基于TIN模型的三角形微分土石方計(jì)算方法研究

李華蓉 ， 陳 濤

(1. 重慶交通大學(xué) 交通土建工程材料國(guó)家地方聯(lián)合工程實(shí)驗(yàn)室，重慶 400074；2. 重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400074)

0 引 言

在工程中，土石方填挖量是一個(gè)非常重要的指標(biāo)，它直接影響到工程的造價(jià)及預(yù)算。近年來(lái)，隨著國(guó)民經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展和基礎(chǔ)設(shè)施的不斷加強(qiáng)，在土地管理、水利水電工程、道路選線、交通等領(lǐng)域，土石方量成為估算工程費(fèi)用、方案優(yōu)化設(shè)計(jì)以及施工進(jìn)度控制等需要考慮的一個(gè)重要因素[1-3]。毛雪松等[4]還通過(guò)建立半填半挖路基下邊坡模型，對(duì)坡積體的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析。目前最常用的土石方計(jì)算方法為數(shù)字高程模型(DEM)法。很多土石方計(jì)算的研究基于DEM進(jìn)行。朱連輝等[5]在流域土石方工程中運(yùn)用了一種利用無(wú)人機(jī)采集數(shù)據(jù)生成DEM的快速土方測(cè)算方法。在其它領(lǐng)域中，I.A. THOMAS等[6]利用DEM模擬由微觀形態(tài)主導(dǎo)的農(nóng)業(yè)流域水文敏感區(qū)域效果顯著。

根據(jù)地形模擬的方式，DEM法分為規(guī)則格網(wǎng)(Grid)法和不規(guī)則三角網(wǎng)(TIN)法。在Grid法中，當(dāng)微分方格的邊長(zhǎng)足夠小時(shí)，可以用方格4個(gè)頂點(diǎn)高程的加權(quán)平均值代替整個(gè)方格地形面的高程。據(jù)此求得的成果精度能夠相對(duì)提高，而且計(jì)算模型比較簡(jiǎn)易。但是由于方格頂點(diǎn)的高程并不是通過(guò)實(shí)測(cè)獲得，而DEM土方計(jì)算中地形模型的精度基本決定了土方的計(jì)算精度[7]，因此其成果精度的提高始終存在瓶頸。TIN以其對(duì)地形細(xì)部結(jié)構(gòu)的高精度描述特點(diǎn)，極大的彌補(bǔ)了Grid在地形模擬方面的缺陷。但是TIN利用大面積幾何圖形投影構(gòu)成的幾何體計(jì)算土石方，因地形的不規(guī)則起伏不可避免地造成模型誤差。為解決這一問題，將幾何微分思想引入TIN法中，通過(guò)細(xì)化模擬的幾何體，從而更精確地逼近實(shí)際地形，不僅能夠簡(jiǎn)化計(jì)算模型的復(fù)雜度，還能減小模型誤差、提高成果精度。筆者利用這一思想，對(duì)TIN中的三角形進(jìn)行微分，通過(guò)微分三棱柱計(jì)算土石方，提出了基于TIN模型的三角形微分土石方計(jì)算方法。

1 基于TIN模型的三角形微分土石方計(jì)算方法

在常用的基于離散點(diǎn)的土石方計(jì)算方法中，計(jì)算模型產(chǎn)生的誤差主要來(lái)源于將不規(guī)則地形用規(guī)則幾何形體進(jìn)行模擬。在TIN模型中，采用實(shí)測(cè)三角形模擬地形表面，在一定程度上減小了地形模擬失真導(dǎo)致的誤差。但在實(shí)際工程中，為了減少外業(yè)的工作量，對(duì)于地形起伏不大的區(qū)域高程點(diǎn)分布較為稀疏，造成了以大面積三角形面片模擬地形的情況，在土石方的計(jì)算中仍然會(huì)降低計(jì)算結(jié)果的精度。模擬地形的幾何圖形面積對(duì)成果精度的影響在Grid法中就有直觀的體現(xiàn)，理論上幾何圖形面積越小，成果的精度將會(huì)越高。如果能夠基于TIN模型，引入Grid法中的微分思想，當(dāng)三角形的面積足夠小時(shí)就能夠進(jìn)一步的提高計(jì)算成果的精度。賴?guó)櫛蟮萚8]曾提出過(guò)一種利用TIN和Grid的混合模型計(jì)算填挖方量的方法；田旦等[9]介紹的一種提高方格網(wǎng)土石方計(jì)算精度的方法也是首先利用TIN建立測(cè)區(qū)的DEM，同樣是TIN和Grid的混合運(yùn)用。

基于TIN模型的三角形微分土石方計(jì)算方法的思想是先由離散點(diǎn)構(gòu)建TIN模型，然后在TIN模型的基礎(chǔ)上將由離散點(diǎn)構(gòu)成的三角形不斷進(jìn)行分割，直至連續(xù)減小三角形面積而土石方計(jì)算的結(jié)果趨于穩(wěn)定。與Grid法不同的是，利用該方法，微分三角形并非通過(guò)減小邊長(zhǎng)實(shí)現(xiàn)，而是對(duì)面積進(jìn)行分割。

