數(shù)軸

姚建法

【摘? ?要】數(shù)軸是幫助學(xué)生直觀地認(rèn)識(shí)與表達(dá)數(shù)的幾何模型，在整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷程中與學(xué)生密切相關(guān)。借助數(shù)軸，可以從“數(shù)認(rèn)知”“數(shù)關(guān)系”“數(shù)運(yùn)算”“量的度量”四個(gè)視角，分別引領(lǐng)學(xué)生自然經(jīng)歷數(shù)與數(shù)系的擴(kuò)張、充分編織數(shù)與數(shù)的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)、直觀呈現(xiàn)四則運(yùn)算的本質(zhì)、形象歸納度量的過程與方法，呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)化的思維過程，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，促進(jìn)數(shù)學(xué)理解。

【關(guān)鍵詞】數(shù)軸;數(shù)形結(jié)合;數(shù)認(rèn)知;數(shù)運(yùn)算

根據(jù)數(shù)（自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)等等）從小到大的關(guān)系，在數(shù)軸上能夠從左往右表示成線性的次序。一般地，數(shù)軸包括負(fù)數(shù)，如果不涉及負(fù)數(shù)，則稱為“半直線”或“數(shù)射線”，它可以為小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)提供直觀的幾何模型[1]，形象地構(gòu)造知識(shí)體系，提升方法內(nèi)涵。

一、數(shù)軸與“數(shù)認(rèn)知”：自然“經(jīng)歷”數(shù)與數(shù)系的擴(kuò)張

自然數(shù)本身就是對(duì)自然世界中物體個(gè)數(shù)的抽象與符號(hào)表達(dá)。分?jǐn)?shù)、小數(shù)、負(fù)數(shù)等等，都是數(shù)系為了適應(yīng)不同階段的需要而不斷擴(kuò)張的“產(chǎn)物”，逐漸構(gòu)造了越來越精致而龐大的數(shù)系網(wǎng)絡(luò)?；谛W(xué)生的學(xué)習(xí)水平與思維含量，如何讓他們感受到這種“張力”呢？

【教學(xué)片段1】

（屏幕出示一把米尺，測量課桌的長、寬、高并用小數(shù)表示出長度）

師：如果所測量的長度超過1米呢？

（屏幕顯示米尺測量中的物體）

生：1.2米，在1米的基礎(chǔ)上再加2分米。

師：感覺好像是多出2分米，但數(shù)學(xué)還是要講求精確測量。

生：1米處畫條線，再把尺子往右移。

師：還可以——

生：再加一把尺子。

師：這就變成一把2米尺。如果測量的長度超過2米呢？超過3米呢？……

生：那就再加尺，再加尺……

師：數(shù)學(xué)上有辦法。

（屏幕顯示并介紹數(shù)軸，師生適時(shí)交流數(shù)軸上的數(shù)可以是幾，還可以是幾）

師生小結(jié)：真是一條神奇的線。

數(shù)射線的教學(xué)，不是回歸到具象的實(shí)體，而是要培養(yǎng)想象的空間以及數(shù)學(xué)的表示方法（用有限的表示想象無限）。[2]“加尺、加尺、再加尺”從有形到無形的教學(xué)推進(jìn)，讓學(xué)生自然地經(jīng)歷了數(shù)軸從具體到抽象的“生長”過程，簡潔明了地把小數(shù)與自然數(shù)進(jìn)行了“聯(lián)結(jié)”，感受了小數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，體驗(yàn)了小數(shù)的數(shù)序與數(shù)值大小，特別是小數(shù)的向右無限擴(kuò)張的推想，增強(qiáng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。用數(shù)學(xué)自身的魅力吸引學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的聚焦，數(shù)軸“真是一條神奇的線”！

【教學(xué)片段2】

學(xué)生根據(jù)單位正方形找到多個(gè)小數(shù)之后，在屏幕上把正方形變矮（長方形）。

師：你還能找到小數(shù)嗎？

生：能。

師（繼續(xù)把正方形變矮）：現(xiàn)在你還能找到小數(shù)嗎？

生（齊）：能。

師（繼續(xù)把正方形變矮）：現(xiàn)在呢？

生（齊）：能！

師（繼續(xù)把正方形變矮，像一個(gè)直條）：現(xiàn)在像你們用的——

生：直尺。

師：如果看成米尺，還能找到小數(shù)嗎？

生：能。

師（繼續(xù)把直條“變矮”為單位線段，抽象出單位“1”，繼而將單位“1”延展形成數(shù)軸）：現(xiàn)在，你還能找到哪些數(shù)呢？又有什么發(fā)現(xiàn)？

