聚焦本源 有序設計 深度建構 提升思維

沈靜

摘? 要：針對學生在運用三角形高的知識進行綜合解題中出現(xiàn)的種種錯誤，試圖努力通過對教材的整合，對“畫垂線——三角形的高——同底等高三角形的比較——與其他圖形的比較——綜合應用”有序設計，引導學生從最初的認知起點出發(fā)，了解高的“前世”“今生”，由此不斷遞進，在建構的過程中感受數(shù)學思維的“一脈相承”，成為一個完整的知識鏈，為高的“后世”——綜合運用提供可能，從而達到提升思維、發(fā)展能力的目的。

關鍵詞：整合;聯(lián)系;結(jié)構化設計;思維訓練;核心素養(yǎng)

教材是教學內(nèi)容的重要載體，也是教師教學的重要依據(jù)，教材的內(nèi)容從年級、單元最后到課時由上而下都有清楚的脈絡，不過教材循序漸進、螺旋上升的編排或多或少地影響了學生學習的連貫性，阻礙了對學生良好的認知結(jié)構的形成。如教材是“大寫意”的，那么教材的實行者——老師，對課堂的實施，應該是一幅幅的“工筆畫”，從架構的精細描畫，對教材拾遺補闕，做好跑龍?zhí)椎慕巧?，進行結(jié)構化的教學，改善數(shù)學知識被分割、肢解的不足，努力將碎片化的知識由點及線，由線連面，由面建體，不能以點為點，把課時內(nèi)容作為一個單一的知識點組織課堂教學，而應以一組內(nèi)容或看作一個知識群來組織教學，清晰學科知識的邏輯體系以及基于知識體系的能力素養(yǎng)體系，對知識背后的數(shù)學思想方法及核心內(nèi)容了然于心，以實現(xiàn)學生從學習知識轉(zhuǎn)化成能力的過程。下面就以“應用三角形的面積綜合解題”為例展開討論。

圖形的面積計算是五年級上冊在學生認識了平面圖形后，通過剪拼、平移、旋轉(zhuǎn)等方法，探索并掌握了平行四邊形、三角形和梯形的面積公式，在此基礎上解決一些如下圖的簡單組合圖形面積的計算或判斷，如：判斷下圖中的哪個陰影部分面積與其他陰影部分面積不相等？（圖1）又如：圖形ABCD的面積是多少平方厘米？（圖2）再如：王大伯有一塊梯形的菜地，其中陰影部分種西紅柿，他想知道種西紅柿的面積是多少公頃，你能幫他算一算嗎？（圖3）

在實際的作業(yè)反饋中，發(fā)現(xiàn)學生的錯誤率之高令人咋舌，此類題型主要考查三角形面積公式的靈活運用，能快速地判斷鈍角三角形底邊上對應的高是哪條。后一題同理也是，觀察圖形判斷出陰影部分的面積是由兩個鈍角三角形面積相加所得，并能找出AB邊對應的高是CE，DC邊對應的高是AF，這是解答此題的關鍵。但為何大部分學生看不出圖形的等高呢？原因有很多，最重要的有以下幾個：①底邊不在水平線上;②高不在三角形內(nèi)，即鈍角三角形的高一般都不能找出。

[?]一、溯本求源，直擊起點，有序設計

數(shù)學知識有著本身固有的結(jié)構體系，往往新知孕伏于舊知，舊知識是新知識的伸長點，學生的綜合解題的錯誤或偏差，常常意味著與之相關聯(lián)知識的缺失，這就需要我們?nèi)ヌ綄W生的“前數(shù)學經(jīng)驗”停留在哪個位置。只有找到了問題的源頭，才能順藤摸瓜找到解決問題的方法。很顯然，以上這類解題的關鍵在于高，再追尋學生的認知源點，實際就是學生已經(jīng)學的“過直線外一點畫已知直線的垂線”，也就是四年級上冊點到直線的距離演繹而來，再往上追溯，三角形高的本質(zhì)就是兩點之間的距離，這是一個核心的概念，如果對這條線段的兩個端點的位置加以不同的限制的話，又可以衍生其他幾個重要的概念。比如，兩點之間的距離、點到直線的距離、平行線之間的距離等這些相互聯(lián)系的概念（這些暫且不表），都是對線段的兩個端點位置增加或限制條件后做出的定義。三角形的高也在這個概念系統(tǒng)之內(nèi)，簡而言之，它是一條頂點到垂足之間的線段，一個端點是三角形的一個頂點，另一個端點是過這個頂點向?qū)吽鞯拇咕€段后所得的垂足這一本質(zhì)特點，所以從某種意義上來說，垂線的畫法和性質(zhì)是以后進一步學習平面直角坐標系、三角形高、切線的性質(zhì)和判定，以及空間中的垂直關系等知識的基礎，由此，我們也很容易看出“垂線”這一前期起點知識的重要性。

