以度量和轉(zhuǎn)化為主線深化面積學(xué)習(xí)

王雅薇

面積計(jì)算是小學(xué)階段重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，它以面積單位度量為起點(diǎn)，以轉(zhuǎn)化和推理為基本方法。學(xué)生通過觀察、拼擺等積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展思維能力和空間觀念，有效推進(jìn)學(xué)習(xí)。

一、單元教學(xué)設(shè)計(jì)說明

（一）主要內(nèi)容及作用

平行四邊形、梯形和三角形面積教學(xué)是在學(xué)生掌握了長(zhǎng)方形、正方形面積計(jì)算的基礎(chǔ)上，對(duì)平面幾何圖形的又一次認(rèn)識(shí)與學(xué)習(xí)，也是后續(xù)學(xué)習(xí)圓面積和立體圖形表面積的基礎(chǔ)。

教材以長(zhǎng)方形為基礎(chǔ)圖形，將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，將三角形、梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，來探究圖形的面積公式。其中，長(zhǎng)方形（正方形）面積的探究，要重點(diǎn)突出度量思想，讓學(xué)生體會(huì)度量的本質(zhì)。平行四邊形、三角形和梯形面積的探究要以度量為基礎(chǔ)，借助幾何直觀引導(dǎo)學(xué)生通過轉(zhuǎn)化和推理解決問題，發(fā)展空間觀念。

（二）學(xué)情分析

本單元學(xué)習(xí)之前，筆者對(duì)北京市房山區(qū)五年級(jí)某班32名學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，結(jié)論如下：

1.大部分學(xué)生知道平行四邊形、三角形、梯形的面積計(jì)算公式，但是不能說出道理。

2.學(xué)生理解用面積單位度量面積的方法，理解面積守恒定律。

3.大部分學(xué)生已經(jīng)具備初步的圖形轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)，但是經(jīng)驗(yàn)不足。

4.學(xué)生的思維不是很清晰，對(duì)于轉(zhuǎn)化的目的以及轉(zhuǎn)化前后圖形之間的關(guān)系不是很清楚。

（三）設(shè)計(jì)理念

基于上述分析，本單元教學(xué)設(shè)計(jì)以度量、轉(zhuǎn)化為主線和起點(diǎn)，重點(diǎn)關(guān)注推理能力的發(fā)展。

1.以度量為起點(diǎn)，整體構(gòu)建面積教學(xué)。

面積是指物體表面或平面圖形的大小，是用單位面積測(cè)量出的數(shù)量。學(xué)生對(duì)面積、體積等內(nèi)容的學(xué)習(xí)和理解，一般都經(jīng)歷了量的初步認(rèn)識(shí)—量的間接比較—利用公式求量的大小等階段。這幾個(gè)階段是相互聯(lián)系、逐層遞進(jìn)的。本單元的教學(xué)以度量思想為起點(diǎn)。

2.用好轉(zhuǎn)化思想，建立幾何圖形之間的關(guān)聯(lián)。

布魯納曾說：“我們不論教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)?！苯Y(jié)構(gòu)就是事物的聯(lián)系。小學(xué)學(xué)習(xí)的幾何圖形面積雖然分散在各個(gè)年段中，但有緊密聯(lián)系。例如：通過割補(bǔ)法，平行四邊形可以轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形;通過剪拼法，平行四邊形可以轉(zhuǎn)化為三角形，也可以轉(zhuǎn)化為梯形。抓住轉(zhuǎn)化這個(gè)核心，有助于學(xué)生構(gòu)建幾何圖形面積的結(jié)構(gòu)，形成空間觀念。

3.發(fā)展推理能力，推動(dòng)面積學(xué)習(xí)向深度發(fā)展。

筆者翻閱了相關(guān)的教學(xué)設(shè)計(jì)，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)設(shè)計(jì)能夠引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想探究幾何圖形的面積計(jì)算公式。但是學(xué)生的思維還停留在操作層面，缺乏深度思考。因此，在幾何圖形面積教學(xué)中，教師要認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化的作用，加強(qiáng)學(xué)生推理能力的培養(yǎng)。

