數(shù)學(xué)問題串教學(xué)實踐的再思考

鄧艷平，毋曉迪

(廣西民族大學(xué) 理學(xué)院，廣西 南寧 530006)

1 “問題串”教學(xué)的基本理念

瑞士杰出心理學(xué)家皮亞杰提出，知識的獲取不是依靠教師的傳授，而是通過有意義的自我建構(gòu)得到的.“問題串”教學(xué)遵循了這一重要的理論，該教學(xué)模式是以一連串問題為核心進(jìn)行交流，讓學(xué)生親自參與到系列的、連續(xù)的思維活動中，并注重問題的解決，探究知識建構(gòu)的意義.

教學(xué)中，提出問題能促使學(xué)生思維活動，如果問題以“串”的形式呈現(xiàn)，能有效地打破教學(xué)中離散瑣碎的問題，更加高效有序地驅(qū)動教學(xué)過程.與此同時，學(xué)生的思維得到不斷迸發(fā)與攀升，利于發(fā)展和深化學(xué)生的數(shù)學(xué)能力及核心素養(yǎng)．

問題串的設(shè)計并非是為了追求時尚的教學(xué)設(shè)計，它是將“問題”趨于“問題串”的教學(xué)形式，而單個獨立的問題之間存在有機的聯(lián)系.其設(shè)計要符合學(xué)生的知識儲備和認(rèn)知規(guī)律，即考慮到設(shè)計什么有效的問題、問題的導(dǎo)向性大小、問題設(shè)置的次序等.這些問題是循序漸進(jìn)，有法可依的，其設(shè)計還要讓課堂教學(xué)更加貼合數(shù)學(xué)的本質(zhì)，最終達(dá)到高效課堂的目的.筆者以高中數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的幾種課型為載體，結(jié)合自身在教學(xué)實踐中的一些問題串教學(xué)案例研究，歸納總結(jié)出一些教學(xué)設(shè)計方法，供交流與參考．

2 不同課型數(shù)學(xué)問題串的設(shè)計舉例

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的課型有新授課、習(xí)題課、復(fù)習(xí)課三種類型.無論哪種課型，若采用數(shù)學(xué)問題串教學(xué)模式，如何有效地進(jìn)行問題串設(shè)計是當(dāng)今教師面臨的重大課題.下面就課型的不同擷取典例來闡述數(shù)學(xué)問題串的設(shè)計說明．

2.1 新授課中的問題串教學(xué)

新授課的一大亮點是“新”，對教師也提出了要研究新的教學(xué)方法，要講出新的課堂味道，最終的目的是保證學(xué)生要有新的收獲.然而數(shù)學(xué)學(xué)科中新的知識并非無中生有，它是不斷地逐新趣異、推陳出新.因此，我們以學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗作為教學(xué)活動的“起點”，在不同的概念、定理和公式教學(xué)中，可以把最終生成的知識作為“終點”，在“起點”與“終點”之間必定存在若干個重要步驟和環(huán)節(jié)，我們可以稱之為“過渡點”，而這若干個“過渡點”就承載著各自的功能.因此，在設(shè)置問題串時“過渡點”的關(guān)鍵性不言而喻.

案例1 :人教A版必修一教材中函數(shù)單調(diào)性中增函數(shù)的定義：

如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1,x2，當(dāng)x1

圖1

【學(xué)生活動預(yù)設(shè)】學(xué)生已經(jīng)對函數(shù)單調(diào)性有了初步的了解，并得到了增函數(shù)的概念，但是對于概念中的核心關(guān)鍵部分并非清晰明了.那么，教師如何去啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生理解并掌握這個概念？

【教師活動】問題1：函數(shù)單調(diào)性為什么研究的是定義域的某個區(qū)間？——學(xué)生并非能及時回答這個問題，教師要做到及時引導(dǎo)，舉出反例，如圖2所示.

圖2

采用舉反例的方式讓學(xué)生體會到在整個函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)未必都單調(diào)，而區(qū)間(a,b)上是單調(diào)遞增的，也表明了函數(shù)的單調(diào)性具有局部性特點.

問題2：所取兩個變量的任意性有什么作用？——學(xué)生對“任意”兩個抽象字眼的實質(zhì)理解上仍存在困難，教師通過圖例解釋，如圖3所示.