圖1 三角形分割示意Fig. 1 Triangle segmentation schematic

該方法中，三角形分割基于已經(jīng)構(gòu)建好的TIN模型，其分割思想如圖1?！鰽BC由離散點(diǎn)直接構(gòu)成。設(shè)其頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(X1，Y1，H1)、B(X2，Y2，H2)，C(X3，Y3，H3)，當(dāng)△ABC需要進(jìn)行分割時(shí)，由式(1)求得其重心坐標(biāo)D(XD，YD，HD)：

(1)

然后得到△ABD, △BCD和△ACD。如果△ACD仍需進(jìn)行分割，同理求得其重心E的坐標(biāo)，將△ACD繼續(xù)分割為3個(gè)新的三角形。對(duì)其它三角形同樣如此，直至所有三角形的面積小于閾值。由離散點(diǎn)構(gòu)成的三角形地形面可以近似看作是連續(xù)變化的，因此由3個(gè)頂點(diǎn)求得的重心坐標(biāo)具有較高的精度。同時(shí)，由原三角形的頂點(diǎn)和重心構(gòu)成的3個(gè)新三角形的面積相等，保證了測(cè)區(qū)范圍的平均分割，而在程序中判斷是否繼續(xù)分割的條件亦為三角形的面積。另外，在三角形中重心到3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小，這也在一定程度上保證了重心三維坐標(biāo)的求取精度。

在進(jìn)行土石方量的計(jì)算時(shí)，由于微分三角形的面積非常小，可以引入微分計(jì)算的思想。以每個(gè)微分三角形的重心點(diǎn)高程作為整個(gè)微分三角形面的高程，以微分三角形投影到設(shè)計(jì)高程面構(gòu)成的正三棱柱體積計(jì)算填挖方量，類似于徐樹坤等[10]提出的將空間體積轉(zhuǎn)化為平面上求取面積近似定積分的思想。這種計(jì)算方法從實(shí)施上看仍然以三角形模擬地形面，按幾何體體積進(jìn)行計(jì)算，但不同的是，此時(shí)的微分三角形面積非常小，根據(jù)微分的思想以及高精度土石方工程中對(duì)填挖方量計(jì)算精度的要求，可以以點(diǎn)代面進(jìn)行計(jì)算。

綜合而言，利用基于TIN模型的三角形微分法計(jì)算土石方量的具體流程如圖2，算法步驟如下：

步驟1：利用野外實(shí)測(cè)離散點(diǎn)數(shù)據(jù)，按照Delaunay三角形構(gòu)建原則建立TIN模型，并將TIN模型中的三角形存儲(chǔ)于待分割三角形線性表中。

步驟2：獲取三角形面積閾值，按照待分割線性表中三角形的存儲(chǔ)順序，遍歷待分割三角形。

步驟3：判斷三角形面積和所取閾值的大小關(guān)系。當(dāng)三角形面積大于閾值時(shí)，求取其重心三維坐標(biāo)對(duì)其進(jìn)行分割，并同時(shí)存儲(chǔ)生成的3個(gè)新三角形于待分割線性表中。

步驟4：當(dāng)待分割三角形面積小于閾值時(shí)，將此三角形存儲(chǔ)于分割完成后的微分三角形線性表中，并遍歷下一個(gè)待分割三角形，回到步驟3。

步驟5：按照步驟3、步驟4，遍歷并分割所有待分割三角形，使得所有微分三角形的面積小于或等于閾值。

步驟6：遍歷分割完成后的微分三角形，以微分三角形的重心點(diǎn)高程代替三角面的高程，利用微分三棱柱求得土石方量。

圖2 基于TIN模型的三角形微分土石方計(jì)算流程Fig. 2 Flow chart of triangular differential earthwork calculation based on TIN model

2 實(shí)驗(yàn)與分析

基于三角形微分土石方計(jì)算理論，利用Visual Studio 2010平臺(tái)，選擇C#語(yǔ)言設(shè)計(jì)了一個(gè)微型土石方計(jì)算系統(tǒng)，能夠?qū)崿F(xiàn)TIN模型的構(gòu)建、土方量的計(jì)算以及數(shù)據(jù)的輸入輸出，系統(tǒng)設(shè)計(jì)方案如圖3。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)源于重慶某場(chǎng)地平整土方工程，平場(chǎng)面積為71 913.1 m2，實(shí)測(cè)離散點(diǎn)138個(gè)。

2.1 算法分析

該算法與Grid法相似。當(dāng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)選取的閾值不斷減小時(shí)，填挖方量趨于穩(wěn)定。表1為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)在不同閾值下的填挖方量對(duì)比數(shù)據(jù)。由表1可知，在微分三角形的面積閾值分別1/60 m2和1/100 m2時(shí)，填挖方量?jī)H相差1.4 m3，因此1/60 m2可認(rèn)為是該項(xiàng)目的合適閾值。實(shí)際運(yùn)算時(shí)，系統(tǒng)將依據(jù)不同閾值的結(jié)果對(duì)比數(shù)據(jù)，自動(dòng)選擇合適的閾值。