（四）學(xué)習(xí)目標(biāo)與教學(xué)重點(diǎn)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1. 運(yùn)用轉(zhuǎn)化的方法，探索并掌握平行四邊形、梯形和三角形的面積公式;會(huì)計(jì)算平行四邊形、梯形和三角形的面積。

2.培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力，通過動(dòng)手操作發(fā)展空間觀念和推理能力。

教學(xué)重點(diǎn)：

運(yùn)用轉(zhuǎn)化的方法，探索并掌握平行四邊形、梯形和三角形的面積公式;會(huì)計(jì)算平行四邊形、梯形和三角形的面積。

二、整體教學(xué)思路（教學(xué)結(jié)構(gòu)）

1.溝通長(zhǎng)方形與平行四邊形的聯(lián)系，感悟用轉(zhuǎn)化法解決平面圖形面積問題的策略。（1課時(shí)）

2.通過轉(zhuǎn)化和推理自主探究三角形的面積計(jì)算方法。（1課時(shí)）

3.通過轉(zhuǎn)化和推理自主探究梯形的面積計(jì)算方法。（1課時(shí)）

4.整理復(fù)習(xí)幾何圖形面積的計(jì)算方法。（1課時(shí)）

三、核心教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)

（一）第1課時(shí)核心學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)

課題：平行四邊形面積。

環(huán)節(jié)一：回憶長(zhǎng)方形、正方形面積計(jì)算的推導(dǎo)過程。

師：同學(xué)們都認(rèn)識(shí)哪些平面圖形？（正方形、長(zhǎng)方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓……）

師：在這些圖形中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形、正方形面積的計(jì)算，我們是怎樣總結(jié)出長(zhǎng)方形和正方形面積計(jì)算公式的？這些計(jì)算公式表示什么意思？

教師適時(shí)出示圖1。

（活動(dòng)意圖：一是讓學(xué)生體會(huì)圖形的面積可以由單位面積來衡量;二是讓學(xué)生明確長(zhǎng)方形的面積是由長(zhǎng)和寬兩個(gè)維度的量相乘得到的。）

環(huán)節(jié)二：創(chuàng)設(shè)情境，在類比遷移中引發(fā)沖突。

出示生活中常見的平行四邊形車位圖，提出問題：怎樣計(jì)算平行四邊形的面積？

預(yù)設(shè)：方法1： 底×高。

方法2： 鄰邊相乘。

提問：這兩種方法是否正確呢？

（活動(dòng)意圖：平行四邊形與長(zhǎng)方形有很多相似之處，學(xué)生容易受長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式的影響，產(chǎn)生類比，用鄰邊相乘的方法計(jì)算平行四邊形面積。這種認(rèn)知沖突是學(xué)生探究的動(dòng)力。）

環(huán)節(jié)三：數(shù)面積單位個(gè)數(shù)，感受轉(zhuǎn)化思想。

在方格紙上出示平行四邊形，讓學(xué)生計(jì)算圖形的面積。

預(yù)設(shè)：方法1： 分別把不滿1格的平移，湊成1格（見圖2）。

方法2： 沿高剪割、平移（見圖3）。

溝通方法1和方法2的聯(lián)系，相同點(diǎn)是兩者都運(yùn)用了平移，把圖形進(jìn)行了轉(zhuǎn)化。

（活動(dòng)意圖：進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)單位面積的多少代表了圖形的面積;發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化后，才能數(shù)面積單位的個(gè)數(shù)，感受轉(zhuǎn)化的價(jià)值。）

環(huán)節(jié)四：自主探究，發(fā)展學(xué)生推理能力。

學(xué)生以小組為單位借助不同形狀的平行四邊形學(xué)具，通過剪、平移，完成轉(zhuǎn)化，探索平行四邊形面積。提問并討論：

（1）你是怎樣轉(zhuǎn)化的，為什么這樣轉(zhuǎn)化？

（2）轉(zhuǎn)化前后圖形之間的關(guān)系怎樣？

（3）平行四邊形的面積計(jì)算為什么不能用鄰邊相乘？

（活動(dòng)意圖：學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化前后圖形之間關(guān)系的思考是理解面積公式的邏輯基礎(chǔ)，是推理能力的具體體現(xiàn)。對(duì)平行四邊形的面積計(jì)算不能用鄰邊相乘的反思與說明，促進(jìn)了學(xué)生思維的評(píng)判性和批判性。）