“靜態(tài)地看，概念是知識(shí)的基本單位;動(dòng)態(tài)地看，概念是思維的基本單位?！盵3]通過讓表示“1”的正方形逐漸地變矮、變矮、再變矮，成為直條、單位線段，延展形成數(shù)軸（確切地說是數(shù)射線），如此的層次遞進(jìn)，學(xué)生擁有了豐富的過程體驗(yàn)，十分輕松自然地完成了數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)?！艾F(xiàn)在，你還能找到哪些數(shù)呢？又有什么發(fā)現(xiàn)”的設(shè)問，更是引領(lǐng)學(xué)生不斷地感受著小數(shù)群，完成對(duì)學(xué)習(xí)過的所有數(shù)的整體認(rèn)知架構(gòu)。

從某種意義上來說，“數(shù)軸可以看作是數(shù)數(shù)的直觀”[4]，也是單位小數(shù)累加的原型。以上兩個(gè)教學(xué)片段中的教師都選擇了數(shù)軸作為“數(shù)的概念認(rèn)識(shí)”的拓展延伸，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合使學(xué)生清晰地“看”到了小數(shù)是填在自然數(shù)之間的“新的數(shù)”，感受到小數(shù)和自然數(shù)一樣也是可以數(shù)出來的，也遵循從左往右越來越大的數(shù)序規(guī)則。特別地，小數(shù)并不是“很小”的數(shù)，將小數(shù)及時(shí)納入“舊”的數(shù)與數(shù)系，擴(kuò)張了數(shù)域“版圖”，完成“新數(shù)”與“舊數(shù)”的高效融合與整體認(rèn)知。相應(yīng)地，今后分?jǐn)?shù)的教學(xué)與小數(shù)異曲同工。

二、數(shù)軸與“數(shù)關(guān)系”：充分“編織”數(shù)與數(shù)的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)

數(shù)學(xué)是研究關(guān)系的一門科學(xué)。數(shù)與數(shù)之間總是通過某種關(guān)聯(lián)進(jìn)行聯(lián)結(jié)，形成相應(yīng)的結(jié)構(gòu)。比如因數(shù)與倍數(shù)便是討論與研究兩個(gè)非0自然數(shù)之間的共生關(guān)系，里面隱藏著多種數(shù)學(xué)規(guī)律與內(nèi)涵。借助數(shù)軸，能夠有效地感知這兩者間的聯(lián)系與區(qū)別，呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)化的思維過程。

【教學(xué)片段3】

師：如果把一個(gè)數(shù)的因數(shù)表示在數(shù)軸上，又會(huì)出現(xiàn)怎樣的神奇現(xiàn)象呢？

（屏幕顯示12、16、36三個(gè)數(shù)的因數(shù)在數(shù)軸上的圖像。）

學(xué)生觀察并思考：一個(gè)數(shù)的因數(shù)集中分布在哪些地方？

交流后教師追問：為什么一個(gè)數(shù)的因數(shù)會(huì)集中在前一半數(shù)軸上呢？

通過把一個(gè)數(shù)的所有因數(shù)表示在數(shù)軸上，學(xué)生便能印象深刻地感知到一個(gè)數(shù)的因數(shù)自左往右反映出的從“稠密”走向“離散”的分布狀態(tài)，映襯出書寫因數(shù)時(shí)從1開始有序記錄方式的優(yōu)越性與合理性?！盀槭裁匆粋€(gè)數(shù)的因數(shù)會(huì)集中在前一半數(shù)軸上呢”的深度追問，引向了一個(gè)數(shù)的因數(shù)“成對(duì)”出現(xiàn)的結(jié)構(gòu)思維，提升了學(xué)生對(duì)于一個(gè)數(shù)的因數(shù)內(nèi)部之間縱深關(guān)聯(lián)的理性認(rèn)識(shí)。

而要更好地挖掘一個(gè)數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)之間的橫向關(guān)聯(lián)，筆者建議不妨設(shè)計(jì)這樣一個(gè)活動(dòng)：觀察數(shù)軸想一想，6的倍數(shù)和因數(shù)分別可能在哪？

學(xué)生通過觀察判斷、找點(diǎn)表達(dá)、交流分享，首先排除了0，再次突出強(qiáng)調(diào)研討因數(shù)和倍數(shù)的數(shù)系范圍是非0自然數(shù)，也能很容易地得出6的因數(shù)最大是6，其他因數(shù)都在6的左邊，最小是1，個(gè)數(shù)有限;6的倍數(shù)最小是6，其他在6的右邊，等距離散，個(gè)數(shù)無限，體現(xiàn)出規(guī)律性;等等。通過數(shù)軸建立的直觀“表征”，學(xué)生能夠形象地感知因數(shù)與倍數(shù)的內(nèi)在特征與結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)。

三、數(shù)軸與“數(shù)的運(yùn)算”：直觀呈現(xiàn)四則運(yùn)算的本質(zhì)

