有理數(shù)集的可數(shù)性與稠密性應(yīng)用

祁瑞生，徐大樹(shù)

（東北大學(xué)秦皇島分校數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河北秦皇島066000）

1 在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用

1.1 解函數(shù)方程的柯西法

函數(shù)方程是指含有未知函數(shù)的等式，它與代數(shù)方程、微分方程不同，并沒(méi)有普遍的解法，盡管如此，還是有一些經(jīng)典的方法，如換元法、待定系數(shù)法、柯西法等。其中，柯西法基于有理數(shù)集的稠密性，是一個(gè)重要的求解函數(shù)方程的方法。

注1 利用柯西法，還可以求解如下幾個(gè)經(jīng)典的函數(shù)方程[3]：

注2 例1的結(jié)論應(yīng)用廣泛，利用例1的結(jié)論可以證明泛函分析中的兩個(gè)命題。

命題1[2]設(shè)V是賦范線性空間，若它的范數(shù)則可以在V上定義內(nèi)積(?,?)，使得該范數(shù)由內(nèi)積誘導(dǎo)而成。

命題2[2]實(shí)賦范線性空間E到E1的連續(xù)可加算子必滿足齊次性，從而是連續(xù)線性算子。

1.2 證明函數(shù)不等式

基于有理數(shù)集的稠密性，可以證明許多與連續(xù)函數(shù)有關(guān)的命題，利用函數(shù)的連續(xù)性與海涅定理，可以先研究連續(xù)函數(shù)在有理點(diǎn)處的性質(zhì)，進(jìn)而再由有理數(shù)集的稠密性找到有理數(shù)數(shù)列逼近定義域內(nèi)任何一個(gè)實(shí)數(shù)，從而得到一般結(jié)論。

注3 利用與例2證明相似的方法，可以證明：設(shè)f(x),g(x)是定義在實(shí)數(shù)域R上的連續(xù)實(shí)函數(shù)，且對(duì)任一有理數(shù)r，有則這表明連續(xù)函數(shù)的取值完全由它在定義域中有理數(shù)點(diǎn)處的取值所決定。

注4 例1與例2的證明中都利用了Q在R中的稠密性，即對(duì)任一實(shí)數(shù)r∈R，都存在有理數(shù)數(shù)列，使得

1.3 構(gòu)造分析學(xué)中的反例

有理數(shù)集的可數(shù)性與稠密性為構(gòu)造分析學(xué)中的許多反例提供了思路，如有界卻黎曼不可積的狄利克雷函數(shù)[5]；在無(wú)理點(diǎn)連續(xù)，而在有理點(diǎn)不連續(xù)的黎曼函數(shù)[6]。

例3 試構(gòu)造反例說(shuō)明以下兩個(gè)命題均為錯(cuò)誤的：

（1）若函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)，則在該點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)。

（2）若函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)，則在該點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)。

解 構(gòu)造反例如下：令f(x)=x2D(x)，其中D(x)表示狄利克雷函數(shù)，即

1.4 證明連續(xù)函數(shù)介值定理的逆定理

定義在連通集上的連續(xù)實(shí)函數(shù)具有介值性，即若f(x)可以取到a和b，則f(x)可以取到a和b之間的任意一個(gè)數(shù)。反之，具有介值性的函數(shù)卻未必連續(xù)。但利用有理數(shù)集的稠密性，可以證明一個(gè)介值定理的逆定理。有理數(shù)集的稠密性表明任意兩個(gè)實(shí)數(shù)之間總是存在一個(gè)有理數(shù)[7]，利用這一性質(zhì)，可以證明連續(xù)函數(shù)介值定理的一個(gè)逆定理。

命題3[8]設(shè)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的實(shí)函數(shù)且具有介值性，即對(duì)，存在x介于a,b之間，使得f(x)=c。若對(duì)任一有理數(shù)是閉集，證明：f(x)在R上連續(xù)。

證明 用反證法，設(shè)x0為f(x)的不連續(xù)點(diǎn)，根據(jù)海涅定理，存在一個(gè)數(shù)列滿足，但于是存在f(x0)的開(kāi)鄰域使得數(shù)列有無(wú)限項(xiàng)在該鄰域之外，亦即存在的子列使得不失一般性，設(shè)由有理數(shù)集的稠密性可知存在有理數(shù)r使得由介值性可知存在tk介于x0,yk之間，使得故由得，而E是閉集，故x0∈E，所以，這與矛盾。

