數(shù)值分析課程中Lagrange插值法的教學(xué)與設(shè)計(jì)

陳素根

（安慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽安慶246133）

“數(shù)值分析”是高等院校數(shù)學(xué)類專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程，同時(shí)也是很多理工科專業(yè)的主要公共課之一，它主要研究計(jì)算機(jī)求解各種數(shù)學(xué)問(wèn)題和模型的數(shù)值計(jì)算方法及其理論與軟件實(shí)現(xiàn)[1]。“數(shù)值分析”課程是一門具有很強(qiáng)實(shí)踐性的數(shù)學(xué)課程，不僅具有數(shù)學(xué)高度抽象性特點(diǎn)，而且其理論體系構(gòu)建、算法設(shè)計(jì)等思維方式也具有鮮明特點(diǎn)，注重?cái)?shù)值方法和解決實(shí)際問(wèn)題的工程思想，在意方法的精確性和計(jì)算效率之間的平衡[2]。然而，傳統(tǒng)的數(shù)值分析課程教學(xué)中存在一些問(wèn)題，為此，諸多學(xué)者對(duì)數(shù)值分析課程教學(xué)方法及實(shí)驗(yàn)教學(xué)進(jìn)行了探究[3-6]。

插值方法是數(shù)值分析課程中最基本的內(nèi)容之一，主要研究用簡(jiǎn)單函數(shù)為各種離散數(shù)據(jù)建立連續(xù)的數(shù)學(xué)模型代替原有的復(fù)雜函數(shù)。然而，在教學(xué)過(guò)程中往往注重插值方法原理的講解，再加上實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)不夠重視，使得學(xué)生不能熟練掌握插值方法，從而嚴(yán)重影響了數(shù)值分析課程中后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)效果以及學(xué)生對(duì)數(shù)值分析課程的學(xué)習(xí)興趣。實(shí)際上，插值方法在工程外觀設(shè)計(jì)、經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)分析與處理、圖形圖像處理等方面都有應(yīng)用，有廣泛的實(shí)際應(yīng)用背景。嘗試通過(guò)實(shí)際問(wèn)題驅(qū)動(dòng)理論教學(xué)并結(jié)合實(shí)驗(yàn)精心設(shè)計(jì)加以鞏固和提升，不僅有利于學(xué)生深刻理解插值方法的原理，而且有利于將理論與實(shí)際相結(jié)合，切實(shí)提高學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力。因此，系統(tǒng)設(shè)計(jì)插值方法的教學(xué)過(guò)程對(duì)數(shù)值分析課程的整體教學(xué)有一定的意義。本文針對(duì)Lagrange插值方法的理論教學(xué)和實(shí)驗(yàn)教學(xué)進(jìn)行設(shè)計(jì)和探討。

1 Lagrange插值法

在插值函數(shù)中，多項(xiàng)式函數(shù)由于簡(jiǎn)單、實(shí)用而被廣泛使用。多項(xiàng)式插值問(wèn)題概述如下：給定函數(shù)f(x)在n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)xi(i=0,1,2,…,n)處的函數(shù)值及其導(dǎo)數(shù)值

其中mi為自然數(shù)，插值條件共有個(gè)。插值問(wèn)題就是求不超過(guò)N-1次的代數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)H(x)，使其在上述節(jié)點(diǎn)處與函數(shù)f(x)有相同的函數(shù)值和各階導(dǎo)數(shù)值，即

當(dāng)mi全為零時(shí)，即插值條件沒(méi)有導(dǎo)數(shù)插值條件時(shí)，上述插值問(wèn)題即為拉格朗日(Lagrange)插值或牛頓(New ton)插值或樣條(Spline)插值；當(dāng)mi不全為零時(shí)，上述插值問(wèn)題即為埃爾米特(Herm ite)插值。

