模型思想教學(xué)：在不同情境中建構(gòu)與感悟
——基于一道例題變式教學(xué)的感悟

☉江蘇省宿遷市實(shí)驗(yàn)學(xué)校 張 誠(chéng)

數(shù)學(xué)模型是學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的重要工具.在初中階段，幫助學(xué)生感悟模型思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù).與其他數(shù)學(xué)思想一樣，模型思想同樣是“蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)的形成、發(fā)展和應(yīng)用過(guò)程之中”.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)把握住數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展與應(yīng)用的每一個(gè)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生體會(huì)和感悟數(shù)學(xué)模型的價(jià)值.在近期的一次教學(xué)研討活動(dòng)中，筆者就依托一幅圖建構(gòu)了多個(gè)不同的問(wèn)題情境，讓學(xué)生反復(fù)經(jīng)歷建構(gòu)與求解模型的過(guò)程，對(duì)學(xué)生感悟“共邊直角三角形”這一常見數(shù)學(xué)模型起到了很好的推動(dòng)作用.現(xiàn)呈現(xiàn)其中的片段，并談一些感悟，希望能給您帶來(lái)啟示.

一、教學(xué)片段簡(jiǎn)述

1.例題探索

教師投影例1，并請(qǐng)學(xué)生自主探索解題思路.大約3分鐘后，教師組織全班交流.

例1如圖1，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=8，求AB.

師：請(qǐng)一名同學(xué)說(shuō)說(shuō)解題的思路.

圖1

圖2

生1：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D（如圖2），再在Rt△ADC和Rt△BDC中分別求出AD和BD，就可以求出AB的長(zhǎng)了.

師：非常棒！你是怎么想到過(guò)點(diǎn)C作垂線段CD的？

生2：題目給出了“∠A=30°，∠B=45°”，作垂線段CD，就可以將這兩個(gè)特殊度數(shù)的銳角都放到直角三角形中去.

師：太好了！通過(guò)一條垂線段，我們把一個(gè)看似復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成了解“兩個(gè)共邊直角三角形”的問(wèn)題.接下來(lái)，請(qǐng)大家自己試著求一求AB.

（學(xué)生自主解答，教師找出存在問(wèn)題的過(guò)程并進(jìn)行了展示與點(diǎn)評(píng)，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了“‘共邊直角三角形’是化解很多與三角形相關(guān)的問(wèn)題的基本模型”）

2.變式訓(xùn)練

教師首先投影例2（變式題1），并要求學(xué)生讀題、思考，尋求解決問(wèn)題的方法.

例2A、B、C三個(gè)村莊在地圖上的位置如圖1所示，已知∠A=30°，∠B=45°，A、C兩村相距8km.求B、C兩村之間的距離.

兩分鐘后，教師組織學(xué)生交流解題思路.

師：如何求B、C兩村之間的距離？

生3：和剛才的例1一樣，還是過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D，將∠A和∠B放到兩個(gè)直角三角形中先求出CD，然后在Rt△BCD中可以求出BC的長(zhǎng).

師：很好！CD這條垂線段起到的作用與例1相同嗎？

生4：相同.事實(shí)上，這個(gè)題目只是給前面的例1套上了一個(gè)生活情境.解題時(shí)，直接從生活情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題“如圖1，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=8，求BC”，這與例1實(shí)際上是差不多的.

師：你的觀察與分析非常仔細(xì).看來(lái)，例1中的“共邊直角三角形”在例2這種實(shí)際問(wèn)題中也能發(fā)揮作用！在下面的問(wèn)題中，還需要建構(gòu)這種“共邊直角三角形”嗎？

教師投影例3（變式題2）.

圖3

例3如圖3，海面上有一輪船，從A處測(cè)得海島C在其北偏東60°方向上，當(dāng)輪船航行到A處正東方向100海里的B處時(shí)，測(cè)得海島C在其西北方向上.此時(shí)輪船距離海島C有多遠(yuǎn)？

在學(xué)生讀題、思考后，教師組織交流.

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)這道題的思路？

生5：我覺得解法和上面的兩道例題差不多.

師：具體說(shuō)說(shuō).

生6：和例2一樣，這也是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題.我們可以將其抽象為：“如圖3，在△ABC中，∠CAB=30°，∠CBA=45°，AB=100海里，求BC”.

