基于分時(shí)定價(jià)理論的地鐵票價(jià)優(yōu)化研究

王 林,李日偉,魯寒宇,楊雨婷

(武漢理工大學(xué) 交通學(xué)院， 湖北 武漢 430063)

0 引 言

如今，隨著城市化的推進(jìn)，城市人口日益增長(zhǎng)，造成公共交通高峰期出行乘客過多，平峰期出行人數(shù)偏少，出行客流較為集中，全天客流不均衡系數(shù)偏大的問題，不僅會(huì)導(dǎo)致公共交通服務(wù)質(zhì)量下降，也會(huì)增加安全風(fēng)險(xiǎn)與維護(hù)費(fèi)用。作為城市公共交通的重要分擔(dān)者，地鐵同樣存在此問題，且問題表現(xiàn)較為突出。就歷史數(shù)據(jù)分析來看，乘客對(duì)地鐵票價(jià)的敏感性較強(qiáng)，因此，通過對(duì)地鐵進(jìn)行分時(shí)間段的票價(jià)優(yōu)化，達(dá)到調(diào)整彈性系數(shù)較大的乘客出行時(shí)間與出行方式，分散出行客流，緩減客流不平衡矛盾的思想是可行的。

分時(shí)定價(jià)理論是指，從“削峰填谷”的思想出發(fā)，根據(jù)運(yùn)營(yíng)時(shí)段不同制定不同的價(jià)格，利用乘客對(duì)公共交通價(jià)格的敏感性，引導(dǎo)乘客的出行時(shí)段與出行方式，是一種平衡不同時(shí)段出行客流量的有效方法。目前，有許多學(xué)者對(duì)此問題進(jìn)行了研究討論。S. R. JARA-DIAZ[1]于1986年首先運(yùn)用分時(shí)定價(jià)理論，對(duì)圣地亞哥地鐵系統(tǒng)進(jìn)行分時(shí)定價(jià)，并通過建立非集計(jì)需求模型和使用多產(chǎn)出成本函數(shù)計(jì)算出最優(yōu)的價(jià)格，結(jié)果表明了分時(shí)定價(jià)在圣地亞哥地鐵系統(tǒng)的可適用性；R. BIANCHI[2]等通過建立乘客行為模型，借助SP調(diào)査法對(duì)圣地亞哥地鐵實(shí)施分時(shí)定價(jià)政策前票價(jià)對(duì)早晚高峰客流的影響進(jìn)行調(diào)査，來預(yù)測(cè)票價(jià)和舒適性改變后乘客出行時(shí)間的變化，并得出了Probit模型對(duì)于現(xiàn)實(shí)中分時(shí)定價(jià)政策實(shí)施后客流量變化的巧合效果更優(yōu)，同時(shí)對(duì)分時(shí)定價(jià)在圣地亞哥地鐵實(shí)施給予肯定；王倩[3]構(gòu)建了伯特蘭均衡模型和雙層規(guī)劃定價(jià)模型，基于具體算例提出了在城市軌道交通運(yùn)營(yíng)的不同時(shí)期應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況制定不同票價(jià)的方案；李艷杰[4]利用計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法分別以客流量與平均運(yùn)距為變量進(jìn)行 OLS 回歸，得出變量對(duì)拉姆齊定價(jià)的影響情況，同時(shí)得出深圳地鐵的拉姆齊定價(jià)與高峰定價(jià)；宋慶梅[5]建立巢式 Logit 模型，以杭州地鐵為例進(jìn)行驗(yàn)證，得出時(shí)間差別定價(jià)能有效平衡客流時(shí)空分布不均衡現(xiàn)象，但可能會(huì)減少地鐵票務(wù)收入的結(jié)論；王靜[6]從收益管理和擁擠定價(jià)出發(fā)，應(yīng)用 SP 問卷調(diào)研和 Weka 分析，發(fā)現(xiàn)乘客出行影響規(guī)則，并通過分類預(yù)測(cè)方法確定了廣州地鐵的低峰降價(jià)策略；程高[7]基于博弈論構(gòu)建了非對(duì)稱信息下的公交定價(jià)模型，以武漢地鐵為例，以社會(huì)效益最大化為目標(biāo)計(jì)算出了4元的最優(yōu)票價(jià)；劉濤等[8]通過價(jià)格敏感度模型和擁擠容忍度模型，驗(yàn)證了地鐵分時(shí)定價(jià)的必要性；陳花[9]以定性分析為主，論述了地鐵分時(shí)定價(jià)對(duì)于乘客出行選擇的影響。上述研究從收益定價(jià)或時(shí)間差別定價(jià)角度取得了諸多研究成果，但總的來看，分時(shí)定價(jià)的研究以定性分析為主，少數(shù)的定量分析則采用平峰打折或高峰漲價(jià)的策略，很少采用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行整體優(yōu)化?；诖?，筆者參考諸克軍等[10]關(guān)于天然氣工業(yè)分時(shí)定價(jià)的策略，選用彈性系數(shù)法，對(duì)地鐵各時(shí)段重新定價(jià)，在保證地鐵社會(huì)公共性發(fā)揮的同時(shí)，縮小最大客流差，保障地鐵的安全運(yùn)營(yíng)。