圖3

為了解釋在區(qū)間(a,b)上取任意兩個自變量的問題，在區(qū)間內(nèi)取多個值，凸顯任意性的作用是取遍該區(qū)間所有值.

問題3：增函數(shù)隨自變量增大函數(shù)值怎么變化？——該問題地拋出再次表明增函數(shù)的實質(zhì)特征，即只要某個函數(shù)是增函數(shù)，那么這個函數(shù)隨自變量增大函數(shù)值一定增大.

問題4：研究函數(shù)單調(diào)性有什么作用和意義？——通過“形”和“數(shù)”兩種角度的概括與分析，可以研究實際問題，例如利潤變化趨勢和函數(shù)最值等.

問題5：單調(diào)區(qū)間開閉如何選擇？——對于區(qū)間概念的理解，學(xué)生較容易掌握，但對于區(qū)間端點的取值決定函數(shù)單調(diào)性的問題學(xué)生一時難以捋順?biāo)季w.教師要做的是解釋該問題的本質(zhì)，由于端點處不影響函數(shù)單調(diào)性，因此在端點處有定義則選擇閉區(qū)間，無定義選擇開區(qū)間.

【設(shè)計意圖】通過上述幾個問題的串聯(lián)，師生共同探討和交流，讓學(xué)生親身體驗并理解增函數(shù)的概念，明晰關(guān)鍵詞的意義，清楚特例和反例的構(gòu)造意圖.此外，學(xué)會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)關(guān)鍵問題，揭示概念的內(nèi)涵和外延．

2.2 習(xí)題課中的問題串教學(xué)

習(xí)題課是課堂教學(xué)活動中一種重要的課型，尤其是在各大小考試的復(fù)習(xí)階段，習(xí)題課中對試題的講評似乎成了一個不可或缺的環(huán)節(jié).轉(zhuǎn)變常規(guī)習(xí)題課的教學(xué)模式，是每個老師在教學(xué)過程中需要考慮的一個問題.在習(xí)題課教學(xué)中巧妙設(shè)計“問題串”進(jìn)行習(xí)題講解，可以深入剖析習(xí)題的思緒和脈絡(luò)，多方位挖掘解題思路，溫習(xí)并鞏固已有知識，促進(jìn)知識正遷移，使得課堂教學(xué)效益最大化.

案例2 :以一道含參數(shù)絕對值不等式求解問題為例，設(shè)計問題串教學(xué).

設(shè)f(x)=2|x-1|+|x+2|，(1)求不等式f(x)≥4的解集；(2)若不等式f(x)<|m-2|的解集是非空集合，求實數(shù)m的取值范圍.

【學(xué)生活動預(yù)設(shè)】學(xué)生已具備初中時所學(xué)到的絕對值的意義和兩個重要性質(zhì)等問題.學(xué)生能對僅含一個絕對值的不等式的求解尋找出多種解題途徑，但對于求解含有兩個絕對值的不等式問題，多數(shù)學(xué)生感到束手無策.

【教師活動】問題1：含有絕對值的函數(shù)是什么類型的函數(shù)？——學(xué)生極大可能一時回答不出教師預(yù)想的標(biāo)準(zhǔn)答案，教師引導(dǎo)學(xué)生去絕對值號，滲透分類討論思想.學(xué)生會發(fā)現(xiàn)去絕對值號后是一個分段函數(shù)

問題2：怎么巧妙解該絕對值不等式？——改問題是解決第(1)問的核心問題.學(xué)生對于分段函數(shù)的理解并不陌生，在三個定義域不同約束下，產(chǎn)生出三個不等式，每個不等式解得結(jié)果要在每段定義域的大前提下來取交集即可.

當(dāng)-2

問題3：如果通過函數(shù)圖像來解決不等式問題，主要研究函數(shù)的什么性質(zhì)？——該問題的提出，旨在提高學(xué)生動手操作能力，同時考查學(xué)生采用數(shù)形結(jié)合解題的能力，如圖4所示.

