就沿序列嚴(yán)格遞減.因此，在水平集[σ：? fσ≤fσ0]中，下降算法可以找到局部極小值，包括全局極小值（其中，[σ0]是任意給定的初始點(diǎn)）.令[Li=γp1-p2ai21/（2-p），i∈N]，對(duì)于任意的[σ*∈δ*p]，有任意的[i∈N]，[σ*i∈-L， L?σ*i=0]. 對(duì)于有限大的[γ]，[σ*0]減小到0就意味著[σ*=0]是唯一的全局極小值.但[σ*]中的非零條目數(shù)有如下限制：

[σ*0≤minm， fσ0γLp]

該定理揭示了：如果在[lp][0<p<1]極小化的局部極小化器[σ*i]中獲得的[σ*i]項(xiàng)滿足條件，即[σ*i∈（-L， L）]，那么就可以知道全局極小化器中的相應(yīng)項(xiàng)是0.因此，該定理可用于使獲得的解更稀疏，并且更接近全局最小值的[θ=I?+θ=I?+γμα?1/21/2-1]

記[H1/2，γ=I?+γα?1/21/2-1].利用[l1/2]正則化求稀疏解的算法有兩種：Reweighted-[l1]算法和Half算法.在數(shù)據(jù)集[D=θ，c]，利用Reweighted-[l1]算法[17]，來學(xué)習(xí)[mingθ-c22+γθ1/21/2]的解[θ]的基本思想是：用[θ01/2+12θ1/2θ-θ0]近似[σ1/2]，并取分母部分作為當(dāng)前值;利用[l1]中交叉驗(yàn)證的方法設(shè)置正則化參數(shù).

一般情況下采用Half算法進(jìn)行求解，本文所采用的算法也是Half算法.該算法的基本思想是對(duì)[l1/2]解的解析形式[θ=I·+γμα·1/21/2-1Buθ]使用逐次逼近;假定稀疏度k已知，通過下述迭代過程求解問題的k-稀疏解：

[θn+1=Hγnμn，1/2Bμnθn ， θ0∈RNγn=969μBμnθn3/2（k+1） ，? μ=μ0∈0，1/L]

采用逐次近似取[γt=4/3μBtk+13/2]來逼近[γ*]，利用該算法，對(duì)于足夠小的[μ]，可得到[θt+1-θt2→0].將原問題分解成若干個(gè)k-稀疏解的問題，通過不斷迭代獲得一組[k]-稀疏解，比較得出最優(yōu)解.其算法步驟如下：

Step 1? 隨機(jī)選取[θ0∈R]，設(shè)[B0=θ0+ATc-Aθ0]，[γ0=μ4/3B0k+13/2]，其中[k]為問題稀疏度的預(yù)估值，[θ0k+1]為[θ0]的第[k+1]大的分量，取定[0<μ<1]和誤差容限[ε].置[t=0];

Step 2? 計(jì)算[θt+1=H1/2，γtθt+ATc-Aθt];

Step 3? 令[Bt=θt+ATc-Aθt，γt+1=4/3μBtk+13/2];

Step 4? 若[θt+1-θt2<ε]，算法終止;否則，置[t=t+1]并轉(zhuǎn)Step 2繼續(xù)進(jìn)行.

綜上，Reweighted-[l1]算法和Half算法這兩種算法常用于[l1/2]正則化和稀疏解的求解，并且得到廣泛應(yīng)用[18-19].

4??? 實(shí)驗(yàn)分析

為了檢測(cè)所提出方法的性能，實(shí)驗(yàn)環(huán)境為Win10系統(tǒng)，系統(tǒng)配置16 GB內(nèi)存，3.60 GHz CPU，Visual Studio Community 2015，使用CROSS數(shù)據(jù)集，CROSS數(shù)據(jù)集由加州大學(xué)提供.它包含1 900條訓(xùn)練軌跡和? 9 700條測(cè)試軌跡，其中9 500條為正常軌跡，200條為異常軌跡（如非法環(huán)路、越野駕駛、非法左轉(zhuǎn)和其他異常行為）.在數(shù)據(jù)集中選擇第四類測(cè)試軌跡的其中之一，在當(dāng)[p]= 2、1和0.5時(shí)分別顯示其系數(shù)向量[σL2]、[σL1]和[σLp]（[0<p<1]），實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示.其中，系數(shù)向量[σL1]和[σL2]都是式（10）和式（11）的全局極小值，而[σLp][0<p<1]是在[p]= 0.5時(shí)由定理修正的近似最優(yōu)極小值.