從一年級(jí)起，兩個(gè)數(shù)之間最基本、最常用的關(guān)系就是加減乘除四則運(yùn)算。加法，簡明地體現(xiàn)為在數(shù)軸上兩個(gè)數(shù)疊加合并的核心本質(zhì);減法，則是在數(shù)軸上準(zhǔn)確地找到某兩個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，度量出這兩個(gè)點(diǎn)之間的距離即差;乘法，是在數(shù)軸上連續(xù)向右若干次等間距的“跳躍”;除法，則是從被除數(shù)處向左“跳回”若干個(gè)等間距，本質(zhì)上屬于等距“連減”，體現(xiàn)除法是乘法的逆運(yùn)算，比如下圖所表示的除法算式36÷5=7……1。

哪怕到了更高的年級(jí)，學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)與小數(shù)的運(yùn)算之后，亦可以進(jìn)行相應(yīng)表達(dá)。比如0.3+0.9，先在數(shù)軸上數(shù)到0.3，再從0.3那個(gè)點(diǎn)開始，重新數(shù)到0.9，最后停留的點(diǎn)就是這兩個(gè)數(shù)的和1.2。再如六年級(jí)的運(yùn)算問題[12]+[14]+[18]+[116]+…大多是利用單位正方形展開數(shù)形結(jié)合與倒推轉(zhuǎn)化，應(yīng)用數(shù)軸是不是也能很便利而清晰地加以表現(xiàn)呢？

四、數(shù)軸與“量的度量”：形象歸納度量的過程與方法

為了準(zhǔn)確度量一個(gè)物體有多長，二年級(jí)上冊學(xué)習(xí)用刻度尺作工具、用厘米作單位，常常從0刻度量起，量到幾就是幾厘米，或者從a厘米量起量到b厘米處，則得出物體長度是（b-a）厘米。直到量更長的物體時(shí)用到了米尺、卷尺等測量工具。但說到底，一方面這些測量的“尺”其實(shí)就是一個(gè)半抽象化的數(shù)軸（確切地說是數(shù)軸的一部分，是數(shù)射線），另一方面都是用“終點(diǎn)-起點(diǎn)”的方法得出度量長度，只是0作為起點(diǎn)時(shí)，減0仍得原數(shù)，常省略而已。

在三年級(jí)學(xué)習(xí)《年、月、日》的過程中，學(xué)生常常要解決求經(jīng)過時(shí)長的問題，也可以通過“時(shí)間尺”（即數(shù)軸）來闡釋，表達(dá)時(shí)間與時(shí)間之間的“序”與結(jié)構(gòu)。時(shí)間無始無終，和數(shù)軸無限延伸一致，求經(jīng)過時(shí)長，便形象地和度量物體長度相一致，也是用“終點(diǎn)-起點(diǎn)”的方法。

再放寬視角，在解決從一樓爬到幾樓的問題時(shí)，學(xué)生易犯的錯(cuò)誤是沒有將“一樓”有效排除。如果結(jié)合數(shù)軸分析，不管是量長度、求時(shí)長，還是爬樓問題，都可以辯證統(tǒng)一地把開始的地方稱為“起點(diǎn)”，結(jié)束的地方稱為“終點(diǎn)”，用“終點(diǎn)-起點(diǎn)”得出度量值。這么一來，又想到“平移”多少格的問題，不也可以用“終點(diǎn)-起點(diǎn)”的方法來解決嗎？那個(gè)“格子”可以想象成“外形”更加簡陋的數(shù)軸?？梢姡瑪?shù)軸在不同的領(lǐng)域有著不同的應(yīng)用方式，蘊(yùn)藏著豐富的教學(xué)價(jià)值。

如果再延展一下進(jìn)行審視，借助兩條數(shù)軸組成的二維直角坐標(biāo)系，不但能夠準(zhǔn)確地“定位”物體的位置、表達(dá)出兩個(gè)數(shù)的乘積（即長方形的面積），也可以清楚地表達(dá)出正比例與反比例的函數(shù)關(guān)系等等。如果再延伸一下呢？三條數(shù)軸組成三維坐標(biāo)系，那么能做的事就更豐富啦！

“數(shù)學(xué)概念并非孤立存在的，總是處于相應(yīng)的概念系統(tǒng)中。數(shù)學(xué)概念既可能以縱向的邏輯關(guān)系形成‘概念樹，又可能以橫向的并列關(guān)系形成塊狀結(jié)構(gòu)的‘概念群。”[5]而數(shù)軸，正恰恰是具備這種能量的“一條神奇的線”，等待我們?nèi)?chuàng)造、去“繪制”！

參考文獻(xiàn)：

[1][2]張奠宙，孫凡哲，等.小學(xué)數(shù)學(xué)研究[M].北京：高等教育出版社，2014：280-281.

[3]劉志強(qiáng).縱向數(shù)學(xué)化：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必由之路[J].教育研究與評(píng)論，2014（10）：21.

[4]江黎明.突出本質(zhì)? ?情境支撐? ?數(shù)形結(jié)合[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2015（5）：62.

[5]凌麗.概念教學(xué)的過程性缺失與重構(gòu)[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育（下半月），2015（7-8）：72.

（江蘇省常州市新北區(qū)新華實(shí)驗(yàn)小學(xué)? ?213127）