曹培英老師把幾何形體概念的同化歸納為三個階段：定義——同化——強化。強化是教師有目的地對學生的認知活動進行直接干預或間接干預的教學行為，目的是使某種形式呈現(xiàn)的刺激物與學生認識或行為之間建立起比較穩(wěn)固的聯(lián)系，即要注重對“量變的積累”訓練，才能有“質(zhì)變”的突破。這就需要我們教師在四年級下冊教學畫垂線的起點教學中，教師不僅僅以教材知識這個點教學，而是努力嘗試圍繞這個點適度展開，將知識不斷地強化延伸，進行有層次的訓練。

（1）從難易程度來設計練習（如圖4）：①畫已知直線的垂線——②過直線上的一點畫已知直線的垂線——③過直線外的一點畫已知直線的垂線——④在角中畫垂線——⑤在圖形中畫垂線。在畫已知直線的垂線（點在線上）時，引導學生規(guī)范畫垂線的操作方法;第二層次過直線上的一點畫已知直線的垂線時，適當把畫垂線的方法化為朗朗上口的口訣“一重、二靠、三移、四畫、五標”，并按照步驟嚴格作畫;通過以上步驟練習操作，學生掌握了經(jīng)驗后，可以遷移上一步的畫法，練習經(jīng)過直線外的一點畫已知直線的垂線和角內(nèi)、圖形內(nèi)畫垂線的方法，為圖形的“高”提供前經(jīng)驗。

（2）從位置形式上進行設計練習（如圖5、圖6、圖7）：不僅對“邊”的位置進行變換練習，對所對應的點的位置也要作出不同的變式，即對對邊在水平線上的和不在水平線上的，以及點在對邊的區(qū)域內(nèi)、區(qū)域邊上、區(qū)域外等不同的位置進行畫垂線的練習。通過以上有序的設計，引導學生從不同位置的直線外的一點畫已知直線的垂線段，準確地感知和建構“垂線段”的本質(zhì)，也幫助學生去除概念的非本質(zhì)屬性，拓展“垂線段”的應用范圍，驅(qū)動深度學習，為深度“認識高”積累豐富的活動經(jīng)驗，有意識地幫助學生打通“三角形畫高”這一后續(xù)的新知學習與這個“認知起點”的聯(lián)系，打好“認識高”的前位基礎，做好扎實的鋪墊，促進學生更好地進行數(shù)學理解，實現(xiàn)“高”這一概念的自然生長。

[?]二、提供聯(lián)系，縱向貫通，整體感悟

三角形畫“高”歷來都是教學的難點，學生一般都理解為只有在豎直方向上才有高，如果事先形成了這樣的思維定式，那么當三角形的底邊不在水平線上時，所對應的高不再是垂直方向，學生畫高也就無從下手，隨之，應用高的知識解決一系列圖形面積問題也就成為學生的最大痛點，教過高年級的教師都深有感觸。對于各種形式的三角形的畫高，學生需要對概念進行深入理解以及運用，需要對圖形進行細心的觀察分析，需要工具的靈活操作使用，畫高是考驗學生的一項綜合的數(shù)學實踐活動。不過，縱觀四年級下冊教材，對三角形的高沒有重點強調(diào)，只是從現(xiàn)實情境出發(fā)，引導學生借助生活中常見的人字梁的高，通過測量比較人字梁的高度來感知三角形的底和高，并由此抽象出三角形的底和高的概念，僅僅如此，事實上是遠遠不夠的。斯根普在《學習數(shù)學的心理學》中指出：概念教學應該從大量的實例出發(fā)，用實例直觀地幫助完成定義，而不是就定義教定義。學生對各種不同三角形“高”的數(shù)學概念的認識和感受，表象的形成需要通過一系列的訓練才能達成，這就需要教師從學生的角度出發(fā)，積極利用各種教學資源，創(chuàng)造性地使用教材，學會用教材教，組織學習探究材料，給學生提供“動態(tài)想象”圖。所以在教學這部分知識的時候，依據(jù)影響三角形畫高的難度因素，把三角形畫高教學進行這樣的調(diào)整：