（二）第2課時(shí)核心學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)

課題：三角形面積的計(jì)算。

環(huán)節(jié)一：借助格子圖探究直角三角形面積公式。

用數(shù)格子的方法，計(jì)算圖4中直角三角形ABC和長(zhǎng)方形ABCD的面積。觀察直角三角形面積與長(zhǎng)方形面積的關(guān)系，推導(dǎo)直角三角形的面積公式。

長(zhǎng)方形ABCD的面積是6×3=18，直角三角形ABC的面積是6×3÷2=9，由此得出：

長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬，直角三角形面積=底×高÷2。

（活動(dòng)意圖：學(xué)生借助已有經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)直角三角形面積與長(zhǎng)方形面積的關(guān)系，從而推導(dǎo)出直角三角形面積計(jì)算公式。）

環(huán)節(jié)二：借助直角三角形面積計(jì)算公式，探究銳角三角形面積計(jì)算公式。

1.計(jì)算圖5中直角三角形ADB和直角三角形ADC的面積，再計(jì)算三角形ABC的面積。

教師引導(dǎo)學(xué)生完成計(jì)算和推導(dǎo)：

S△ABC=S△ADB+S△ADC，

S△ABC=5×4÷2+3×4÷2

=AD×BD÷2+AD×DC÷2

=（BD+DC）×AD÷2=BC×AD÷2。

因此，三角形的面積=底×高÷2。

2.計(jì)算圖6中鈍角三角形ACB的面積（大直角三角形面積-小直角三角形面積）。

3.總結(jié)三角形面積計(jì)算公式。

三角形面積=底×高÷2。

（活動(dòng)意圖：借助直角三角形的面積公式，推導(dǎo)出三角形的面積公式，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。格子圖可以幫助學(xué)生驗(yàn)證結(jié)論的正確性。）

環(huán)節(jié)三：利用平行四邊形面積，推導(dǎo)三角形的面積公式。

借助圖形之間的關(guān)系（如圖7），用平行四邊形的面積公式說明三角形的面積公式。

（活動(dòng)意圖：通過環(huán)節(jié)一、二的學(xué)習(xí)，學(xué)生積累了轉(zhuǎn)化和推理的經(jīng)驗(yàn)。本活動(dòng)進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生對(duì)圖形關(guān)系的認(rèn)識(shí)，增強(qiáng)思維能力。）

環(huán)節(jié)四：運(yùn)用圖形關(guān)系解決問題。

1.如圖8，平行四邊形的面積是48 cm2，底邊的中點(diǎn)是A，求涂色三角形的面積。

2.如圖9，長(zhǎng)方形ABCD的面積是10平方米，三角形EBC的面積是多少？說明理由。

（活動(dòng)意圖：本環(huán)節(jié)重點(diǎn)考察學(xué)生是否理解圖形之間的關(guān)系，能否借助關(guān)系解決問題。）

四、學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)

在學(xué)生觀察、拼擺、剪拼等活動(dòng)中，教師要評(píng)價(jià)學(xué)生掌握幾何圖形面積公式推導(dǎo)的水平和應(yīng)用知識(shí)解決問題的能力。評(píng)價(jià)維度如下：

[評(píng)價(jià)內(nèi)容 評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn) 水平表現(xiàn) 參與活動(dòng) 主動(dòng)參與活動(dòng)，遇到困難能積極采取措施解決 ☆☆☆☆☆ 基礎(chǔ)知識(shí)

基本技能 1.掌握三角形、平行四邊形、梯形的面積公式

2.會(huì)計(jì)算幾何圖形的面積 ☆☆☆☆☆ 積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，獲得基本數(shù)學(xué)思想 1.能用自己的語言解釋公式的推導(dǎo)過程

2.能主動(dòng)反思推導(dǎo)公式的策略和過程，積累“轉(zhuǎn)化圖形-建立聯(lián)系-推導(dǎo)公式”的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn) ☆☆☆☆☆ 解決問題

能力 能利用圖形特征和圖形之間的關(guān)系以及面積公式解決有關(guān)實(shí)際問題 ☆☆☆☆☆ ]

（北京市房山區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校? ?102400）