師：真不錯(cuò)！你能在短時(shí)間內(nèi)將這么豐富的生活情境抽象為簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)情境，不簡(jiǎn)單.那接下來(lái)怎么求呢？

生7：和前面的例題一樣，還是過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D，將∠A和∠B放到兩個(gè)共邊直角三角形中.此時(shí)，BC=CD.只要能求出CD，就可以求出BC.師：那怎么求CD呢？生8：列方程求解.我們可以設(shè)CD=x海里，則AD=海里，BD=x海里.由AB=100海里，可得方程x+x=100.解這個(gè)方程就可以求出CD的長(zhǎng)了.

師：真不錯(cuò).看來(lái)，我們不僅可以通過(guò)解共邊直角三角形來(lái)求線段的長(zhǎng)，有時(shí)還可以通過(guò)方程模型求線段的長(zhǎng).請(qǐng)同學(xué)們自主解答例3，并在小組中交流各自的解題過(guò)程.

3.階段歸納

師：通過(guò)這一組例題的分析與解答，你們有哪些收獲？

生9：建構(gòu)共邊直角三角形是解決很多數(shù)學(xué)問(wèn)題的途徑.就算是實(shí)際問(wèn)題，我們也可以將其抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后利用共邊直角三角形解決.

生10：構(gòu)造共邊直角三角形的基本方法是作垂線段，而這條垂線段往往是兩個(gè)直角三角形所共有的邊.

生11：在應(yīng)用共邊直角三角形這一模型解決問(wèn)題時(shí)，有時(shí)可以直接計(jì)算得到結(jié)果，有時(shí)可以借助方程模型來(lái)求解.

…………

在學(xué)生陳述過(guò)程中，教師適時(shí)板書，最終形成如下網(wǎng)絡(luò)圖：

圖4

4.跟進(jìn)思考

圖5

師：如圖5，將上面例1中的圖逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到圖5，你能給它創(chuàng)設(shè)一個(gè)生活情境嗎？大家課后試一試，并嘗試給出解決問(wèn)題的思路和過(guò)程.學(xué)生畫圖并記錄教師提出的問(wèn)題.

二、片段簡(jiǎn)析

本節(jié)課中，模型思想的教學(xué)是從例1開始的，這是一道簡(jiǎn)單的幾何題，對(duì)于這類純數(shù)學(xué)情境的問(wèn)題，在前面的學(xué)習(xí)中學(xué)生已經(jīng)積累了解決的經(jīng)驗(yàn).因而，在探索這道例題的解法時(shí)，僅通過(guò)簡(jiǎn)單的對(duì)話與交流，學(xué)生便給出了思路及過(guò)程.在建構(gòu)輔助線和呈現(xiàn)解題過(guò)程時(shí)，非常順利地喚醒了學(xué)生應(yīng)用“共邊直角三角形”解題的經(jīng)驗(yàn)，為進(jìn)一步感悟模型思想夯實(shí)了基礎(chǔ).接下來(lái)的例2和例3是例1中的圖形的再應(yīng)用，教者給圖1設(shè)計(jì)了遞進(jìn)式的生活情境，將“作垂線段，建構(gòu)共邊直角三角形，計(jì)算或列方程求解”的一般思路蘊(yùn)含在兩道例題中，學(xué)生在情境抽象與思路探索中，反復(fù)感知到“共邊直角三角形”這一模型的應(yīng)用價(jià)值，并進(jìn)一步體會(huì)到不同數(shù)學(xué)模型間的聯(lián)系.這樣的教學(xué)歷程，學(xué)生會(huì)隨著對(duì)這一數(shù)學(xué)模型的反復(fù)抽象和應(yīng)用，不斷被強(qiáng)化和鞏固，這對(duì)他們深入體會(huì)模型思想的應(yīng)用價(jià)值有著十分重要的意義.

三、幾點(diǎn)感悟

1.解答原型問(wèn)題，經(jīng)歷建模過(guò)程

數(shù)學(xué)模型蘊(yùn)藏于數(shù)學(xué)知識(shí)的形成、發(fā)展和應(yīng)用過(guò)程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象和概括.因而，數(shù)學(xué)模型的教學(xué)不僅要緊扣數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，還要特別注重讓學(xué)生從數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用過(guò)程中加以體驗(yàn)，尤其是對(duì)原始數(shù)學(xué)問(wèn)題的深度探索對(duì)學(xué)生感知與應(yīng)用數(shù)學(xué)模型是最為重要的.事實(shí)證明，只有通過(guò)這種反復(fù)的建構(gòu)與應(yīng)用，學(xué)生才能真正感悟到數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用路徑和實(shí)際價(jià)值，從而使之逐步固化到學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，成為充分遺忘后最后留下來(lái)的數(shù)學(xué)知識(shí).以本文中的教學(xué)片段為例，例1是蘊(yùn)含“共邊直角三角形”模型的原始數(shù)學(xué)問(wèn)題.教學(xué)時(shí)，教師特別注重對(duì)例1的教學(xué)，先后安排了自主探索、思路分享、模型抽象、展示點(diǎn)評(píng)、方法歸納等活動(dòng)，讓學(xué)生在此過(guò)程中體會(huì)模型的抽象、建構(gòu)和應(yīng)用過(guò)程，這樣的設(shè)計(jì)與實(shí)施無(wú)疑為學(xué)生更進(jìn)一步感悟模型思想夯實(shí)了基礎(chǔ)、積累了經(jīng)驗(yàn).