2 在實(shí)分析中的應(yīng)用

稱一維直線E1的子集G為開(kāi)集，如果它的每個(gè)點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)。在實(shí)分析中，考慮一維直線上有界開(kāi)集的結(jié)構(gòu)是一個(gè)重要的問(wèn)題，基于有理數(shù)集的可數(shù)性，證明下面的命題。

命題4[9]一維非空有界開(kāi)集可以表示成至多可數(shù)個(gè)互不相交的開(kāi)區(qū)間的并。

證明 設(shè)G為一有界開(kāi)集，可以證明：任取x∈G，存在開(kāi)區(qū)間(a,b)，使得x∈(a,b)，且(a,b)?G，a,b?G[9]。已知G中任意一點(diǎn)x都對(duì)應(yīng)一個(gè)開(kāi)區(qū)間(ax,bx)?G，當(dāng)x≠y，對(duì)應(yīng)的開(kāi)區(qū)間(ax,bx),(ay,by)若相交，則必重合。否則，將與ax,ay,bx,by?G矛盾，從而G可以表示成一些互不相交的開(kāi)區(qū)間的并。由于這些開(kāi)區(qū)間互不相交，由有理數(shù)集的稠密性與可數(shù)性，可在每個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)取一個(gè)有理數(shù)與這個(gè)開(kāi)區(qū)間構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)，這些有理數(shù)是至多可數(shù)個(gè)，從而這些開(kāi)區(qū)間為至多可數(shù)個(gè)。

3 在點(diǎn)集拓?fù)渲械膽?yīng)用

定義1[10]設(shè)X為一個(gè)拓?fù)淇臻g中的點(diǎn)p稱為集合A的聚點(diǎn)，如果p任一鄰域都包含中的至少一點(diǎn)。A的聚點(diǎn)的全體稱為A的導(dǎo)集，記為d(A)。

在拓?fù)鋵W(xué)中有如下經(jīng)典習(xí)題：

例4[10]給R賦予余可數(shù)拓?fù)?，即定義R上的拓?fù)錇榭蓴?shù)集記Q為全體有理數(shù)集合，試求有理數(shù)集Q的導(dǎo)集d(Q)。

解 任取x∈R。若x∈Q，下面證明x不是Q的聚點(diǎn)。事實(shí)上，取，則可數(shù)，所以注意到，從而x不是Q的聚點(diǎn)。若，取，則Bc=Q可數(shù)，所以注意到，從而x不是Q的聚點(diǎn)。綜上所述，?x∈R都不是Q的聚點(diǎn)，所以

4 在泛函分析中的應(yīng)用

先引入度量空間可分性的定義。

定義2[2]設(shè)A，B均為度量空間X的子集，如果，則稱B在A中稠密。

定義3[2]設(shè)X為度量空間，若X存在稠密的可數(shù)子集，則稱X可分。

有理數(shù)集是可數(shù)的，從而可以從有理數(shù)集出發(fā)構(gòu)造一系列的可數(shù)集，例如利用這些構(gòu)造出的可數(shù)集，可以證明一些度量空間的可分性。

利用與例5相似的方法，可以證明下面的例6與例7。

例7 設(shè)c為一切收斂實(shí)數(shù)列構(gòu)成的集合，在c中定義線性運(yùn)算如下：其 中在 c 中 定 義 范 數(shù) 為其 中 x=設(shè)d(x,y)為范數(shù)誘導(dǎo)出的度量，即證明c在度量d下可分。

下面的例8在研究可分希爾伯特空間的結(jié)構(gòu)時(shí)有著重要的作用。

例8 設(shè)V是實(shí)內(nèi)積空間，若V中存在完備的規(guī)范正交系，則V可分。

5 結(jié)束語(yǔ)

有理數(shù)集的可數(shù)性與稠密性在本文的例題與命題中得到充分的運(yùn)用，從有理數(shù)集的可數(shù)性與稠密性出發(fā)，可以將相關(guān)的結(jié)論推廣到更一般的拓?fù)淇臻g上。