圖4

通過利用函數(shù)的單調(diào)性這一性質(zhì)做出草圖，來解決絕對值不等式問題，清晰直觀，簡單明了，至此，第(1)小問題已解決.但第(2)問是一個新的問題，問題4：f(x)<|m-2|的解集是非空集合需要限制什么條件？——該問題的實質(zhì)是如何將問題轉(zhuǎn)化為已有知識去解答，可以將問題轉(zhuǎn)化到函數(shù)f(x)與新函數(shù)f(m)=|m-2|在f(x)<|m-2|有交集即可.簡言之，要限制函數(shù)f(x)的最小值問題.而函數(shù)f(x)在(-∞,1]上是減函數(shù)，在(1,+∞)上是增函數(shù)，所以f(x)≥f(1)=3，此時只需滿足3<|m-2|，即m>5或m<-1.

上述解法是利用函數(shù)圖像的視角來解決問題，問題5：涉及絕對值函數(shù)時還可以用什么方式處理最值問題？——該問題的提出，讓學(xué)生體會絕對值不等式放縮時涉及的一個核心關(guān)鍵點，即三角不等式.

緊接著，教師追問問題6：三角不等式使用的條件是什么，該題目能否直接用三角不等式？——大多數(shù)學(xué)生會默寫出三角不等式的表達(dá)形式，但對于三角不等式在放縮時要滿足的前提條件模棱兩可.學(xué)生對于形如y=|x-1|+|x+2|的值域求解問題可能會直接計算：y=|x-1|+|x+2|≥|(x-1)-(x+2)|=3，目的是“消掉”變量x，對于y=2|x-1|+|x+2|與y=|x-1|+|x+2|的不同就在于變量x的系數(shù)不同.因此，三角不等式使用的條件是在變量系數(shù)相同時即可使用，從而該題放縮為：f(x)=2|x-1|+|x+2|≥|x-1|+|x+2|≥

|(x-1)-(x+2|)=3，接下來的問題的解決步驟同于上述方法.

問題7：以后遇到了不符合三角不等式使用條件的絕對值不等式時，該如何巧妙解決問題？——該問題等同于給學(xué)生一個啟示，即遇到對于系數(shù)不同的雙絕對值函數(shù)時，如何去放縮的問題，引導(dǎo)學(xué)生得出操作步驟(拆分放縮+三角不等式放縮).

【設(shè)計意圖】針對該習(xí)題的問題串設(shè)計“淺入深出，由小及大”,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識自主建構(gòu).實現(xiàn)通過先解決小問題，再解決大問題.這樣的問題串設(shè)計，首先，從學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗基礎(chǔ)出發(fā)，尋找最近發(fā)展區(qū)，建立新舊知識之間的聯(lián)系.其次，充分發(fā)揮了教師的主導(dǎo)作用，把握知識的制高點，使得數(shù)學(xué)知識體系的構(gòu)建更加完備完善.最后，教師就課前對問題串的精細(xì)化預(yù)設(shè)設(shè)計和課上拋出的一系列問題串，使得課堂活動的預(yù)設(shè)與生成有機對接，有效幫助學(xué)生鞏固與應(yīng)用新知識，復(fù)習(xí)與強化舊知識，同時訓(xùn)練與提高學(xué)生的思維方法，增強學(xué)生的實際運用能力和創(chuàng)新能力.

2.3 復(fù)習(xí)課中的問題串教學(xué)

數(shù)學(xué)學(xué)科中的復(fù)習(xí)課針對性強，是在原有基礎(chǔ)上將知識鞏固和深化，是對知識的有機整合，把從屬的知識串成線，把相關(guān)知識連織成網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，最終目的是實現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)化.引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，提高數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的效率．接下來，針對如何判斷或者證明一個數(shù)列是等差(等比)數(shù)列的方法進(jìn)行復(fù)習(xí)課教學(xué).

案例3 ：以數(shù)列知識為主線，設(shè)置問題串教學(xué).

【學(xué)生活動預(yù)設(shè)】學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過等差和等比數(shù)列的通項公式以及其前項和公式，但沒有形成知識體系的系統(tǒng)歸納.

【教師活動】問題1(先講等差數(shù)列)：你能快速說出判斷或證明一個數(shù)列是否是等差數(shù)列的有效方法呢？——該問題地拋出，旨在檢驗學(xué)生對先前學(xué)習(xí)過的知識的粗略把握，也考查學(xué)生觀察和歸納問題的能力.