1 價(jià)格彈性模型

價(jià)格彈性可以充分反映供求與價(jià)格之間依存關(guān)系，準(zhǔn)確反映乘客對(duì)票價(jià)的敏感性。就地鐵公交等公共交通而言，經(jīng)歷史數(shù)據(jù)分析[11]，其對(duì)票價(jià)的彈性較大，因此，對(duì)地鐵進(jìn)行分時(shí)定價(jià)后，乘客的需求也會(huì)發(fā)生相應(yīng)變化，且乘客對(duì)某時(shí)段的地鐵需求量不僅與該時(shí)段地鐵票價(jià)有關(guān)，也與其他時(shí)段地鐵票價(jià)有關(guān)，即同時(shí)存在自彈性和交叉彈性。價(jià)格彈性的一般形式如式(1)：

(1)

筆者根據(jù)價(jià)格彈性的一般形式，分析自彈性和交叉彈性。

1.1 自彈性系數(shù)

自彈性系數(shù)公式如式(2)：

(2)

自彈性系數(shù)用于衡量某一時(shí)段的價(jià)格彈性，即第i個(gè)時(shí)段的價(jià)格變化。自彈性系數(shù)只影響第i個(gè)時(shí)段的需求變化，而不影響第j(i≠j)個(gè)時(shí)段的需求變化，亦即客流量在同一時(shí)段的不同交通方式重新分擔(dān)。例如，大部分上學(xué)、上班等剛性需求。

1.2 交叉彈性系數(shù)

交叉彈性系數(shù)公式如式(3)：

(3)

交叉彈性系數(shù)為其他時(shí)段票價(jià)變化對(duì)某一時(shí)段的客流需求影響，即第j個(gè)時(shí)段的價(jià)格變化影響第i(i≠j)個(gè)時(shí)段的需求變化，亦即客流量轉(zhuǎn)移至其他時(shí)段。例如，出行等非剛性需求。

2 用戶需求響應(yīng)負(fù)荷模型

需求響應(yīng)(demand response，DR)在現(xiàn)有研究中主要用于電力需求管理，是指電力用戶根據(jù)供電部門制定的電價(jià)信息和激勵(lì)信息來調(diào)整自己的用電計(jì)劃,通過用電設(shè)備技術(shù)改進(jìn)或采用控制手段對(duì)運(yùn)行方式進(jìn)行調(diào)整以改變其用電負(fù)荷特性曲線,在用戶滿意度和用戶生產(chǎn)工藝約束條件下,使用戶電費(fèi)支出最小化[12]。參照此定義，可將地鐵需求響應(yīng)定義為：當(dāng)?shù)罔F票價(jià)發(fā)生變化時(shí)，乘客接收到票價(jià)變化信號(hào)后，改變其出行行為，從而減少或者推移某時(shí)段出行負(fù)荷，在最大客流差縮小的約束下，保障乘客的出行效益。

參考文獻(xiàn)[13-14]與文獻(xiàn)[10]，提出關(guān)于地鐵乘客的用戶響應(yīng)負(fù)荷模型，如式(4)：

S[q(i)]=B[q(i)]-p(i)·q(i)

(4)

式中：q(i)為某時(shí)段乘客的出行需求量；B[q(i)]為乘客獲得的收益，此乘客收益并非貨幣收入，而為乘客乘坐地鐵帶來的包括乘坐時(shí)間、速度、舒適度等心理效益；p(i)為第i時(shí)段地鐵票價(jià)；S[q(i)]為乘客承受票價(jià)后的效益。對(duì)q(i)求導(dǎo)可得：