圖3 基于TIN模型的三角形微分土石方計(jì)算系統(tǒng)設(shè)計(jì)方案Fig. 3 Design scheme of triangular differential earthwork computing system based on TIN model

表1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)選取不同閾值計(jì)算時(shí)填挖方量的變化Table 1 Variation of filling and excavation volume with differentthresholds selected in the experimental data

由表1可知，隨著閾值的減小，微分三角形的個(gè)數(shù)大致呈線性增加，而且數(shù)量非常龐大。當(dāng)閾值為1 m2時(shí)就能將初始的257個(gè)三角形微分為135 189個(gè)。選擇較為合適的閾值(1/60 m2)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，微分三角形數(shù)量達(dá)到了797萬(wàn)個(gè)。而當(dāng)結(jié)果真正穩(wěn)定時(shí)，三角形數(shù)量突破了1 329萬(wàn)個(gè)。圖4直觀體現(xiàn)了不同閾值下微分三角形的數(shù)量變化。因此，大型土石方工程中運(yùn)用三角形微分法對(duì)計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)要求很高，而逐漸增加的微分三角形數(shù)量必然降低計(jì)算效率，表1中的計(jì)算時(shí)間直觀體現(xiàn)了這一點(diǎn)。就算法而言，基于TIN模型的三角形微分土方石計(jì)算方法對(duì)計(jì)算機(jī)的性能要求較高，其發(fā)展與運(yùn)用和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展有著直接的聯(lián)系。

圖4 同一三角形不同閾值的微分對(duì)比Fig. 4 Differential comparison of different thresholdsfor the same triangle

2.2 成果的對(duì)比分析

表2為各種土石方計(jì)算方法的結(jié)果對(duì)比數(shù)據(jù)。由表2可知，TIN法和三角形微分法的計(jì)算結(jié)果非常接近，而Grid法和這兩者都相差較遠(yuǎn)。這反映了地形模擬對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響遠(yuǎn)大于計(jì)算模型，也是一直以來(lái)眾多土石方計(jì)算方法強(qiáng)調(diào)高精度的地形模擬而忽略計(jì)算模型的原因。但是如果要獲得更高的精度，如利用土方量的變化進(jìn)行地形沉降和滑坡的監(jiān)測(cè)，對(duì)二者都應(yīng)該有足夠的重視。吳清海[11]介紹了一種利用兩期土方量預(yù)測(cè)地面沉降的方法，其用泊松曲線對(duì)所得的土石方數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合并建立預(yù)測(cè)模型。此方法對(duì)土石方量的精度要求很高。

表2 各種土方計(jì)算方法結(jié)果對(duì)比Table 2 Comparison of the results of various earthworkcalculation methods

進(jìn)一步分析表2可知，相對(duì)于CASS中的TIN法，三角形微分法填方量精度提高295.8 m3，挖方量提高了172.8 m3，計(jì)算時(shí)間多了29.37 s。由此可知，三角形微分法通過(guò)犧牲計(jì)算效率提高計(jì)算精度。就目前而言，一方面受限于計(jì)算機(jī)水平的發(fā)展，另一方面，在一般土石方工程中對(duì)填挖方量精度的要求不是很高，因此三角形微分法較難廣泛應(yīng)用于工程實(shí)際中。但是在一些利用兩期土方量變化做動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)的工程中，此方法具有運(yùn)用前景。在利用土方量變化監(jiān)測(cè)大壩和山區(qū)滑坡地帶地形沉降、位移時(shí)，微小的精度提高就可能及早發(fā)現(xiàn)潛在的危險(xiǎn)，對(duì)于保障人民的生命安全、減小經(jīng)濟(jì)損失具有重要的意義

3 結(jié) 語(yǔ)

基于TIN模型的三角形微分土石方計(jì)算方法，利用TIN構(gòu)建地形模型，能夠高精度地描述地形的細(xì)部結(jié)構(gòu)。在計(jì)算模型方面引入了微分思想，將TIN模型中的每個(gè)初始三角形按照適當(dāng)?shù)拈撝捣指顬槲⒎秩切?，在高程上以點(diǎn)代面進(jìn)行計(jì)算，降低了計(jì)算模型的復(fù)雜度，減小了模型誤差，提高了成果的精度。綜合分析可知，此種方法通過(guò)犧牲計(jì)算效率提高精度，對(duì)計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)和運(yùn)算速率要求較高，因此在當(dāng)下較難廣泛應(yīng)用于土石方工程中，只有在高精度的土石方監(jiān)測(cè)項(xiàng)目中才具有實(shí)用意義。但隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和交通土建行業(yè)的快速發(fā)展，此種方法具有很大的發(fā)展前景。