從問題討論走向教學(xué)研究
——方向角和方位角的是非曲直

☉甘肅省山丹縣山丹育才中學(xué) 脫文林

一、問題聚焦

圖1

近日，在張掖市初中數(shù)學(xué)教師的一個(gè)微信交流平臺有過下面一段討論：

例1（人教版初一數(shù)學(xué)）在如圖1所示的方位角中，射線OA表示的方向是（ ）.

A.東偏南30° B.南偏東60°

C.西偏南30° D.南偏西60°

TeacherZhang：大家?guī)兔聪逻@道題的A、B選項(xiàng).

TeacherYu：南偏東60度.

TeacherHua：南偏東60度，地理位置以正北、正南為基準(zhǔn)！小學(xué)六年級時(shí)選A、B都對！

TeacherChao：標(biāo)有30度角，顯然A最合適，六年級時(shí)學(xué)的，當(dāng)然在多選題中B也正確.

TeacherFen：@TeacherZhang這個(gè)問題的表述首先不嚴(yán)謹(jǐn)，方向角與方位角是兩個(gè)概念，這應(yīng)該是針對方向角的.現(xiàn)行教材中小學(xué)與中學(xué)脫節(jié)，小學(xué)要求低，A的說法也對，只要學(xué)生能清楚描述一個(gè)方向就行，但A的描述不規(guī)范，我支持TeacherHua的意見.

TeacherLin：方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達(dá)成北（南）偏東（西）×××度.方位角指從標(biāo)準(zhǔn)方向的北端起，順時(shí)針方向到直線的水平角稱為該直線的方位角，方位角的取值范圍為0°～360°.

在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，多數(shù)教師認(rèn)為“方向角”和“方位角”是一回事，即平面內(nèi)用方向來表示目標(biāo)相對于參照點(diǎn)的位置.隨著討論深入，大家的思路從問題解析走向概念辨析，解釋了方向角、方位角的不同，討論還在繼續(xù).方向角與方位角之間的關(guān)系到底是什么？為什么小學(xué)與中學(xué)對“表示方向”的表述不同？為什么中學(xué)教材在方向角與方位角問題上閃爍其詞？這些問題都有必要思考和考證.

二、權(quán)威考證

《中學(xué)幾何辭典》中的解釋：

方向角：指北或南方向與目標(biāo)方向線所構(gòu)成的小于90°的水平角.

方位角：從某點(diǎn)的指北方向按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角.

《簡明數(shù)學(xué)辭典》中的解釋，引自笛卡兒《更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法論》：

方向角：平面直線的方向角是指該直線與x軸正方向所構(gòu)成的最小正角或零.空間直線的方向角是指該直線與三個(gè)坐標(biāo)軸正方向所構(gòu)成的正角.如果沒有指定空間直線的方向，則有兩組方向角，分別對應(yīng)直線的兩個(gè)不同指向.

方位角：一條直線或一個(gè)天體所在的垂直平面與子午面之間的夾角.

“科普中國”科學(xué)百科詞條，引自《數(shù)學(xué)辭?！返?卷（南京：東南大學(xué)出版社，2002）：

方向角【directionangle】，指的是采用某坐標(biāo)軸方向作為標(biāo)準(zhǔn)方向所確定的方位角.方向角是從正北或正南方向到目標(biāo)方向所形成的小于90°的角.通常表達(dá)成北（南）偏東（西）××度，若正好為45度，則表示為東南（北）方向或西南（北）方向.

方位角又稱地平經(jīng)度【Azimuth（angle），縮寫是Az】，是在平面上量度物體之間的角度差的方法之一.是從某點(diǎn)的指北方向線起，依順時(shí)針方向到目標(biāo)方向線之間的水平夾角.由于每點(diǎn)都有真北、磁北和坐標(biāo)縱線北三種不同的指北方向線，因此，從某點(diǎn)到某一目標(biāo)，就有三種不同方位角，真方位角，磁方位角，坐標(biāo)方位角.