具體而言，n次Lagrange插值多項(xiàng)式為

其中yj=f(xj)為插值函數(shù)值，lj(x)為拉格朗日基函數(shù)：

顯然，基函數(shù)滿足條件：

2 Lagrange插值法的理論教學(xué)設(shè)計(jì)

第一步，問(wèn)題驅(qū)動(dòng)。結(jié)合插值法在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，講述插值法的提出、發(fā)展以及研究現(xiàn)狀，讓學(xué)生了解插值法的應(yīng)用背景，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。許多實(shí)際問(wèn)題中都用函數(shù)來(lái)表示某種內(nèi)在聯(lián)系或規(guī)律，但不少函數(shù)只能通過(guò)實(shí)驗(yàn)和觀測(cè)來(lái)了解。比如，結(jié)合經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)處理與預(yù)測(cè)講解插值問(wèn)題的提出；結(jié)合現(xiàn)代機(jī)械工業(yè)設(shè)計(jì)中利用計(jì)算機(jī)程序控制加工機(jī)械零件問(wèn)題講解插值函數(shù)問(wèn)題，根據(jù)設(shè)計(jì)可以給出零件外形曲線的某些型值點(diǎn)，利用插值方法計(jì)算加工時(shí)走刀的方向和步數(shù)。通過(guò)講解Lagrange插值方法的發(fā)展史，讓學(xué)生了解該方法的來(lái)龍去脈；通過(guò)實(shí)際問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的方式講解Lagrange插值在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，讓學(xué)生理解該方法的應(yīng)用背景，讓枯燥復(fù)雜的理論和原理推導(dǎo)稍微有趣一點(diǎn)，便于學(xué)生理解。

第二步，遞進(jìn)式教學(xué)。首先，在插值問(wèn)題提出的基礎(chǔ)上，立刻給出多項(xiàng)式插值的存在唯一性定理和插值余項(xiàng)估計(jì)定理。此時(shí)僅注重結(jié)論，不過(guò)分追求理論證明，只要求學(xué)生明白滿足插值條件的多項(xiàng)式是存在唯一的，而且插值效果的好壞是可以用插值余項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)的。事實(shí)證明，在教學(xué)過(guò)程中一味強(qiáng)調(diào)這里的理論證明過(guò)程，讓很多學(xué)生學(xué)習(xí)興趣驟減，直接影響教學(xué)效果。其次，教學(xué)內(nèi)容由易到難，從學(xué)生們最熟悉的一次函數(shù)和二次函數(shù)講起，如：互異的兩點(diǎn)唯一確定一條直線，互異的三點(diǎn)唯一確定一條拋物線。這樣，讓學(xué)生感覺(jué)到這些內(nèi)容并不陌生，就不會(huì)畏懼新內(nèi)容的學(xué)習(xí)。此時(shí)，通過(guò)對(duì)所構(gòu)造的一次函數(shù)和二次函數(shù)的化簡(jiǎn)，得出關(guān)于函數(shù)值的組合表達(dá)式，進(jìn)一步引出基函數(shù)的概念，從而為講解Lagrange插值問(wèn)題打好基礎(chǔ)。關(guān)于Lagrange插值，重點(diǎn)講清（2）式的構(gòu)造思想，然后從二次、三次基函數(shù)逐漸向高次基函數(shù)歸納和推廣，并配合Matlab編程繪制基函數(shù)的圖形，這樣學(xué)生就可以更好地理解這樣構(gòu)造的多項(xiàng)式為什么就是插值的。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合（1）式講清楚編程實(shí)現(xiàn)的流程圖，通過(guò)不斷增加插值節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，舉例讓學(xué)生體會(huì)到Lagrange插值的缺點(diǎn)。最后，分析討論Lagrange插值的優(yōu)缺點(diǎn)，順利過(guò)渡到后續(xù)內(nèi)容的講解。雖然Lagrange插值的公式結(jié)構(gòu)整齊緊湊、理論分析方便，然而在計(jì)算中，當(dāng)插值點(diǎn)增加或減少一個(gè)時(shí)，所對(duì)應(yīng)的基函數(shù)就需要全部重新計(jì)算，插值公式也會(huì)變化。為克服這些缺點(diǎn)，就需要構(gòu)造其他插值方法，為講述New ton插值法的構(gòu)造做準(zhǔn)備。此外，當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)比較多的時(shí)候，構(gòu)造的Lagrange插值多項(xiàng)式一般次數(shù)會(huì)很高，利用Matlab繪制插值曲線圖形說(shuō)明該方法的數(shù)值不穩(wěn)定，從而解釋高次Lagrange插值的龍格現(xiàn)象，為過(guò)渡到分段線性插值問(wèn)題作鋪墊?？傊?，通過(guò)對(duì)Lagrange插值方法優(yōu)缺點(diǎn)的分析，自然過(guò)渡到新內(nèi)容的講解，結(jié)合Matlab繪制圖形讓算法效果可視化，這種遞進(jìn)式教學(xué)設(shè)計(jì)，有利于學(xué)生對(duì)Lagrange插值方法全面理解和掌握。