（1）經(jīng)驗引入，聯(lián)系新知。通過學生所熟悉的比人身高和樹的高度，初步感知“高”必須從頂點出發(fā)，并得出無論人是躺著還是站著，他的身高總是從頭頂（相當于頂點）出發(fā)，垂直于腳板（相當于對邊）的垂直線段，是不變的，初步去除底邊一定在水平線上這一非本質(zhì)屬性。

（2）游戲穿插，體會對應。針對學生在畫高的過程中常常會出現(xiàn)圖8所示的錯誤，我們可以設計“比比誰的反應快”的游戲（圖9），體會頂點與底邊的對應關系，教師指點（邊），學生搶答其對應的邊（點），明確底對應的頂點，是準確畫“高”的前提條件，必要時還要說明，底所對應的頂點，即是除了與底邊相連的兩個頂點外的另一個頂點，為正確畫“高”做好鋪墊。

（3）示范畫高，同化步驟。改變教材常規(guī)的水平邊上畫高，而采用銳角三角形中畫斜邊上的高為示范，提煉發(fā)現(xiàn)畫高的步驟和畫垂線的方法完全相同，有了有序的操作步驟做支撐，進一步明確高和底是相對的，是一組互相垂直的線段，學生不斷將之內(nèi)化為規(guī)范，并在操作中對高有了進一步辨析和理解，將畫高的過程抽象到“點到線段的距離”即轉(zhuǎn)化為已學過的作垂直線段的知識，將“轉(zhuǎn)化”這種重要的、數(shù)學的基本思想介入到新的學習方法中。如此，將新經(jīng)驗納入已有的知識結(jié)構中去理解，幫助學生了解認知結(jié)構的前因后果、來龍去脈。

（4）提供支點，有效串聯(lián)。數(shù)學知識的體系就像一棵大樹，每一個知識點往往是原有知識的延伸和拓展，教師在數(shù)學課堂上盡可能給學生提供支點，讓學生對知識本質(zhì)內(nèi)涵有效串聯(lián)，感受數(shù)學的鏈狀結(jié)構，幫助學生逐步加深對概念的理解，促進學生自主建構，使學生的理性思維不斷走向完善。本堂課也是如此，鞏固環(huán)節(jié)可以出示畫垂線作圖題（圖10），然后動態(tài)依次連接線段的兩端和線外的一點，便出現(xiàn)了三個三角形，引導：你發(fā)現(xiàn)在三角形中，點到直線的垂線段，就是三角形的什么？學生通過觀察比較，喚醒舊有經(jīng)驗，畫高的本質(zhì)與四年級上冊學的經(jīng)過直線外一點畫垂線段的方法是相同的，再次溝通了“畫高”和“畫垂線”這兩個上下位知識點的聯(lián)系，把新學的“畫高”拉回到了“畫垂線段”這個知識的源點。這樣，新的概念和舊有的概念得到精確的分化和貫通，新的概念無形中被納入原有的認知結(jié)構中，形成內(nèi)容豐富也更加完善的認知結(jié)構體系。

（5）多維辨析，整體感悟。通過上述層層遞進的變式練習，學習各平面圖形的高后，再次深入幫助學生建構概念，深入辨析，促進學生更好地進行數(shù)學理解：不管是平行四邊形的高還是梯形的高，都是從一條平行邊上的一點出發(fā)，到對邊（底）的垂線段，本質(zhì)都是“垂線段”但也有一定的區(qū)別。平行四邊形和梯形與三角形相比，梯形有無數(shù)條高，從上底任意一點到下底所畫的垂線段都是它的高，平行四邊形有兩組不同的底和高，有無數(shù)條。而三角形有三組不同的底和高，各只有一條，分別是從其中一個頂點出發(fā)到對邊（底）的垂線段，其中，鈍角三角形有兩條高在外部，直角三角形的兩條高在圖形上。