三、明晰關(guān)系

通過考證，“方向角”和“方位角”都是在參照點(diǎn)的基礎(chǔ)上，用基準(zhǔn)線與目標(biāo)線的夾角描述平面位置的方法，但它們描述的方法不同，是兩個(gè)不同的數(shù)學(xué)概念.方向角乃一平面角，系一直線與南或北方向線所夾的銳角，是用來標(biāo)出兩點(diǎn)方位的方法之一.與方位角不同者，方向角系分由南、北起算，角度值在0°至90°之間，方向角之表示方式乃是在角度值之前冠以南、北字樣，其后則書出東、西字樣.方位角指從標(biāo)準(zhǔn)方向的北端起，順時(shí)針方向轉(zhuǎn)到直線的水平角，它的取值范圍為0°～360°.

四、小學(xué)教材教錯了嗎？

學(xué)生對圖形與位置的認(rèn)知，起始于三年級下冊第一單元位置與方向（一），要求學(xué)生結(jié)合具體情境，給定四個(gè)方向中的一個(gè)方向，能辨認(rèn)其余三個(gè)方向，知道東北、西北、東南、西南四個(gè)方向，能看懂簡單的平面圖，初步形成辨認(rèn)方向、表達(dá)與交流物體所在方向的能力.六年級上冊第二單元位置與方向（二），提高了要求，能根據(jù)物體相對于參照點(diǎn)的方向和距離確定其位置，會描述簡單的路線圖，學(xué)會通過方向和距離表示平面位置的方法，初步感受坐標(biāo)法的思想.

三年級下冊位置與方向（一）

圖2

六年級上冊位置與方向（二）

圖3

課標(biāo)的要求、教材的編寫，讓我們感受到了伴隨學(xué)生的成長，“知識呈現(xiàn)螺旋式上升”的顯著特點(diǎn).小學(xué)低段能辨認(rèn)東、西、南、北、東北、西北、東南、西南八個(gè)方向，小學(xué)高段能根據(jù)任意物體相對于參照點(diǎn)的方向和距離確定其位置，在上圖人教版六年級上冊教材給出了“東偏南30°”的表述，同一方向在七年級教材中被規(guī)定描述為“南偏東60°”，并且強(qiáng)調(diào)“以正北、正南為基準(zhǔn)，描述物體運(yùn)動方向”，那么小學(xué)教材寫錯了嗎？

我們的教學(xué)活動必須從學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)出發(fā)，小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維以形象思維為主，到了初中階段開始向抽象思維過渡，小學(xué)與中學(xué)因?qū)W生認(rèn)知水平不同，教學(xué)要求也就不同，小學(xué)強(qiáng)調(diào)學(xué)生能直觀、準(zhǔn)確描述一個(gè)方向就行，不必過于計(jì)較“東偏南30°”與“南偏東60°”.但到了中學(xué)階段，對方向角的描述要符合學(xué)科表達(dá)規(guī)范，強(qiáng)調(diào)了“以正北、正南方向?yàn)榛鶞?zhǔn)”，這不是嚴(yán)格意義上的知識矛盾，是隨著學(xué)生認(rèn)知發(fā)展知識逐步完備的過程.

五、初中教材之體現(xiàn)

人教版教材七年級上冊第四章“幾何圖形”中4.3.3“余角與補(bǔ)角”一節(jié)內(nèi)容的編排中，涉及方向角的內(nèi)容僅為一個(gè)例題，如下：

例2 如圖4，貨輪O在航行過程中，發(fā)現(xiàn)燈塔A在它南偏東60°方向上.同時(shí)在它北偏東40°、南偏西10°、西北（即北偏西45°）方向上分別發(fā)現(xiàn)了客輪B、貨輪C和海島D.依照表示燈塔方位的方法，畫出表示客輪B、貨輪C和海島D方向的射線.

圖4

圖5

本題旨在進(jìn)一步滲透極坐標(biāo)思想.七年級下冊第十一章“平面直角坐標(biāo)系”中7.2.1“用坐標(biāo)表示地理位置”一節(jié)內(nèi)容強(qiáng)調(diào)“一般地，可以建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示地理位置.此外，還可以用方向和距離表示平面內(nèi)物體的位置.”《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對初中階段圖形與坐標(biāo)的具體要求是：結(jié)合豐富的實(shí)例進(jìn)一步體會用有序數(shù)對可以表示物體的位置，在實(shí)際問題中，能建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，描述物體的位置.可見，方向角在淡出初中階段確定位置的學(xué)習(xí)，由于平面直角坐標(biāo)系的引入，初中教學(xué)更著重于用坐標(biāo)表示地理位置.