第三步，將科研融入教學(xué)。Lagrange插值是常用的插值方法，在工程問(wèn)題中有重要應(yīng)用。但其本質(zhì)是多項(xiàng)式插值，而且高次多項(xiàng)式插值會(huì)出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象。事實(shí)上，（1）式可以歸結(jié)為在多項(xiàng)式函數(shù)空間Γ={1,x,x2,…,xn}中構(gòu)造多項(xiàng)式：

利用插值條件，構(gòu)造相應(yīng)的線性方程組，求解出待定系數(shù)a0,a1,a2,…,an。簡(jiǎn)單推導(dǎo)，很容易得出（3）式對(duì)應(yīng)的插值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解線性方程組，再將求解出的待定系數(shù)a0,a1,a2,…,an代入（3）式即可，

這樣，插值問(wèn)題的存在唯一性問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為線性方程組解的存在唯一性問(wèn)題，此時(shí)再補(bǔ)充講解理論證明，就更便于學(xué)生理解和接受了。下面結(jié)合一個(gè)具體的例子進(jìn)行講解。一方面通過(guò)（1）式構(gòu)造Lagrange插值多項(xiàng)式Ln(x)；另一方面通過(guò)（4）式求解待定系數(shù)，再帶入（3）式得插值多項(xiàng)式Pn(x)，比較Ln(x)和Pn(x)的結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證多項(xiàng)式插值的唯一性。

例 給定插值節(jié)點(diǎn)x=[0,1,2,4];y=[1,9,23,3]，利用（1）式構(gòu)造Lagrange插值多項(xiàng)式L3(x)和利用（3）式構(gòu)造插值多項(xiàng)式P3(x)。

解：先利用插值節(jié)點(diǎn)構(gòu)造3次Lagrange基函數(shù)如下：

帶入（1）式，得3次Lagrange插值多項(xiàng)式L3(x)如下：

再利用插值條件得到線性方程組如下：

如果僅僅這樣就結(jié)束課程講解，就顯得意猶未盡，為此進(jìn)一步講解插值余項(xiàng)估計(jì)問(wèn)題，從插值余項(xiàng)公式分析為何會(huì)出現(xiàn)高次多項(xiàng)式插值的龍格現(xiàn)象，又該如何克服龍格現(xiàn)象？為此，介紹兩種改進(jìn)的Lagrange插值法[7-8]。將基函數(shù)（2）式改寫如下：

這樣就得到了一個(gè)改進(jìn)的Lagrange插值公式，（5）式就是重心Lagrange插值公式（第一型）。它的優(yōu)點(diǎn)是當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)增加一個(gè)時(shí)，將每個(gè)wj都除以(xj-xk+1)就可以得到新的重心權(quán)wk+1，比重新計(jì)算每一個(gè)基函數(shù)的復(fù)雜度降低一個(gè)量級(jí)。此時(shí)，將（5）式用來(lái)對(duì)g(x)≡1進(jìn)行插值，可以得到：

