基于遞推最小二乘法的轉(zhuǎn)向系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)

李 偉，王洪民，唐 崢

(重慶交通大學(xué) 機(jī)電與車輛工程學(xué)院，重慶 400074)

0 引 言

轉(zhuǎn)向系統(tǒng)是控制汽車按指定路線和方向行駛的重要裝置，精確的物理參數(shù)在對(duì)建立車輛系統(tǒng)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型和分析中起著至關(guān)重要的作用[1]。針對(duì)系統(tǒng)的參數(shù)辨識(shí)，比較主流的辨識(shí)方法有模型自適應(yīng)辨識(shí)算法[2]、最小二乘法[3-4]、擴(kuò)展卡爾曼濾波法[5-6]、遺傳算法[7]、掃頻測試等。其中擴(kuò)展卡爾曼濾波法的P、Q矩陣很難確定，而且與系統(tǒng)狀態(tài)密切相關(guān)；遺傳算法對(duì)待估參數(shù)初值要求較高；掃頻測試需要用不同的頻率去激勵(lì)系統(tǒng)，再用最小二乘法求得閉環(huán)系統(tǒng)的幅頻特性與相頻特性，最后利用MTLAB的INVFREQS函數(shù)進(jìn)行擬合，這種算法采集到的數(shù)據(jù)不僅不多，而且還要進(jìn)行兩次擬合，會(huì)造成辨識(shí)出的參數(shù)結(jié)果精度不高；加之遺傳算法和掃頻測試也不能做到參數(shù)在線實(shí)時(shí)估計(jì)。宗長富等[8]采用最小二乘法與遺傳算法相結(jié)合的方法以TruckSim數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)離線辨識(shí)出了商用車三自由度模型的前軸側(cè)偏剛度、后軸側(cè)偏剛度、側(cè)傾阻尼和側(cè)傾剛度4個(gè)關(guān)鍵參數(shù)，并繪制出辨識(shí)出參數(shù)的MAP圖，代入數(shù)學(xué)模型進(jìn)行仿真驗(yàn)證。結(jié)果表明：該方法能較準(zhǔn)確辨識(shí)出系統(tǒng)模型的關(guān)鍵參數(shù)，關(guān)鍵參數(shù)MAP圖能實(shí)時(shí)準(zhǔn)確表征車輛的實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)特性，為商用車參數(shù)估計(jì)和穩(wěn)定性控制奠定了良好基礎(chǔ)。李凌陽[9]對(duì)車輛懸架系統(tǒng)的進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)研究，分別采用對(duì)數(shù)衰減法、頻域法和面積法來辨識(shí)懸架系統(tǒng)的阻尼比，并利用系統(tǒng)模型辨識(shí)出車輛的簧上和簧下質(zhì)量，對(duì)于研究懸架主動(dòng)控制策略具有非常重要的意義。

首先利用MATLAB進(jìn)行遞推最小二乘法仿真，結(jié)果表明，該方法能夠快速有效準(zhǔn)確地估計(jì)出系統(tǒng)參數(shù)；然后MicroAutoBox發(fā)出PWM波控制P-EPS驅(qū)動(dòng)版中“H”橋中4個(gè)功率晶體管的通斷，利用博世傳感器采集轉(zhuǎn)向系統(tǒng)中方向盤的轉(zhuǎn)角，系統(tǒng)的輸入電流由驅(qū)動(dòng)板采集，根據(jù)采集的電流和轉(zhuǎn)角編寫遞推最小二乘法，對(duì)未知轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的有關(guān)參數(shù)進(jìn)行在線估計(jì)。

1 遞推最小二乘法原理

考慮如下受控自回歸(controlled autoregressive,CAR)模型：

A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k-h)+ξ(k)

(1)

