高中解析幾何定元素相關(guān)問題的解題策略的思考*

☉江蘇省南通中學(xué) 陸王華

定直線、定點、定曲線這些定元素在某些量的變化下仍會保持確定的特性與狀態(tài)，這種事前不知道且不受某些量變化影響的特點往往會增加解題的盲目性與解題的難度.

以下是求解此類問題的實際案例.

策略1：運用取特殊值、特殊位置的方法對定直線、定點、定曲線進行探尋并證明其滿足一般情形.

例1已知拋物線C的頂點與坐標(biāo)原點重合，準(zhǔn)線l的方程是x=-2，點P在準(zhǔn)線l上，縱坐標(biāo)是（t∈R，t≠0），點Q在y軸上，縱坐標(biāo)是2t.

（1）試求拋物線C的方程；

（2）求證：直線PQ一定和一個圓心在x軸上的定圓M相切，請同時求出圓M的方程.

解：（1）拋物線C的方程是y2=8x.

考慮特殊情形，取t=1，則直線PQ的方程是y=2，因此定圓M的半徑r=2；再取，則直線PQ的方程是3x-4y+4=0.由題意可得，定圓M的圓心M（x0，0）到該直線的距離是2，即，解得x0=2或（不滿足一般情形，即圓心到直線①的距離不恒等于2，因此舍去）.

因此定圓M是（x-2）2+y2=4.

該圓滿足一般情形的證明如下.因為圓心M（2，0）到直線①的距離（與t無關(guān)）.

因此直線①一定和定圓M：（x-2）2+y2=4相切.

評注：對第（2）小問進行思考，不難發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)為探尋某個定圓M和動直線PQ一定相切.首先在直線系①中取t=1、t=并得出定圓，然后對該定圓M和直線系①相切進行證明，需要注意的是，t的取值應(yīng)方便計算.

圖1

例2如圖1，已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的左、右頂點分別是A、B，右焦點是F.若過點T（t，m）的直線TA、TB和橢圓分別相交于點M（x1，y1）、N（x2，y2），其中m＞0，y1＞0，y2＜0.

（1）設(shè)動點P滿足PF2-PB2=4，則點P的軌跡如何？

（2）設(shè)x1=2，x2=，則點T的坐標(biāo)如何？

（3）設(shè)t=9，求證：直線MN必過x軸上某定點（其坐標(biāo)和m無關(guān)）.

解：（1）點P的軌跡是直線x=.

當(dāng)直線MN和y軸不平行時，可以證明點D（1，0）始終在直線MN上.

因此直線MN必定經(jīng)過x軸上的定點D（1，0）.

評注：考慮動直線MN和y軸平行的情形可得直線MN必定經(jīng)過定點D（1，0），再證明其在直線MN上即可.

上述在“動”、“定”之間轉(zhuǎn)換的兩個實例都是從一般考慮特殊并獲得確定的元素，最后再對已經(jīng)確定的元素滿足一般情形進行證明，這種轉(zhuǎn)換對于解題是極為有利的，問題本身也是運用這種轉(zhuǎn)換思想的空間與平臺.

策略2：建立相關(guān)函數(shù)的解析式并根據(jù)題意可得該函數(shù)值恒為定值，則其為常數(shù)函數(shù)并由此獲得確定定元素的最直接條件.

例3已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率是，其左、右焦點分別是F1、F2，點P為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，且，O是坐標(biāo)原點.

（1）求橢圓C的方程；

圖2

解：（1）橢圓C的方程為.

設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=.

假設(shè)y軸上存在定點M（0，m）滿足題設(shè)，

因為假設(shè)點M（0，m）滿足題設(shè)，也就是說對任意的實數(shù)k都有恒成立，即18（m2-1）k2+（9m2+6m-15）=0對k∈R恒成立.

因此在y軸上存在定點M（0，1），使以AB為直徑的圓恒過定點M（0，1）.

評注：直線l為繞定點S轉(zhuǎn)動的動直線，因此斜率k是變量.列出以為因變量、k為自變量的函數(shù)解析式，其中m待定.由函數(shù)值恒為0可得出確定m的方程組.運用策略1解決此題同樣可行.

在問題的解決中預(yù)先制定可能出現(xiàn)的問題的解決方案就是“策略”，事實上，根據(jù)形勢的變化與發(fā)展還會進行方案的調(diào)整并落實新的方案，最終在實踐、調(diào)整、改善中實現(xiàn)目標(biāo).解析幾何試題一直是高考命題中的重點和熱點，函數(shù)、不等式、三角、數(shù)列等知識以解析幾何為載體都會得到綜合的應(yīng)用，涉及較多知識點的解析幾何試題對于考生的解題能力提出了較高的要求，很多學(xué)生在一些解析幾何試題面前往往會表現(xiàn)得束手無策，半途而廢的解題現(xiàn)象也比比皆是.本文所思考的定元素問題一直是解析幾何范疇內(nèi)的重要內(nèi)容，教師在實際教學(xué)中應(yīng)教會學(xué)生通觀全局并從局部入手，學(xué)會運用整體思維進行問題的解決，從宏觀上把握問題并從微觀上進行解題的突破，幫助學(xué)生在審題與解題思路的探尋上進行有意義的思考并不斷克服道道解題難關(guān).

總之，解析幾何問題對于學(xué)生的解析能力、計算能力、作圖能力都能起到很好的鍛煉作用.本文結(jié)合實際案例詳細(xì)闡述了高中解析幾何定直線、定點、定曲線問題的解題策略與方法，以期拋磚引玉.教師在實際教學(xué)中應(yīng)關(guān)注到此類題目的靈活性、大思維量等特點，在數(shù)形結(jié)合的生動教學(xué)中幫助學(xué)生掌握解析幾何定元素問題的解題策略與思想以促進學(xué)生的能力提升.