一類半線性橢圓型方程邊值問(wèn)題的可解性研究

田夢(mèng)甜，鐘金標(biāo)

（安慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽安慶246133）

文獻(xiàn)[1]考察了下列半線性橢圓型方程邊值問(wèn)題

設(shè)（1）式中的非線性函數(shù)F(x,u)滿足下列條件（或部分條件）：關(guān)于在上非負(fù)局部Holder連續(xù)，即，其中M為一個(gè)正常數(shù)關(guān)于s在單調(diào)遞減；關(guān)于s在上單調(diào)遞減。

1 解的存在性研究

引理1[1]設(shè)在Ω中，假設(shè)Ω有界，則。

引理2[1]設(shè)Q在有界區(qū)域Ω中是橢圓的，并假定存在非負(fù)常數(shù)μ1和μ2，使得：則如果在Ω中滿足，就有，其中又如果在Ω中，則有

引理3[1]設(shè)T是Banach空間B到自身中的緊映射，又設(shè)存在一個(gè)常數(shù)M，使得，對(duì)所有滿足的x成立，則T有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

定義算子T如下，設(shè)u=Tv是半線性橢圓型方程Dirichlet問(wèn)題：

定理1 若條件(A2)成立，則問(wèn)題（1）的解只能是正解。

證明 由條件(A2)及問(wèn)題（1）方程可得：

例1 考察問(wèn)題

解的存在性，其中Ω為Rn中有界光滑區(qū)域。因滿足條件由定理2知，問(wèn)題（4）存在有界正解。

2 解的唯一性定理

定理3 若條件(A4)成立，則問(wèn)題（1）至多只有一個(gè)正解。

證明 設(shè)u1、u2為問(wèn)題（1）的任意兩個(gè)正解，則有成立，兩個(gè)方程相減得：兩邊乘以u(píng)1-u2后在Ω上積分，并利用Green第一公式得，由 條 件知 ，從而得即結(jié)合知即問(wèn)題（1）至多只有一個(gè)正解。

定理4 若條件(A5)成立，則問(wèn)題（1）至多存在一個(gè)有界正解。

證明 設(shè)u1,u2為問(wèn)題（1）的任意兩個(gè)正解，則有成立，從而，因此，，兩邊乘上，并在Ω上積分，同時(shí)由可得：再由條件可得：u1≡u(píng)2，從而問(wèn)題（1）至多只有一個(gè)解。

3 總結(jié)

本文通過(guò)考察半線性橢圓型方程邊值問(wèn)題的解，研究解的存在性并且給出解的唯一性定理，同時(shí)給出了證明。文中（A1）到（A5）是函數(shù)F(x,u)所分別滿足的5個(gè)條件，這5個(gè)條件在不同定理中使用會(huì)得出不同的結(jié)論，從而得出文章的4個(gè)重要定理。