式中：u(k)為白噪聲；ξ(k)和y(k)分別為系統(tǒng)的輸入輸出；h為已知數(shù)，且

式中：na、nb為結(jié)構(gòu)參數(shù)并已知。

參數(shù)估計(jì)的任務(wù)是根據(jù)可測量的輸入和輸出，確定如下na+nb+1個(gè)參數(shù)：

a1,a2,…ana;b0,b1,b2,…,bnb

對(duì)式(1)寫成如下最小二乘法格式：

y(k)=-a1y(k-1)-…-anay(k-na)+b0u(k-d)+…+bnbu(k-d-nb)+ξ(k)=φT(k)θ+ξ(k)

式中：φ(k)為數(shù)據(jù)向量；θ為待估參數(shù)向量，且：

(2)

式中：

設(shè)k時(shí)刻最小二乘估計(jì)為

(3)

式中：

φ(k)φT(k)]-1=[P-1(k-1)+φ(k)φT(k)]-1

則:P-1(k)=P-1(k-1)+φ(k)φT(k)

(4)

(5)

則由式(4)和式(5)可得：

于是k時(shí)刻的最小二乘估計(jì)可表示為

(6)

式中：

K(k)=P(k)φ(k)

(7)

根據(jù)矩陣求逆原理，設(shè)A、(A+BC)和(I+CA-1B)均為非奇異方陣，則

(A+BC)-1=A-1-A-1B(I+CA-1B)-1CA-1

(8)

令A(yù)=P-1(k-1)、B=φ(k)、C=φT(k)，得

P(k)=P(k-1)-P(k-1)φ(k)[1+φ(k)P(k-1)φ(k)]-1φT(k)P(k-1)

(9)

將式(9)帶入式(7)，可得：

K(k)=P(k-1)φ(k)-

(10)

由式(9)和式(10)可得：

P(k)=[I-K(k)φT(k)]P(k-1)

(11)

(12)

2 輸入信號(hào)的選擇

如果建立的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)選擇正確，則模型參數(shù)辨識(shí)的精度好壞將直接依賴于系統(tǒng)輸入信號(hào)，因此選用合理的輸入信號(hào)是保證能否獲得理想的辨識(shí)結(jié)果的關(guān)鍵因素之一。通過理論分析表明，選用白噪聲作為辨識(shí)輸入信號(hào)可以獲得較好的辨識(shí)結(jié)果，但這在工程上幾乎不易實(shí)現(xiàn)，因?yàn)閷?shí)際工業(yè)設(shè)備不可能按白噪聲的變化規(guī)律動(dòng)作。采用近似白噪聲的逆M序列代替白噪聲信號(hào)。

2.1 M序列定義

設(shè)有一個(gè)無限長的二元序列x1,x2, …,xp,xp+1，各元素間存在下列關(guān)系：

xi=a1xi-1⊕a2xi-2⊕…⊕apxi-p

式中：i=p+1,p+2,…；系數(shù)a1,a2,…,ap-1取值為0或1；系數(shù)ap總為1；⊕為異或運(yùn)算符。

只要適當(dāng)選擇系數(shù)a1,a2,…,ap-1，就可以使序列以(2p-1)bit的最長周期循環(huán)，這種具有最長循環(huán)周期的二元序列稱為M序列。

M序列它具有近似白噪聲的性質(zhì)，是一種很好的系統(tǒng)辨識(shí)輸入信號(hào)。其主要性質(zhì)有：

1)均衡性。在M序列一個(gè)周期中，1的個(gè)數(shù)比0的個(gè)數(shù)要多1位，這表明該序列平均值很小。

2)M序列有良好的自相關(guān)性。

3)M序列發(fā)生器中移位寄存器的各種狀態(tài)，除了全0狀態(tài)外，其他狀態(tài)只在M序列中出現(xiàn)一次。

2.2 逆M序列

由譜分析表明，M序列通常含有直流成分，可能會(huì)造成辨識(shí)系統(tǒng)的“凈擾動(dòng)”，這通常是我們不希望的。而逆M序列可以克服這一缺點(diǎn)，是一種比M序列更為理想的偽隨機(jī)碼序列。

