對“基本初等函數(shù)”定義的異議*

☉北京豐臺二中 甘志國

對于“基本初等函數(shù)”這個概念，一般是這樣定義的：

基本初等函數(shù)包括以下六類：

（1）常數(shù)函數(shù)y=c；

（2）冪函數(shù)y=xα；

（3）指數(shù)函數(shù)y=ax（a＞0，且a≠1）；

（4）對數(shù)函數(shù)y=logax（a＞0，且a≠1）；

（5）三角函數(shù)y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx，y=secx，y=cscx；

（6）反三角函數(shù)y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx，y=arcsecx，y=arccscx.

初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復合而成的函數(shù).

但筆者認為，基本初等函數(shù)的個數(shù)應盡可能的少，否則不能稱其為“基本”.事實上，在上述列舉的基本初等函數(shù)中，個數(shù)還可以減少.

①因為ax=e（lna）x，所以在“（3）指數(shù)函數(shù)y=ax（a＞0，且a≠1）”中，可得“指數(shù)函數(shù)y=ax可由y=eu，u=（lna）x（u是由常數(shù)函數(shù)y=lna及冪函數(shù)y=x相乘得到的）復合得到”.

因而可把“（3）指數(shù)函數(shù)y=ax（a＞0，且a≠1）”改為“（3）基本指數(shù)函數(shù)y=ex”（把y=ax（a＞0，且a≠1）仍然叫做指數(shù)函數(shù)）.

因而可把“（4）對數(shù)函數(shù)y=logax（a＞0，且a≠1）”改為“（4）基本對數(shù)函數(shù)y=lnx”（把y=logax（a＞0，且a≠1）仍然叫做對數(shù)函數(shù)）.

因而可把“（6）反三角函數(shù)y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx，y=arcsecx，y=arccscx改為“（6）反正弦函 數(shù)y=arcsinx”（把y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx，y=arcsecx，y=arccscx分別叫做反余弦函數(shù)、反正切函數(shù)、反余切函數(shù)、反正割函數(shù)、反余割函數(shù)，把它們及反正弦函數(shù)統(tǒng)稱為反三角函數(shù)）.

綜上所述，筆者認為“基本初等函數(shù)”的定義應當是：

基本初等函數(shù)包括以下五個：

（1）冪函數(shù)y=xα；

（2）基本指數(shù)函數(shù)y=ex；

（3）基本對數(shù)函數(shù)y=lnx；

（4）正弦函數(shù)y=sinx；

（5）反正弦函數(shù)y=arcsinx.

初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復合而成的函數(shù).

注：可能有讀者還有以下思考：

因為y=xα=elnxα=（eα）lnx，所以“冪函數(shù)y=xα是由指數(shù)函數(shù)y=（eα）u與基本對數(shù)函數(shù)u=lnx復合得到的”.所以應把“基本初等函數(shù)”定義中的“（1）冪函數(shù)y=xα”去掉.

實際上，這是不對的.因為當x＞0時，才有y=xα=（eα）lnx，函數(shù)y=xα（x＞0）是由指數(shù)函數(shù)y=（eα）u與基本對數(shù)函數(shù)u=lnx復合得到的；但當x≤0時，就不能這樣復合，并且在以上③的論述中，用到了“（2）冪函數(shù)y=xα（選α=2）”，所以在改動后的“基本初等函數(shù)”定義中，“（1）冪函數(shù)y=xα”不能去掉.