函數(shù)與方程，動靜相結(jié)合
——2019年江蘇卷第14題分析

☉江蘇省梁豐高級中學(xué) 師全義

函數(shù)問題一直是高考中的主旋律之一，此類問題可考查的知識點非常多，變化多端，涉及函數(shù)的定義、函數(shù)的解析式、函數(shù)的基本性質(zhì)、函數(shù)的圖像、函數(shù)與方程、函數(shù)的零點等眾多的內(nèi)容，通過合理配置，有機(jī)融合，可以創(chuàng)新出非常多具有原創(chuàng)性、新穎性的函數(shù)問題.2019年高考江蘇卷第14題，就是在此創(chuàng)新立意下，融合函數(shù)的解析式、函數(shù)的基本性質(zhì)、分段函數(shù)、函數(shù)與方程的根、參數(shù)取值范圍等相關(guān)知識，進(jìn)行巧妙融合與交匯，烹出一道美味“盛宴”.

一、真題在線

【高考真題】（2019·江蘇卷·14）設(shè)f（x），g（x）是定義在R上的兩個周期函數(shù)，f（x）的周期為4，g（x）的周期為2，且f（x）是奇函數(shù).當(dāng)x∈（0，2］時其中k＞0.若在區(qū)間（0，9］上，關(guān)于x的方程f（x）=g（x）有8個不同的實數(shù)根，則k的取值范圍是______.

本題給出兩個不同的函數(shù)的解析式，通過函數(shù)的基本性質(zhì)（涉及周期性、奇偶性等）與圖像、方程的根與函數(shù)的零點的關(guān)系來全面展開，充分融合了分段函數(shù)、直線的方程、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓的位置關(guān)系、點到直線的距離公式等相關(guān)知識，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想，是一道綜合性強(qiáng)，能力要求高的創(chuàng)新亮點題.

二、真題解析

方法1：（數(shù)形結(jié)合法）借助函數(shù)y=f（x）的解析式與基本性質(zhì)確定其對應(yīng)的圖像，再結(jié)合函數(shù)y=g（x）在不同區(qū)間的解析式確定對應(yīng)的圖像，通過數(shù)形結(jié)合分析，結(jié)合題目條件轉(zhuǎn)化為“當(dāng)x∈（0，1］時，函數(shù)f（x）與g（x）的圖像的交點有2個”，通過直線與圓的位置關(guān)系加以數(shù)形結(jié)合，直觀處理.

解析：當(dāng)x∈（0，2］時，則知（x-1）2+y2=1（y≥0），又f（x）是周期為4的奇函數(shù)，可作出y=f（x）在（0，9］上的圖像，如圖1所示，

結(jié)合以上的圖像可知，當(dāng)x∈（1，2］∪（3，4］∪（5，6］∪（7，8］時，函數(shù)f（x）與g（x）的圖像的交點只有2個，那么可知當(dāng)x∈（0，1］∪（2，3］∪（4，5］∪（6，7］∪（8，9］時，函數(shù)f（x）與g（x）的圖像的交點還有6個.

而當(dāng)x∈（0，1］時，g（x）=k（x+2）（k＞0）恒過定點A（-2，0），

結(jié)合圖像可知當(dāng)x∈（2，3］∪（6，7］時，函數(shù)f（x）與g（x）的圖像無交點，則當(dāng)x∈（0，1］∪（4，5］∪（8，9］時，函數(shù)f（x）與g（x）的圖像的交點還有6個，結(jié)合周期性可知當(dāng)x∈（0，1］時，函數(shù)f（x）與g（x）的圖像的交點有2個，

結(jié)合圖形可知此時直線y=k（x+2）（k＞0）與相應(yīng)的圓弧相交，

當(dāng)y=k（x+2）（k＞0）與圓弧（x-1）2+y2=1（x∈（0，1］）相切時，可得（此時恰有1個交點）；

當(dāng)y=k（x+2）（k＞0）過圓弧的最高點B（1，1）時，此時此時恰有2個交點）；

圖1

方法2：（代數(shù)分析法）借助函數(shù)y=f（x）的解析式與基本性質(zhì)，把其關(guān)系轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的分段函數(shù)形式，同理也把函數(shù)y=g（x）的解析式加以分區(qū)間處理，通過轉(zhuǎn)化為“（k2+1）x2+（4k2-2）x+4k2=0在區(qū)間（0，1］上有2個根”，構(gòu)造函數(shù)，利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，列出相應(yīng)的不等式組來處理.

解析：由于f（x）的周期為4，且f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x∈（0，2］時，f（x）=

又當(dāng)x∈（2，3］∪（6，7］時，f（x）＜0，g（x）＞0，此時f（x）=g（x）無根，那么有當(dāng)x∈（0，1］∪（4，5］∪（8，9］時，f（x）=g（x）有6個根，

由周期性可得f（x）=g（x）在區(qū)間（0，1］上有2個根，即，亦即（k2+1）x2+（4k2-2）x+4k2=0在區(qū)間（0，1］上有2個根，

設(shè)函數(shù)F（x）=（k2+1）x2+（4k2-2）x+4k2，x∈（0，1］，

方法3：（分離變量法）借助函數(shù)y=f（x）的解析式與基本性質(zhì)，把其關(guān)系轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的分段函數(shù)形式，同理也把函數(shù)y=g（x）的解析式加以分區(qū)間處理，通過轉(zhuǎn)化為在區(qū)間（0，1］上有2個根”，分離變量，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，利用求導(dǎo)并借助函數(shù)的單調(diào)性來確定函數(shù)的最值問題，從而得以確定參數(shù)的取值范圍.

解析：以上部分同方法2，

總評：方法1是破解本題中比較常見的思維方式，關(guān)鍵是合理的轉(zhuǎn)化，并借助數(shù)形結(jié)合思想作出相應(yīng)的函數(shù)圖像，直觀地來確定參數(shù)的取值情況；而方法2利用函數(shù)分析法，結(jié)合函數(shù)與方程的關(guān)系，利用分段函數(shù)的轉(zhuǎn)化來確定對應(yīng)方程的根的情況；方法3是在方法2的基礎(chǔ)上得到相應(yīng)的方程，進(jìn)而通過分離參數(shù)，利用函數(shù)的構(gòu)造結(jié)合導(dǎo)數(shù)法來處理參數(shù)的取值范圍.其實，在分離參數(shù)后也可以通過對關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)性質(zhì)或基本不等式的性質(zhì)來確定取值范圍.

三、規(guī)律總結(jié)

解答本題的關(guān)鍵是如何將方程的根問題等價轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點問題，進(jìn)而將其轉(zhuǎn)化為一動直線與定曲線的交點的個數(shù)問題.破解問題時注意對函數(shù)的周期性的理解與掌握，并能加以合理的分類討論，為正確破解問題提供條件.

其實，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思維來處理與解決一些相關(guān)的函數(shù)與方程問題、函數(shù)的零點問題，往往可起到事半功倍的效果.數(shù)形結(jié)合思想，主要通過熟知的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等基本函數(shù)圖像來進(jìn)行數(shù)形結(jié)合.特別在我們解題時，一般不去追求復(fù)雜函數(shù)的圖像問題，一是由于草圖不明確，二是由于草圖不準(zhǔn)確，往往容易導(dǎo)致錯誤.數(shù)形結(jié)合思想的重點所在是“以形助數(shù)”，根據(jù)對應(yīng)知識點中的數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題.尤其在解決一些選擇題、填空題時，數(shù)形結(jié)合思想往往發(fā)揮著奇特功效，可以大大地提高解題能力與速度，提升效益.