(5)

用戶的效益最大化，導(dǎo)數(shù)值應(yīng)為0，可得：

(6)

即：

(7)

常用的用戶收益函數(shù)如式(8)[15]：

(8)

(9)

式中：p0(i)為第i個(gè)時(shí)段地鐵票價(jià)的初始價(jià)格；q0(i)、q0(j)分別為第i、j個(gè)時(shí)段乘客的初始需求量；B0(i)為第i個(gè)時(shí)段用戶的初始收入，即用戶需求量為q0(i)時(shí)的收入；E(i)為第i個(gè)時(shí)段的價(jià)格需求彈性；E(i,j)為第i個(gè)時(shí)段對(duì)第j個(gè)時(shí)段的價(jià)格需求彈性。由于式(8)、式(9)除個(gè)別參數(shù)外形式相似，故以式(8)為例進(jìn)行分析，同理可得式(9)相應(yīng)公式或結(jié)論。對(duì)式(8)求導(dǎo)，得：

(10)

將式(7)帶入式(10)，可得乘客需求量與票價(jià)的關(guān)系，如式(10)：

(11)

由式(11)可構(gòu)建地鐵收益函數(shù)與乘客效用函數(shù)。

2.1 地鐵公司收益函數(shù)

參考相關(guān)文獻(xiàn)[11]，結(jié)合對(duì)武漢市地鐵的實(shí)地調(diào)研，擬將地鐵時(shí)段分為5個(gè)時(shí)段，即：①發(fā)車—7:00，早高峰前平峰；②7:00—9:00，早高峰；③9:00—17:00，早晚高峰間平峰；④17:00—19:00，晚高峰；⑤19:00—收車，晚高峰后平峰。

在進(jìn)行分時(shí)定價(jià)后，某一時(shí)段價(jià)格變化可能引起客流在不同交通方式的再分擔(dān)，即為單時(shí)段響應(yīng)。此外，不同時(shí)段價(jià)格的不同也可能導(dǎo)致乘客改變出行時(shí)段，實(shí)現(xiàn)需求量從高峰時(shí)段轉(zhuǎn)移到平峰時(shí)段的目標(biāo)，即為多時(shí)段響應(yīng)。

根據(jù)以上分析，構(gòu)建地鐵收益函數(shù)如式(12)：

(12)

式中：R0為票價(jià)優(yōu)化前地鐵公司收益；p0為優(yōu)化前的票價(jià)；C為地鐵的人均成本，包括均攤的固定成本和每天運(yùn)營(yíng)維護(hù)的可變成本；q0(i)為票價(jià)優(yōu)化前某一時(shí)段的客流量。實(shí)施分時(shí)定價(jià)優(yōu)化后，地鐵公司收益函數(shù)如式(13)：

(13)

2.2 乘客效用函數(shù)

對(duì)于乘客而言，地鐵僅作為一種出行的方式，是其滿足某種出行需求的工具而已，因此，地鐵給乘客帶來的收益僅僅表現(xiàn)為心理上的滿足感，即效用S。在參考相關(guān)文獻(xiàn)，并結(jié)合實(shí)際情況后，乘客效用函數(shù)由票價(jià)p、乘車候車總時(shí)間t和乘客舒適度φ等3個(gè)指標(biāo)確定。各指標(biāo)計(jì)算評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)如下：

1)價(jià)格p

考慮票價(jià)優(yōu)化后一定時(shí)間內(nèi)乘客交通方式選擇有限，公共交通網(wǎng)絡(luò)僅考慮公交和地鐵兩種。一般情況而言，公交價(jià)格為固定票制，地鐵為浮動(dòng)票制。武漢地鐵采用分段票制，即9 km以內(nèi)(含9 km)為2元/人次，9～14 km(含14 km)為3元/人次，3元以上每增加1元可乘坐的里程比上一區(qū)段遞增2 km，以此類推。由于分時(shí)票價(jià)目的在于尋找客流量與地鐵票價(jià)的關(guān)系，并通過改變地鐵票價(jià)調(diào)節(jié)各時(shí)期客流量，緩解客流不平衡矛盾，故票價(jià)采用連續(xù)變化函數(shù)更容易達(dá)到這一目的，得出更合適的運(yùn)價(jià)率。一般而言，計(jì)程地鐵票價(jià)函數(shù)可表示為[16]：

p=p′+δ·lij

(14)

