運(yùn)用線性規(guī)劃思想方法解決兩元變量取值范圍問題

☉江蘇省昆山中學(xué) 沈艷虹

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》提出了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的課程目標(biāo)，即“在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中，學(xué)生能發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).”這是對2003版實(shí)驗(yàn)新課標(biāo)提出的四基和四能目標(biāo)的繼承、創(chuàng)新、提升和發(fā)展.作為一名高中數(shù)學(xué)教師，除了在平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐中，把發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)貫穿于教學(xué)活動的全過程之外，更要分析研究并隨時(shí)把握新課標(biāo)下高考命題的新方向，即“命題應(yīng)依據(jù)學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)和課程內(nèi)容，注重對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查.”唯有此才能引領(lǐng)學(xué)生取得素養(yǎng)發(fā)展和高考成績的雙贏.經(jīng)過對近幾年高考數(shù)學(xué)試卷的統(tǒng)計(jì)分析，筆者發(fā)現(xiàn)，簡單的線性規(guī)劃問題頻繁地出現(xiàn)，其命題形式靈活，考查范圍廣泛，內(nèi)容覆蓋了方程、不等式、圖像、坐標(biāo)平移等基礎(chǔ)知識.可以這樣說，圍繞簡單線性規(guī)劃來創(chuàng)設(shè)的問題情境已成為考查學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的載體，其中求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最值是常見題型，一般來說，學(xué)生只要把握線性規(guī)劃的基本思想與方法就能順利應(yīng)答.但若題目在簡單線性規(guī)劃的基礎(chǔ)上，對約束條件和目標(biāo)函數(shù)做一些非線性的變換，則對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量水平提出了較高的要求，該類題目具有較高的區(qū)分度，能體現(xiàn)高考數(shù)學(xué)的選拔功能.下面結(jié)合教學(xué)實(shí)踐案例，就目標(biāo)函數(shù)非線性和約束條件非線性下的兩元變量取值范圍的問題作初步的探討與反思.

一、類型1：目標(biāo)函數(shù)非線性

在近年的高考數(shù)學(xué)卷中出現(xiàn)了求目標(biāo)函數(shù)是非線性函數(shù)的取值范圍問題，此類題目情境多變，對考生的能力要求較高.常見的題型有以下幾種：

【案例1】截距問題

解析：（如圖1）令z=x2+y，則此式變形為y=-x2+z，z可看作是動拋物線y=-x2+z在y軸上的截距，當(dāng)此拋物線與y=-x相切時(shí)，z最小.

故答案為72.

【案例2】比值問題

圖1

解析：（如圖2）是可行域內(nèi)的點(diǎn)M（x，y）與原點(diǎn)O（0，0）連線的斜率，當(dāng)直線OM過點(diǎn)取得最小值；當(dāng)直線OM過點(diǎn)（1，6）時(shí)，取得最大值6.

圖2

【案例3】距離問題

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)形如z=（x-a）2+（y-b）2時(shí)，可將z看作是動點(diǎn)P（x，y）與定點(diǎn)Q（a，b）距離的平方，這樣目標(biāo)函數(shù)的最值就轉(zhuǎn)化為PQ距離的平方的最值.

圖3

解析：（如圖3）作出不等式組表示的平面區(qū)域.

設(shè)x2+y2=z，則z是以原點(diǎn)為圓心的圓的半徑的平方.

當(dāng)圓x2+y2=z過點(diǎn)B（2，3）時(shí)取得最大值，

當(dāng)圓x2+y2=z與直線AC：2x+y-2=0相切時(shí)取得最小值，從而z取得最小值.

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），則

【反思】從上述三個(gè)案例我們不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)為非線性函數(shù)時(shí)，一般可以運(yùn)用簡單線性規(guī)劃解決最值問題的思想方法去處理，所采用的方法和步驟也非常類似，其關(guān)鍵是先利用約束條件作出可行域，以確定目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的幾何意義；然后根據(jù)其幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合的思想來求得其最值.這些問題主要考查學(xué)生的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想以及運(yùn)動變化思想等等，不僅考查了學(xué)生的作圖、識圖能力，還對學(xué)生的觀察分析能力、聯(lián)想與想象能力以及邏輯推理能力提出了較高的要求.

二、類型2：約束條件非線性

【案例4】已知正實(shí)數(shù)a，b，c滿足c＞a，c＞b且=1，若a，b，c可構(gòu)成某三角形的三邊長，求c的取值范圍.

錯(cuò)誤解析：把條件c＞a，c＞b轉(zhuǎn)化為a+b＜2c.

這個(gè)解法運(yùn)用了不等式中常用的“乘1法”，很多學(xué)生認(rèn)為這是個(gè)很巧妙的解法，然而，很顯然在把條件轉(zhuǎn)化為a+b＜2c時(shí)，此為一個(gè)不等價(jià)的轉(zhuǎn)化，即c＞a，c＞b可以得到a+b＜2c，但反之不一定成立，所以求出來的c的范圍可能發(fā)生了變化，所以這是一個(gè)錯(cuò)誤的解法.

正確解析：，這樣就能初步確定c的取值范圍，進(jìn)而假設(shè)a，b，c可構(gòu)成某三角形的三邊長，所以，還要滿足a+b＞c這個(gè)條件，這又該用怎樣的基本不等式才能解決問題呢？學(xué)生在運(yùn)用不等式去解決該問題時(shí)遇到了困難.這時(shí)，如能結(jié)合題目中的已知條件，列出不等式組，則就可以運(yùn)用線性規(guī)劃的思想與方法來求得最終的答案.

令c=y，b-9=x得

圖4

作出圖像（如圖4）

可得y即c的取值范圍是（16，+∞）.

【反思】當(dāng)約束條件為非線性時(shí)，能結(jié)合所學(xué)的二次曲線、三次曲線等常見的函數(shù)圖像作出不等式所對應(yīng)的平面區(qū)域是解題的關(guān)鍵，也是解題的難點(diǎn).此類題目蘊(yùn)含數(shù)學(xué)中基本的優(yōu)化思想方法，能很好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).除了考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗(yàn)外，還對學(xué)生的綜合分析能力、邏輯思維能力及解決實(shí)際問題能力提出較高的要求.所以在日常教學(xué)實(shí)踐中，教師要聯(lián)系學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)與生活實(shí)際，創(chuàng)設(shè)有效的教學(xué)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生思維，利用信息技術(shù)呈現(xiàn)直觀圖像，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，在夯實(shí)學(xué)生四基與提升學(xué)生四能的過程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

綜上案例分析，我們不難發(fā)現(xiàn)，線性規(guī)劃思想能夠很好的解決這類取值范圍問題，前提是題設(shè)為兩元不等式組，并能夠作出相應(yīng)的可行域，再從中提煉出目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，然后利用數(shù)形結(jié)合思想，從而解決了基本不等式不能解決的最值問題.