設(shè)M(k)是周期為Npbit、元素取值為0或1的M序列，S(k)是周期為2bit、元素依次取值為0或1的方波序列，將這兩個(gè)序列按位進(jìn)行異或運(yùn)算，得到的復(fù)合序列就是周期為bit、元素取值為0或1的逆M序列，記作{IM(k)}，即有：

{IM(k)}={M(k)}⊕{S(k)}

將上述逆M序列的邏輯值“0”或“1”分別換為-1或1，此時(shí)逆M序列均值為0。

雖然逆M序列是M序列與方波序列簡單復(fù)合的結(jié)果，但其性質(zhì)卻優(yōu)于M序列，使它在辨識(shí)領(lǐng)域中有著更加廣泛的應(yīng)用。

3 仿真與分析

已知有如下三階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型：

(13)

需要辨識(shí)的系統(tǒng)參數(shù)有2、50、100、10。取采樣時(shí)間為0.1 s，采用后向差分法即：

(14)

由式(13)和式(14)可以得出：

(15)

將式(15)寫成CAR形式：

(16)

這里模擬采集數(shù)據(jù)時(shí)有白噪聲的誤差干擾，因此將式(16)修正為

(17)

式中：ξ(k)為方差為1的白噪聲；u(k)為取值為1，-1的逆M序列。

這里只要辨識(shí)出-39/18、16/9、-5/9、1/180就可以由式(15)反推出三階系統(tǒng)中的各個(gè)參數(shù)。式(17)中參數(shù)辨識(shí)的精度可以反映式(13)中參數(shù)的精度。對(duì)式(17)編寫最小遞推最小二乘算法，其辨識(shí)結(jié)果如表1。

表1 參數(shù)辨識(shí)結(jié)果Table 1 Parameter identification results

從表1可以看出，前面3個(gè)參數(shù)的估計(jì)相對(duì)誤差都在0.2%以內(nèi)，而最后一個(gè)參數(shù)由于本身數(shù)值特別小，但通過遞推最小二乘法可以準(zhǔn)確估算到千分位，相對(duì)誤差也控制在4%以內(nèi)。并且隨著所取數(shù)據(jù)的不斷增大，系統(tǒng)辨識(shí)的結(jié)果也會(huì)隨之改善。這就是遞推最小二乘法的一個(gè)優(yōu)勢，可以根據(jù)不斷更新的數(shù)據(jù)，對(duì)前面所辨識(shí)的結(jié)果進(jìn)行改善，使得辨識(shí)的結(jié)果更加接近真實(shí)值。

本次仿真采集10 000組數(shù)據(jù)，如圖1，可以觀測各個(gè)參數(shù)辨識(shí)的變化曲線，其中a1為-39/18的估計(jì)曲線、a2為16/19的估計(jì)曲線、a3為-5/9的估計(jì)曲線、b0為1/180的估計(jì)曲線、k為仿真步長。

綜上可以得出，遞推最小二乘法可以準(zhǔn)確辨識(shí)出參數(shù)，辨識(shí)結(jié)果也比較理想。

圖1 各估計(jì)參數(shù)的實(shí)時(shí)變化Fig. 1 Real-time changes of the estimated parameters

4 應(yīng)用與推廣

轉(zhuǎn)向系統(tǒng)模型如式(18)：

(18)

式中：J是等效到小齒輪上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；b是等效到小齒輪上的阻尼；km是等效到小齒輪上的剛度；kI是力矩系數(shù)；im是小齒輪傳動(dòng)比；θ是方向盤轉(zhuǎn)角；i(t)是電機(jī)電流。

對(duì)式(14)進(jìn)行拉普拉斯變換可得到轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

(19)

這里采用后向差分法對(duì)式(15)進(jìn)行離散化處理，取采樣時(shí)間為0.1 s，則有：

其中：

(20)

從而可以得到離散系統(tǒng)的表達(dá)式為

(21)

這里給電機(jī)輸入電壓為±4.8 V的逆M序列，i(k)為系統(tǒng)的輸入電流由驅(qū)動(dòng)板采集，輸出轉(zhuǎn)角用博世傳感器進(jìn)行采集。實(shí)驗(yàn)基本框圖如圖2。