式中：p為乘客出行地鐵總票價(jià)；p′為地鐵基本票價(jià)；δ為運(yùn)價(jià)率，為筆者研究對(duì)象；lij為乘客乘坐距離，可用乘車時(shí)間與行車速度相乘表示。

2)時(shí)間t

時(shí)間t分為乘車時(shí)間和候車時(shí)間。對(duì)于乘車時(shí)間，大量的學(xué)者已經(jīng)證明，乘客的乘車時(shí)長(zhǎng)分布大致服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布[5,17]，其概率公式如式(15)：

(15)

式中：T為乘車時(shí)間；μ為尺度參數(shù)；σ為形狀參數(shù)。μ、σ均通過平均時(shí)長(zhǎng)E(T)和乘車時(shí)間方差var(T)得到。

由正態(tài)分布的基本圖像可知，在二分之一行車時(shí)間附近的乘車時(shí)間是大概率事件。因此，可以認(rèn)為，在中途上下車的乘客為多數(shù)，即大多數(shù)乘客的乘車時(shí)間在二分之一行車時(shí)間左右波動(dòng)。因此，用二分之一行車時(shí)長(zhǎng)表示行人的乘車時(shí)間是合理的。

對(duì)于候車時(shí)間，乘客到站時(shí)間服從均勻分布，乘客候車時(shí)間采用發(fā)車時(shí)間的一半表示[18]。

3)舒適度φ

舒適性與乘車時(shí)間和乘車環(huán)境有關(guān)。車廂越擁擠則舒適性越差，反之越好。筆者以一節(jié)車廂內(nèi)的乘客人數(shù)表示舒適度，人數(shù)越多，說明車內(nèi)越擁擠，則乘客的舒適性越差。根據(jù)以上定義，舒適度函數(shù)計(jì)算式如式(16)：

(16)

式中：qi為一個(gè)時(shí)間段內(nèi)某種交通方式的乘坐總?cè)藬?shù)；n為一列地鐵的車廂節(jié)數(shù)；Tzc為某一時(shí)間段內(nèi)小時(shí)數(shù)；tjg為某一時(shí)間段內(nèi)的發(fā)車間隔。

根據(jù)以上分析，票價(jià)優(yōu)化前乘客出行效用函數(shù)為：

(17)

式中：tw為候車時(shí)間；txc為地鐵總行車時(shí)間。

票價(jià)優(yōu)化后乘客出行的效用函數(shù)為：

S[q(i)]=B[q(i)]-p(i)·q(i)=-[α1·p+

(18)

3 分時(shí)段定價(jià)優(yōu)化模型

在確定客流量與票價(jià)的關(guān)系后，筆者對(duì)基于時(shí)間差別的地鐵定價(jià)優(yōu)化模型進(jìn)行研究。

3.1 相關(guān)假設(shè)

為方便求解，做如下假設(shè)：①公共交通網(wǎng)絡(luò)客流穩(wěn)定，即短期內(nèi)客流量增減幅度不會(huì)太大；②公共交通網(wǎng)絡(luò)具有一定的獨(dú)立性，即各線路之間互不影響；③地鐵公司運(yùn)營(yíng)的收入僅考慮票價(jià)收入，且不考慮優(yōu)惠票價(jià)的影響；④出行需求為多對(duì)多出行，任意兩個(gè)站點(diǎn)之間均有客流需求，且客流受出行時(shí)間、票價(jià)等因素的影響；⑤乘客到達(dá)地鐵站點(diǎn)的時(shí)間服從均勻分布；⑥公交地鐵發(fā)車間隔均為不發(fā)車間隔，且每個(gè)時(shí)間段內(nèi)各輛車的發(fā)車間隔相等且已知；⑦公交和地鐵均為勻速行駛，地鐵全天行駛速度形同，公交各劃分時(shí)段內(nèi)行駛速度相同；⑧研究?jī)H考慮地鐵價(jià)格改變后轉(zhuǎn)移出的客流量，暫不考慮其他交通方式轉(zhuǎn)入的客流量；⑨平峰期公交、地鐵客流量不相互轉(zhuǎn)移，即客流轉(zhuǎn)移如圖1。

圖1 分時(shí)定價(jià)后客流轉(zhuǎn)移趨勢(shì)Fig. 1 Transfer trend of passenger flow after time-sharing pricing