[?]三、動態(tài)演示，橫向聯(lián)系，深度建構

除了構建縱向維度的知識“線”體系，將“點到直線的距離”與“三角形的高”連接起來，知道知識是怎么來的以外，還需要構建橫向的知識“線”體系，為構建以線連面提供可能，借助動圖，把各種三角形的高和其他平面圖形的高聯(lián)系起來，整體感知各種三角形的高的位置變化。

1. 三角形與三角形之間的聯(lián)系

在學生對不同形狀的三角形進行作高操作熟練之后，通過動圖動態(tài)演示其形狀的變化引起“高”位置的變化過程，讓學生感受到隨著三角形頂點的移動，三角形的形狀也在不斷地變化。當頂點移動形成直角三角形時，高也隨之向右移動，“高”就和右邊的直角邊重合，直觀理解了當直角三角形的一條直角邊為底的時候，另一條直角邊就是它的高，垂足就是兩直角邊的交點;接著引發(fā)學生猜想驗證：頂點如果繼續(xù)向右移動，三角形的高將會發(fā)生怎樣的變化？采用慢鏡頭，讓學生觀察，將學生初步記憶里對高的表象一次次提取、改造和重組，理解了當三角形變成鈍角三角形時，高繼續(xù)隨之向右移動，不過，這時高在三角形的外面，垂足在對應底邊的延長線上。通過幾何一系列顯性化地動態(tài)演示（圖11），學生不僅看到了從銳角三角形——直角三角形——鈍角三角形的變化串聯(lián)過程，豐富了對三角形的“形”感知，也看到了高的位置變化：內(nèi)部的高——邊上的高——外部的高，完善了對高的“從‘頂點向‘對邊作‘垂線段”的“質(zhì)”的感知，通過三類不同的三角形對高的位置動態(tài)變化，進行橫向比較、聯(lián)系，整體感知，突破教學的難點，深度把握了對三角形高的概念建構。

2. 三角形和其他平面圖形之間的聯(lián)系

除了構建以上橫向的三角形之間高的變化的知識體系，教師還需將三角形的高與其他各平面圖形的兩平行線之間的高進行類比（圖12）（平行線距離處處相等，所以這里面的三角形的高也相等，其次可以觀察三角形與各平面圖形之間的面積關系），將三角形的“高”放在知識的大背景中讓學生整體感知和有效建構，為三角形的等積變形做好鋪墊和埋伏。數(shù)學知識體系就像是一個大網(wǎng)絡，每個數(shù)學知識點相當于其中的一個結(jié)點，而理解數(shù)學結(jié)點的方法或許有很多，讓學生在數(shù)學課堂中感受到數(shù)學的“鏈狀”結(jié)構，促進學生自主構建起網(wǎng)狀式的知識體系或許是一種很好的方法。

教師借助媒體的直觀動態(tài)演示，引導學生從以上兩種不同的維度將“靜態(tài)”的圖形轉(zhuǎn)向“運動”的圖形，勾連“二維平面圖形”間的關系，學生在變化的圖形中找到了規(guī)律的變與不變：“在兩平行線之間三角形的形發(fā)生變化，由于三角形的底相同，高相等，它們的面積不變?！薄霸谡叫?、長方形、平行四邊形、梯形中，如三角形與這些圖形同底等高，則三角形的面積是所在平面圖形面積的一半（梯形除外）。”學生頭腦中零散的知識逐漸被同化，對“形”與“面積”辯證的認識進一步明晰，從根源上理解了這些圖形的面積計算都與“底、高”相關，與形無關。