圖2 實(shí)驗(yàn)基本框圖Fig. 2 Basic block diagram of the experiment

在MATLAB/Simulink軟件搭建電機(jī)驅(qū)動(dòng)模型，并由dspace提供程序編譯環(huán)境，通過MicroAutoBox硬件輸出PWM波來控制驅(qū)動(dòng)板中4個(gè)功率晶體管的通斷，來實(shí)現(xiàn)電機(jī)的調(diào)速功能，利用博世轉(zhuǎn)角傳感器對(duì)方向盤的轉(zhuǎn)角進(jìn)行采集，由于該角度傳感器只接受ID為550 h的十六進(jìn)制CAN報(bào)文，需要對(duì)采集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行破譯，這里可以利用dspace自帶的ControlDesk軟件用來記錄數(shù)據(jù)，此時(shí)記錄的數(shù)據(jù)是十進(jìn)制的，不用在破譯。實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖3。

圖3 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig. 3 Experimental platform

運(yùn)行模型并用ControlDesk記錄博世角度傳感器采集的轉(zhuǎn)角數(shù)據(jù)，根據(jù)采集的輸出轉(zhuǎn)角及輸入電流，編寫遞推最小二乘法算法，實(shí)驗(yàn)過程時(shí)，各參數(shù)的變化收斂如圖4，辨識(shí)結(jié)果為表2。

通過圖4可以實(shí)時(shí)在線觀測各參數(shù)的變化過程，也可以看出，遞推最小二乘法的收斂速度比較快，在k=500時(shí)，各個(gè)參數(shù)已趨于穩(wěn)定。

式(18)中小齒輪傳動(dòng)比im=18.75，用電機(jī)型式試驗(yàn)自動(dòng)測試系統(tǒng)測得電機(jī)的力矩系數(shù)kI=0.056 3，因此將參數(shù)估計(jì)值帶入式(20)可以解出轉(zhuǎn)向系統(tǒng)參數(shù)如表3。

圖4 各參數(shù)的變化收斂過程Fig. 4 Convergence process of each parameter change

參數(shù)c/bd/ba/b參數(shù)估計(jì)值-1.425 90.540 20.044 1

表3 轉(zhuǎn)向系統(tǒng)參數(shù)Table 3 Steering system parameters

因此轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的模型為

(22)

對(duì)辨識(shí)的參數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證，驗(yàn)證結(jié)果如圖5。

圖5 實(shí)際轉(zhuǎn)角與仿真轉(zhuǎn)角的對(duì)比Fig. 5 Comparison of actual corner and simulated corner

通過圖5可以看出，傳感器采集的實(shí)際轉(zhuǎn)角與通過辨識(shí)出來的參數(shù)的轉(zhuǎn)向系統(tǒng)模型仿真出的轉(zhuǎn)角非常相近，對(duì)辨識(shí)出的參數(shù)結(jié)果滿意。

5 結(jié) 語

根據(jù)表1仿真的結(jié)果表明，遞推最小二乘法可以快速準(zhǔn)確的識(shí)別參數(shù)，參數(shù)辨識(shí)的精度也令人滿意。且在很多自適應(yīng)控制系統(tǒng)中，被控對(duì)象通常都在不斷提供新的輸入輸出數(shù)據(jù)，而且希望能夠利用這些新信息來繼續(xù)改善參數(shù)估計(jì)的精度，遞推最小二乘法的在線實(shí)時(shí)估計(jì)能夠很好的解決這個(gè)問題。

筆者還將該算法應(yīng)用到了汽車轉(zhuǎn)向系統(tǒng)上，辨識(shí)出了轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、等效阻尼系數(shù)、等效剛度，并對(duì)辨識(shí)出的參數(shù)進(jìn)行了驗(yàn)證，通過圖5可以看出驗(yàn)證結(jié)果理想。此理論對(duì)未知系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)的研究具有重大意義。