3.2 最大客流差最小化模型構(gòu)建

為確保地鐵的安全運(yùn)營(yíng)，模型以地鐵最大客流差最小化，平衡地鐵客流為目標(biāo)函數(shù)。由此可得，目標(biāo)函數(shù)應(yīng)求得最小化的高峰期地鐵負(fù)荷峰值和最大化的平峰期地鐵負(fù)荷谷值。由于每時(shí)段小時(shí)數(shù)不同，故取時(shí)段客流除以時(shí)段時(shí)長(zhǎng)所得的小時(shí)客流量衡量每個(gè)時(shí)段的客流負(fù)荷。最小化的高峰期地鐵負(fù)荷峰值Qf、最大化的平峰期地鐵負(fù)荷谷值Qg、最小化峰谷差Qf-g表達(dá)如式(19)～式(21)：

(19)

(20)

(21)

3.3 約束條件

約束條件從地鐵公司效益、乘客效益和價(jià)格約束3方面構(gòu)建。

3.3.1 地鐵公司效益

目標(biāo)函數(shù)以縮減最大客流差以達(dá)到削峰填谷為目的構(gòu)建。在考慮目標(biāo)函數(shù)實(shí)現(xiàn)的同時(shí)，地鐵公司的效益問題不可忽略。目前，地鐵公司多處于虧損狀態(tài)，因而地鐵公司效益已基本無縮減余地。相反，地鐵定價(jià)策略應(yīng)逐步以地鐵公司盈利為目標(biāo)進(jìn)行?；诖?，關(guān)于地鐵公司效益的約束條件為票價(jià)優(yōu)化定價(jià)后不會(huì)對(duì)地鐵公司效益造成損害，即：

ΔR=R-R0≥0

(22)

由式(12)、式(13)可得：

(23)

3.3.2 乘客效益

地鐵作為公共交通，其公共性是地鐵定價(jià)的重要考慮因素，總的來看，其公共性可用乘客效益進(jìn)行衡量。隨著地面交通壓力的逐漸增大，提倡公共交通出行成為主流?；诖?，在對(duì)票價(jià)進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，應(yīng)考慮乘客總效益的變化，避免因效益損失過大帶來大批乘客流失，加劇地面交通壓力，故乘客效益損失應(yīng)控制在一定范圍，即：

|ΔS|=|S-S0|≤Sm

(24)

由式(17)、式(18)、式(24)可得：

(25)

3.3.3 價(jià)格約束

為了避免票價(jià)變化過高帶來的乘客總效益下降，價(jià)格變動(dòng)會(huì)有一定的范圍，即：

p下限≤pi≤p上限

(26)

由式(14)可得，票價(jià)優(yōu)化的實(shí)質(zhì)是對(duì)運(yùn)價(jià)率進(jìn)行優(yōu)化，即式(26)可變形為：

δ下限≤δi≤δ上限

(27)

3.4 求解算法

結(jié)合Pareto排序，采用遺傳算法求解模型，具體步驟如下：

步驟1：令i=1，錄入原始數(shù)據(jù)，包括票價(jià)優(yōu)化前各時(shí)段客流量q0(i)、原始票價(jià)p0、地鐵公司成本C、實(shí)施峰谷分時(shí)定價(jià)后運(yùn)價(jià)率上限δ上限和下限δ下限。

步驟2：確定算法參數(shù)值，包括群體規(guī)模p、最大迭代次數(shù)G、交叉概率pc和突變概率pm。

步驟3：令i=i+1，由式(23)、(25)、(27)篩選δi的可能取值，產(chǎn)生隨機(jī)初始化種群m。

步驟4：計(jì)算目標(biāo)值函數(shù)。根據(jù)式(19)、式(20)、式(21)分別計(jì)算出最小化的高峰期地鐵負(fù)荷峰值Qf、最大化的平峰期地鐵負(fù)荷谷值Qg以及最小化峰谷差值Qf-g。

步驟5：通過Pareto得到個(gè)體的序位，并按序位對(duì)個(gè)體進(jìn)行排序，最后根據(jù)排序值對(duì)個(gè)體分配選擇概率。

步驟6：在由Pareto排序得出個(gè)體選擇概率后，對(duì)群體進(jìn)行選擇、交叉、變異等操作，產(chǎn)生下一代群體后，重復(fù)步驟3，依次迭代，直至結(jié)束循環(huán)。