于是，結(jié)合（5）式和（6）式，簡(jiǎn)單計(jì)算得：

這樣就得到了另一個(gè)改進(jìn)的Lagrange插值公式，（7）式就是真正的重心Lagrange插值公式（第二型），它不僅繼承了第一型（5）式容易計(jì)算的特點(diǎn)，而且在計(jì)算中無(wú)需再計(jì)算l(x)。另外，如果結(jié)合切比雪夫節(jié)點(diǎn)進(jìn)行插值的話，可以很好地模擬給定的函數(shù)，達(dá)到極好的數(shù)值穩(wěn)定性，克服多項(xiàng)式插值的震蕩現(xiàn)象。這樣不斷地拓展Lagrange插值多項(xiàng)式的內(nèi)涵，層層推進(jìn)，將科研的思想融入教學(xué)過(guò)程，同時(shí)可以介紹一下如何通過(guò)中國(guó)知網(wǎng)、谷歌學(xué)術(shù)等方式查閱參考文獻(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)和探索，激發(fā)學(xué)生參與科研的熱情，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。除此之外，還可以提出一些問(wèn)題讓學(xué)生思考，如：能否在多項(xiàng)式函數(shù)空間之外的函數(shù)空間構(gòu)造插值多項(xiàng)式呢？比如在三角函數(shù)空間Γ1={1,sin x,cos x,sin2x,cos2x}、代數(shù)三角混合函數(shù)空間Γ2={1,x,sin x,cos x}或Γ3={1,x,x2,sin x,cos x}等函數(shù)空間，正面引導(dǎo)學(xué)生在不同函數(shù)空間構(gòu)造插值多項(xiàng)式，鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手構(gòu)造一些新型的插值多項(xiàng)式，嘗試解決工程中圓錐曲線精確表示問(wèn)題是有意義的。總之，將科研的思想融入到教學(xué)中，可以培養(yǎng)學(xué)生的科研思維和獨(dú)立思考能力，為今后的科研和學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

3 Lagrange插值法的實(shí)驗(yàn)教學(xué)設(shè)計(jì)

很多學(xué)校開(kāi)設(shè)數(shù)值分析課程中往往比較重視理論的教學(xué)，花費(fèi)較多的時(shí)間來(lái)講解插值方法的理論，卻忽視了實(shí)驗(yàn)教學(xué)的開(kāi)展或者沒(méi)有認(rèn)真開(kāi)展。過(guò)多的講解插值理論，往往會(huì)讓學(xué)生難以理解，從而認(rèn)為數(shù)值分析課程太難，產(chǎn)生放棄學(xué)習(xí)這門課程的念頭。事實(shí)上，實(shí)驗(yàn)教學(xué)可以非常直觀的展示插值法的效果，讓枯燥的課堂理論教學(xué)變得生動(dòng)有趣。為此，有必要對(duì)實(shí)驗(yàn)教學(xué)過(guò)程進(jìn)行合理的設(shè)計(jì)。

實(shí)驗(yàn)1 Lagrange插值基函數(shù)圖形的繪制。

實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)是實(shí)現(xiàn)任意次Lagrange基函數(shù)圖形繪制。考慮到學(xué)生實(shí)際的編程能力，所以先從二次和三次的Lagrange基函數(shù)開(kāi)始繪制，利用程序1-1可以簡(jiǎn)單實(shí)現(xiàn)二次Lagrange基函數(shù)的繪制，效果如圖1所示。稍微修改程序1-1就可以實(shí)現(xiàn)三次Lagrange基函數(shù)的繪制，效果如圖2所示。這樣讓學(xué)生感覺(jué)挺簡(jiǎn)單的就可以觀察效果，從而主動(dòng)去動(dòng)手編程。

程序1-1 二次Lagrange基函數(shù)圖形繪制

圖1 二次Lagrange基函數(shù)圖形

圖2 三次Lagrange基函數(shù)圖形

這些程序非常簡(jiǎn)單就可以實(shí)現(xiàn)，但可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題：如果插值節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)較多時(shí)，編寫基函數(shù)Lj就會(huì)變得非常麻煩，顯然不能一直這樣進(jìn)行下去。此時(shí)，再讓學(xué)生思考如何繪制任意次Lagrange基函數(shù)的圖形，通過(guò)建立子函數(shù)Blending_Function來(lái)實(shí)現(xiàn)，程序1-2實(shí)現(xiàn)了10次Lagrange基函數(shù)圖形的繪制，圖3給出了均勻節(jié)點(diǎn)x=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]的10次Lagrange基函數(shù)圖形，圖4給出了非均勻節(jié)點(diǎn)x=[0,1,3,4,6,8,9,10,13,14,15]的10次Lagrange基函數(shù)圖形。這樣，只要改變插值節(jié)點(diǎn)x的輸入，利用程序1-2可以實(shí)現(xiàn)任意次基函數(shù)圖形繪制。通過(guò)這種遞進(jìn)式實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，由易到難，讓學(xué)生理解Lagrange基函數(shù)的構(gòu)造方式及其優(yōu)缺點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)函數(shù)調(diào)用實(shí)現(xiàn)編程的能力。同時(shí)，在程序?qū)崿F(xiàn)過(guò)程中通過(guò)pause命令使得在繪制每一個(gè)基函數(shù)圖形的過(guò)程中停頓一會(huì)兒，有利于學(xué)生觀察相應(yīng)基函數(shù)的圖形，通過(guò)仔細(xì)觀察基函數(shù)的圖形來(lái)理解高次Lagrange插值為什么會(huì)出現(xiàn)龍格現(xiàn)象。