學(xué)生首先會聯(lián)想到最基礎(chǔ)最本質(zhì)的問題——概念(定義)，即定義法：當(dāng)n≥1,n∈N*時，有an+1-an=d(d為固定常數(shù))，數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

問題2：滿足一個數(shù)列是等差數(shù)列的項數(shù)至少是幾項？——該問題地拋出，目的是檢驗學(xué)生的基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，緊扣等差數(shù)列的定義中“從第二項起，后一項與前一項之差”這一關(guān)鍵句，不難得出一個等差數(shù)列的構(gòu)成至少需要3項.

【教師活動】以上兩種判斷(證明)的方法是建立在數(shù)字的特征上，而我們已經(jīng)掌握了等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式.

問題4：等差數(shù)列的通項公式的簡化形式有什么特點？——由于數(shù)列是特殊的函數(shù)，教師引導(dǎo)學(xué)生將等差數(shù)列的通項公式an=a1+(n-1)d進(jìn)行形式上的轉(zhuǎn)變，化為an=dn+a1-d，即滿足形如an=kn+b(k、b為常數(shù))的數(shù)列是等差數(shù)列.

問題6：通過上述幾種判斷或者證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的幾種方法后，你能類比這幾種思路去判斷或者證明一個數(shù)列是等比數(shù)列呢？——學(xué)生會延續(xù)上述幾種思路，類比歸納出3種方法，即：

【設(shè)計意圖】上述與數(shù)列知識有關(guān)的復(fù)習(xí)課是根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點和規(guī)律，通過數(shù)學(xué)問題串的設(shè)計，從點上擊破，從線上梳理，從面上總結(jié)，促進(jìn)所學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)化、系統(tǒng)化、條理化.教師在教學(xué)活動中充分發(fā)揮學(xué)生的主體性，讓學(xué)生積極主動參與到該模塊知識的復(fù)習(xí)全過程中，做學(xué)生學(xué)習(xí)的促進(jìn)者，多角度、多途徑的判斷或者證明一個數(shù)列是否為等差(等比)數(shù)列，做到由易到難，由淺入深，做到環(huán)環(huán)相扣，逐步提高．

3 教學(xué)啟示與反思

在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，有效的問題是激發(fā)學(xué)生活躍思維與探究活動的引子.教師在教學(xué)活動中，通過設(shè)計恰當(dāng)?shù)膯栴}串，充分調(diào)動學(xué)生積極性，使得教材中知識結(jié)構(gòu)體系轉(zhuǎn)化為學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)體系，把教材中靜態(tài)的知識轉(zhuǎn)化為課堂上動態(tài)知識的建構(gòu).

解決數(shù)學(xué)問題時數(shù)學(xué)思維是心智活動不可或缺的部分，數(shù)學(xué)思維是提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)主觀能動性的動態(tài)過程，該過程中表現(xiàn)為不斷地提出問題、分析問題和解決問題的特征.因此數(shù)學(xué)問題是獲取數(shù)學(xué)知識的大前提，是數(shù)學(xué)思維的載體，也是建立在一切數(shù)學(xué)思維活動上的源泉．

在新課程理念下，教師要始終以學(xué)生為主體，做到要認(rèn)真研究學(xué)生，認(rèn)真研究教材，將核心內(nèi)容通過問題串的精細(xì)化設(shè)計，環(huán)環(huán)相扣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.此外，問題串的設(shè)計要貼切學(xué)生認(rèn)知和知識儲備，以及學(xué)生對知識的可接受程度.問題串的設(shè)置要確保其問題的難度和適當(dāng)?shù)乃季S強度，重在有效促進(jìn)學(xué)生求異和發(fā)散思維的發(fā)展.

此外，問題串的設(shè)計并非要求面面俱到，并非全面全方位，對核心問題的問題串設(shè)計，圍繞“核心”，主次分明，強調(diào)的是知識的構(gòu)建，使知識自主生成.問題串中的“問題”要有針對性、價值性、啟發(fā)性、引領(lǐng)性，以確保找準(zhǔn)、落實重難點.“大處著眼，小處著手”，讓基礎(chǔ)知識、基本技能得到強化，讓學(xué)生在方法獲取上有明顯的提升.對核心知識和基本思想方法進(jìn)行一體化科學(xué)合理的問題串設(shè)計，能滿足不同層次學(xué)生恰到好處地進(jìn)行自主探究，構(gòu)建有思維、有活力的數(shù)學(xué)課堂，會激發(fā)學(xué)生們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，從而提高課堂教學(xué)效率.