步驟7：輸出結(jié)果。如果迭代次數(shù)g達(dá)到最大設(shè)定的迭代次數(shù)G，則算法終止，輸出結(jié)果，得到各時(shí)段價(jià)格，再計(jì)算出最小峰負(fù)荷和最小峰谷負(fù)荷差。

4 算例分析

目前，某地地鐵價(jià)格仍采用統(tǒng)一定價(jià)，即起步價(jià)2元，運(yùn)價(jià)率為0.11元/km，公交價(jià)格為2元/次。二者均采用不等時(shí)間隔發(fā)車，以滿足不同時(shí)期乘客的出行需求。此外，考慮地面不同時(shí)段路況的不同，公交的行駛速度也存在區(qū)別。公交、地鐵分時(shí)段行車速度及發(fā)車間隔見表1。

表1 行車速度及發(fā)車間隔參數(shù)設(shè)置Table 1 Parameter setting of driving speed and departure interval

乘客效益函數(shù)相關(guān)參數(shù)取值見表2。

表2 其他參數(shù)設(shè)置Table 2 Other parameter setting

此外，各時(shí)段價(jià)格需求彈性見表3。

表3 各時(shí)段價(jià)格需求彈性Table 3 Price demand elasticity in each period

根據(jù)建立的地鐵票價(jià)優(yōu)化雙層規(guī)劃模型，采用遺傳-Pareto算法求解，并利用MATLAB軟件實(shí)現(xiàn)。運(yùn)價(jià)率優(yōu)化結(jié)果見表4。

表4 運(yùn)價(jià)率計(jì)算結(jié)果Table 4 Calculation results of freight rate

由以上分時(shí)定價(jià)結(jié)果，可計(jì)算出地鐵運(yùn)價(jià)率為0.14元·km-1，大于實(shí)施分時(shí)定價(jià)前的0.11元·km-1。此外，具體各時(shí)段各方式轉(zhuǎn)移客流量計(jì)算結(jié)果及各時(shí)段地鐵分配客流量計(jì)算結(jié)果分別見表5、表6。

表5 各時(shí)段各方式轉(zhuǎn)移客流量計(jì)算結(jié)果Table 5 Calculation results of passenger flow transferred by differentways in different periods

表6 各時(shí)段地鐵分配客流量計(jì)算結(jié)果Table 6 Calculation results of passenger flow distributed inmetro at different periods 萬(wàn)人

地鐵凈收益為254.30萬(wàn)元，相較于票價(jià)優(yōu)化前，凈收入上浮185.45萬(wàn)元；乘客乘車效益值為-469.24，優(yōu)化前乘客效益為-397.87，效益值下跌71.37；小時(shí)最大客流差為0.14萬(wàn)人，相較于優(yōu)化前的0.16萬(wàn)人，小時(shí)最大客流差減小0.02萬(wàn)人。

由計(jì)算結(jié)果可知，地鐵分時(shí)定價(jià)有利于地鐵高峰客流的轉(zhuǎn)移，減小高峰期客流擁堵情況，改善乘車環(huán)境，提升軌道交通利用率，增強(qiáng)乘客乘車體驗(yàn)，降低高峰期承載率，減小安全隱患，有利于地鐵公司的運(yùn)營(yíng)。

5 結(jié) 論

利用彈性系數(shù)，參考電力、天然氣等行業(yè)的用戶需求響應(yīng)模型，構(gòu)建了地鐵的用戶需求響應(yīng)模型，用于對(duì)地鐵票價(jià)進(jìn)行分時(shí)段優(yōu)化，并利用遺傳-Pareto算法對(duì)模型進(jìn)行求解，最后通過算例，得到了優(yōu)化后的分時(shí)段運(yùn)價(jià)率，驗(yàn)證了模型。

筆者研究仍存在缺陷。首先，地鐵票價(jià)優(yōu)化后公共交通之間的客流轉(zhuǎn)移僅考慮了地鐵向公交的流動(dòng)，而未考慮公交向地鐵的流動(dòng)。其次，由于彈性系數(shù)計(jì)算需要?dú)v史數(shù)據(jù)的局限，筆者模型驗(yàn)證僅參考國(guó)內(nèi)城市地鐵各項(xiàng)參數(shù)的算例分析，并未進(jìn)行實(shí)際測(cè)算。下一步研究分析將從這兩方面入手，以求構(gòu)建更準(zhǔn)確的地鐵分時(shí)票價(jià)優(yōu)化模型。