[?]四、融會貫通，綜合運用，提升思維

教學遵循數(shù)學的基本規(guī)律，將“知識間的內(nèi)在聯(lián)系”貫穿于全過程，突出新舊知識之間的聯(lián)系，著力將新知嫁接在原有的知識樹上，呈現(xiàn)出一種發(fā)展的動態(tài)，使之成為學生個人內(nèi)部知識網(wǎng)絡的一部分，有效實現(xiàn)知識結(jié)構的遷移同化。而不是像西醫(yī)一樣，頭疼醫(yī)頭腳疼醫(yī)腳，數(shù)學的教學從來都需要像中醫(yī)一樣講究“疏通脈絡”。通過以上每一個年級各個階段的起點部分清楚地點明相應的“核心問題”，且在每一個階段的學習過程中不斷地重復這些問題中涉及的知識點進行有效串聯(lián)，形成連貫的知識鏈，努力將平時局部課堂向整體課堂轉(zhuǎn)變，那么構建基于核心素養(yǎng)和關鍵能力的數(shù)學課堂將指日可待。

解題的過程就是調(diào)用數(shù)學基礎知識的過程。形成以上“畫垂線——畫高——同底等高的三角形的比較——同底等高的三角形與其他平面圖形的比較”這樣的知識體系后，學生對高的“前世”“今生”了然于心，讓學生在重構過程中感受數(shù)學思維的“一脈相承”和融會貫通，為高的“后世”即對高的靈活應用奠定了基礎，也就有了等積變換的前提和基礎，為實現(xiàn)高年級線段比和面積比之間的相互轉(zhuǎn)化提供了可能。如文初提到的圖1，學生一下便能判斷陰影部分的底邊對應的高分別是誰。再如，一塊三角形草地（如圖13），底邊長6米，現(xiàn)在要擴建這塊草地，把底邊延長2米，草地的面積就增加了3平方米，那么這塊草地原來的面積是多少？學生很容易直觀想象，如求原來三角形草地的面積，必須要知道原來三角形的高，而原來三角形的高與陰影部分三角形的高是同高，根據(jù)陰影部分三角形的面積和底就可以求出，問題就迎刃而解。同理，文初題3，學生的第一反應是利用三角形的等高，通過等積變形把右面的三角形轉(zhuǎn)化成中間的三角形的形狀，把兩塊陰影部分合并成一個直角三角形的面積，從而將不容易求的面積轉(zhuǎn)化成容易求的面積（圖14）。那么如開頭所提到的“求四邊形ABCD的面積”（圖15），學生能快速將問題和知識連接起來，找到四邊形和三角形之間的聯(lián)系，連接AC，把四邊形ABCD拆分成△ADC和△ABC兩個三角形，而△ABC的高就是CE=6cm，△ADC的高就是AF=4cm;根據(jù)三角形的面積計算公式即可求出△ABC的面積和△ADC的面積，進而相加即可求出四邊形ABCD的面積。將來高年級還可以利用線段比轉(zhuǎn)化成面積比，如△ABC的面積是15平方米，AD是BD的2倍，那么△ACD的面積是多少？（圖16）因為三角形的面積=底×高÷2，所以當高相等時，三角形的面積比等于底邊長的比。因為△ACD和△BCD是等高三角形，所以它們的面積比是2∶1，由此問題得到了解決。通過以上多層次、多維度的綜合練習，學生做到了深度思考——建立知識聯(lián)系——解決問題——系列的高階思維，把難題各個擊破，久而久之，最終將知識內(nèi)化成能力。

天下大事必做于細，教學亦是如此，教學不是一個點或一條線的實現(xiàn)，而是體現(xiàn)過程、能力、方法、態(tài)度等多方面的生成。如果教師在教學過程中有長遠的眼光，給予學生一個彈性生成的空間，既重視教材對教學的指引功能，又不唯教材，活用教材，整合一切教學資源為“我”所用，樹立結(jié)構化教學觀，整體推進，注重數(shù)學知識間的縱橫聯(lián)系，揭示其本質(zhì)屬性，讓學生整體感受和把握數(shù)學知識的融通過程，幫助他們建立一個完整的知識體系，那么我們的教學才真正做到了“實”，做到了“真”，才能讓學生從單純地得到“一時能記得住的知識”實現(xiàn)轉(zhuǎn)向獲得“一生能帶得走的能力”。