程序1-2 n次Lagrange基函數(shù)圖形繪制

圖3 均勻節(jié)點(diǎn)10次Lagrange基函數(shù)圖形

圖4 非均勻節(jié)點(diǎn)10次Lagrange基函數(shù)圖形

實(shí)驗(yàn)2 Lagrange插值曲線的繪制。

這個(gè)實(shí)驗(yàn)的目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)Lagrange插值曲線繪制。先分析Lagrange插值表達(dá)式（1），發(fā)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)圖形繪制的主要有兩個(gè)問(wèn)題：一個(gè)是基函數(shù)計(jì)算，另一個(gè)是求和計(jì)算。在此基礎(chǔ)上，圖5給出了Lagrange插值算法實(shí)現(xiàn)的流程圖5。

圖5 Lagrange插值算法流程圖

程序2-1 Lagrange插值曲線繪制

根據(jù)流程圖，程序2-1實(shí)現(xiàn)了Lagrange插值曲線的繪制，然后通過(guò)改變插值節(jié)點(diǎn)序列x和y的輸入，運(yùn)行程序2-1可以不斷實(shí)現(xiàn)Lagrange插值曲線的繪制，比較實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)觀察是否出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象。圖6左圖給出了輸入x=[0,1,4,9,16,25,36,49,64]，y=[0,1,2,3,4,5,6,7,8]時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，右圖給出了輸入時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

圖6 Lagrange插值曲線圖形

觀察圖6結(jié)果不難發(fā)現(xiàn)，Lagrange插值多項(xiàng)式出現(xiàn)了震蕩現(xiàn)象。為此，針對(duì)圖6右圖中的輸入函數(shù)，選取切比雪夫點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的重心權(quán)為取n=14，利用切比雪夫點(diǎn)代替原始輸入點(diǎn)x，再利用改進(jìn)的Lagrange插值公式（7）進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，程序2-2實(shí)現(xiàn)了插值曲線繪制，圖7給出了實(shí)驗(yàn)結(jié)果。觀察實(shí)驗(yàn)結(jié)果，并與圖6中右圖進(jìn)行比較，顯然已經(jīng)沒(méi)有出現(xiàn)插值的震蕩現(xiàn)象了。此時(shí)，再次選取n=50，重新利用程序2-2實(shí)現(xiàn)50次重心Lagrange插值，圖8給出了實(shí)驗(yàn)結(jié)果，進(jìn)一步說(shuō)明了改進(jìn)的Lagrange插值是可以克服多項(xiàng)式插值震蕩現(xiàn)象的。

程序2-2 重心Lagrange插值曲線繪制

圖7 14次重心Lagrange插值曲線圖形

圖8 50次重心Lagrange插值曲線圖形

4 結(jié)束語(yǔ)

數(shù)值分析課程是一門具有很強(qiáng)理論性與實(shí)踐性的課程，理論教學(xué)與實(shí)驗(yàn)教學(xué)必須密切配合才能讓學(xué)生更容易理解和掌握。通過(guò)對(duì)Lagrange插值方法的理論教學(xué)與實(shí)驗(yàn)教學(xué)進(jìn)行精心設(shè)計(jì)，有利于學(xué)生系統(tǒng)掌握Lagrange插值方法的原理和應(yīng)用背景，不僅為學(xué)習(xí)數(shù)值分析后續(xù)內(nèi)容打下良好基礎(chǔ)，而且可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)這么課程的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力。