2.遞進(jìn)變式探索，強(qiáng)化應(yīng)用體驗(yàn)

數(shù)學(xué)模型教學(xué)，從原型問(wèn)題中獲得模型僅僅是開端.為了讓學(xué)生真正認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)模型的價(jià)值，在實(shí)際教學(xué)時(shí)，我們應(yīng)創(chuàng)設(shè)不同的問(wèn)題情境，讓學(xué)生反復(fù)經(jīng)歷包含同一模型的不同數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解過(guò)程，從而真正體會(huì)到數(shù)學(xué)模型具有廣泛的應(yīng)用性.在設(shè)計(jì)這些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們應(yīng)努力讓這些問(wèn)題之間具有明顯的遞進(jìn)關(guān)系；在教學(xué)這些問(wèn)題時(shí)，要由易到難逐步呈現(xiàn)這些問(wèn)題，并通過(guò)這種遞進(jìn)變式的不斷探索，不斷加深學(xué)生對(duì)課時(shí)模型的認(rèn)知.顯然，本文中所述片段，正是基于這一理念之上的精巧設(shè)計(jì)，三道例題都包含了“共邊直角三角形”這一數(shù)學(xué)模型.教師在教學(xué)時(shí)，將三題逐一呈現(xiàn)，使學(xué)生在反復(fù)建構(gòu)和應(yīng)用“共邊直角三角形”模型過(guò)程中，不斷加深對(duì)這一模型的認(rèn)識(shí)，及其在解決與三角形相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題時(shí)的價(jià)值.在本節(jié)課的最后，筆者還安排了學(xué)生跟進(jìn)思考：給由圖1變換所得的圖5賦予一個(gè)生活情境并解答.顯然，這樣的要求明顯高于上述三題，具有明顯的遞進(jìn)性，學(xué)生在課后分析與解答時(shí)完全可以借助本節(jié)課所獲得的模型和解題的經(jīng)驗(yàn).

3.注重網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)，實(shí)現(xiàn)思想滲透

數(shù)學(xué)教學(xué)，知識(shí)的結(jié)構(gòu)化是一項(xiàng)較為重要的任務(wù).數(shù)學(xué)模型教學(xué)，同樣應(yīng)注重知識(shí)體系的建構(gòu).教學(xué)數(shù)學(xué)模型，課時(shí)模型固然應(yīng)成為課時(shí)教學(xué)的重點(diǎn)，但我們絕不能只關(guān)注到課時(shí)模型這一單體模型的教學(xué)，而應(yīng)將建構(gòu)與課時(shí)模型相關(guān)的模型網(wǎng)絡(luò)作為本節(jié)課的重要任務(wù).在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)時(shí)刻做好與課時(shí)模型相關(guān)聯(lián)的知識(shí)的呈現(xiàn)與板書，在學(xué)生深入體會(huì)到課時(shí)模型與相關(guān)模型的聯(lián)系后，通過(guò)箭頭、方框等符號(hào)將其鏈接起來(lái).在本節(jié)課上，筆者所述的這些做法都得到了很好的體現(xiàn).在環(huán)節(jié)1“例題探索”中，筆者基于學(xué)生構(gòu)造的輔助線和模型在黑板上板書了網(wǎng)絡(luò)圖（如圖4）中的“數(shù)學(xué)問(wèn)題”“作垂線段”“轉(zhuǎn)化”“共邊直角三角形”等詞語(yǔ)及后兩個(gè)方框之間的箭頭；在環(huán)節(jié)2“變式訓(xùn)練”中，由于例2和例3都是實(shí)際問(wèn)題，解答時(shí)需要先抽象后建模，因而，我又板書了“實(shí)際問(wèn)題”“抽象”和前兩個(gè)方框之間的箭頭；在環(huán)節(jié)3中，將“直接計(jì)算或列方程求解”及其上面由方框1到方框3的箭頭畫出.隨著知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖的逐漸完善，學(xué)生的認(rèn)知會(huì)與教學(xué)過(guò)程同步，對(duì)知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)化是十分有利的.