人教版初中數(shù)學(xué)教材中始終沒有“方向角”的說法，但2004年6月第一版七年級上冊教材，提到了“表示方向的角（方位角）”，后來2012年6月第一版又刪除了“方位角”的字樣，教材前后的這種細(xì)微變化，從有“方位角”一說到今天的忽略，是回避方向角與方位角之爭？還是暗示方向角與方位角本質(zhì)上的相容相通？

2004年6月第一版

圖6

2012年6月第一版

圖7

“科普中國”科學(xué)百科對“方向角”的解釋“指的是采用某坐標(biāo)軸方向作為標(biāo)準(zhǔn)方向所確定的方位角”，充分說明了方向角與方位角的從屬關(guān)系.方向角與方位角的爭與不爭，爭在于概念的清晰界定、規(guī)范的數(shù)學(xué)表達(dá)，不爭在于概念的發(fā)展演變過程、使用范圍及其本質(zhì)的關(guān)聯(lián).教材不經(jīng)意的回避，意在淡化概念，指向“不必過分追究”，實(shí)則引發(fā)更加激烈的爭論，這一點(diǎn)應(yīng)該是教材編者沒有充分預(yù)料到的.

六.百家之言

通過微信平臺的討論，方向角和方位角的是非曲直大家已了然于心，平臺上教師們的討論仍在繼續(xù)，更具個(gè)性化的思考展現(xiàn)了教師們從問題探討到教學(xué)研究后獲得的愉悅感.

TeacherHong：方向角以正東、南、西、北方向?yàn)榛鶞?zhǔn)，偏的度數(shù)小于45°度，對學(xué)生來說更有方向感.比如，如“東偏北20°”，比“北偏東70°”更恰當(dāng)，都70°了還偏，似乎偏太多了.

TeacherKai：如果只說方位，不說方位角，就避免這樣的問題了！

TeacherFen：伴隨學(xué)生認(rèn)知發(fā)展，知識體系逐步完整，我們從學(xué)生知識體系看，也能發(fā)現(xiàn)一些教材前后要求不同的端倪.小學(xué)階段學(xué)生對余角與補(bǔ)角的認(rèn)識停留在感知層次，因此有了“東偏南”等直觀解釋，七年級對這一點(diǎn)進(jìn)行了規(guī)范要求.

TeacherChen：小學(xué)學(xué)習(xí)主要是從認(rèn)知開始，教材的編寫是逐步螺旋上升的，初中后就要逐步規(guī)范數(shù)學(xué)語言，形成更強(qiáng)的數(shù)學(xué)邏輯思維！

TeacherLong：受知識基礎(chǔ)的制約，初中階段學(xué)生認(rèn)識的角主要是小于平角的，這達(dá)不到方位角的要求，因此才產(chǎn)生方向角的補(bǔ)充概念，真相是這樣嗎？

TeacherFen：我們使用的教材也在逐步完善，現(xiàn)在的忽略是為了降低學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷，但教師還是應(yīng)該弄清楚真相.

…………

裴光亞老師在《數(shù)學(xué)教師的特有語言與個(gè)性特征》一文中指出，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們常對一些概念“不做嚴(yán)格的定義”，或者“避免抽象地對它們下定義”.為了有效實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)，我們必須正視教學(xué)中的課程內(nèi)容與學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的矛盾，當(dāng)學(xué)生的理解力不適應(yīng)數(shù)學(xué)的抽象性時(shí)，我們應(yīng)該怎么辦？如果我們無視矛盾的存在，學(xué)生失去的將不僅僅是對相關(guān)內(nèi)容的理解，還有對數(shù)學(xué)的感受、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愿望，同時(shí)失去了達(dá)成各種目標(biāo)的可能性，這是非?？膳碌?，正是在這樣的兩難選擇中，我們站在了人本立場上，維護(hù)學(xué)生的天性，而暫時(shí)犧牲數(shù)學(xué)的抽象性.