以系數(shù)為縱坐標(biāo)，字典為橫坐標(biāo)，圖3（a）—圖3（c）分別顯示了[σL2]、[σL1]和[σLp]的結(jié)果;以殘差為縱坐標(biāo)，類別為橫坐標(biāo)，圖3（d）—圖3（f）分別顯示了對(duì)應(yīng)于這些解的殘差，而對(duì)應(yīng)于最小殘差的類將被標(biāo)記為測(cè)試軌跡的類.

從圖3（a）—圖3（c）中可以很明顯地看出，[σLp]比[σL2]和[σL1]要稀疏得多;圖3（d）和圖3（e）顯示，由于在分類過程中幾十個(gè)非零條目的干擾，[σL2]和[σL1]的殘差會(huì)根據(jù)不同的類別產(chǎn)生很大的變化.相比之下，圖3（f）顯示了除了第四和第七個(gè)殘差（其中第四個(gè)殘差是最小的）之外，[σLp]的大部分殘差是相同的.更重要的是，來自[σLp]的最小殘差對(duì)應(yīng)于圖3（c）中正確的類別（即第四類別），這就意味著測(cè)試軌跡可以通過[σLp]最小化的方法正確分類，而圖3（d）和圖3（e）分別顯示的[σL2]和[σL1]的最小殘差對(duì)應(yīng)于? 圖3（a）和??????? 圖3（b），它們都不對(duì)應(yīng)于正確的類別（它們都對(duì)應(yīng)于第七類別）.

實(shí)驗(yàn)表明，來自[σLp]最小化的改進(jìn)的局部最小化器會(huì)獲得比來自[σL1]和[σL2]最小化的全局最小化器更稀疏的解，能保證對(duì)于車輛軌跡的學(xué)習(xí)性能，且能夠達(dá)到正確的分類，使得最終結(jié)果能夠更準(zhǔn)確，為后續(xù)利用基于軌跡的稀疏重建方法來檢測(cè)車輛異常行為的研究做更精確的準(zhǔn)備.

5??? 總結(jié)

本文研究了一種用于車輛軌跡學(xué)習(xí)的[lp][0<p<1]正則化稀疏重建的方法.由于[l1]和[l2]最小化的解的稀疏性會(huì)在求解過程中受到范數(shù)中項(xiàng)的值的損害，不能保證能夠得到足夠稀疏的解.本文主要的改進(jìn)思路是應(yīng)用[lp]范數(shù)的下限理論來解決NP-hard問題，得到更稀疏的重構(gòu)系數(shù)向量，從而獲得比[l1]或[l2]最小化更稀疏的解.通過與[l1]和[l2]正則化的實(shí)驗(yàn)分析比較，得知所提出的模型可以達(dá)到目標(biāo)，獲得更稀疏的解.

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An improved minimization of vehicle trajectory learning

WANG Shuangshuanga， LI Chungui*b

（a. School of Electrical and Information Engineering; b.School of Computer Science and Communication

Engineering， Guangxi University of Science and Technology， Liuzhou 545006， China）

Abstract： Vehicle trajectory learning can be used in video surveillance system to identify normal and abnormal vehicle movement patterns for traffic operation， public service and law enforcement???????? management. The paper aims to study a new adaptive sparse reconstruction method for vehicle?????????? trajectory?? learning based on video surveillance system. Enough sparse solution cannot be guaranteed in practice because the sparsity of the minimized solution will be impaired by the value of the term in the norm. A new method of vehicle trajectory learning based on minimization is proposed in this paper. The lower bound theory of norm is applied to obtain more sparse reconstruction coefficient vectors in order to obtain more sparse solutions than or minimization. Through experimental analysis， the???????? proposed method can solve the over-fitting problem and obtain more sparse solutions.

Key words： sparse reconstruction; norm; regularization; minimization