中考數(shù)學(xué)試題中數(shù)學(xué)史內(nèi)容的分析

☉太原師范學(xué)院附屬中學(xué) 薛 華

☉太原師范學(xué)院教師教育學(xué)院 劉 凱

☉太原師范學(xué)院教師教育學(xué)院 陳夢(mèng)瑤

一、引言

我國(guó)教育部制定的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》要求數(shù)學(xué)教材要適時(shí)地介紹數(shù)學(xué)發(fā)展史的相關(guān)材料，用以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，因此筆者對(duì)初中數(shù)學(xué)教材中融入的數(shù)學(xué)史內(nèi)容做了詳細(xì)的分析.該課程標(biāo)準(zhǔn)中還要求“評(píng)價(jià)應(yīng)以課程目標(biāo)和課程內(nèi)容為依據(jù)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程的基本理念，全面評(píng)價(jià)學(xué)生的知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問(wèn)題解決和情感態(tài)度等方面的表現(xiàn)”，而且“試題的改編是指對(duì)已有試題的數(shù)據(jù)、面貌、內(nèi)涵等方面進(jìn)行合理改造，進(jìn)而得到所需試題的過(guò)程，一個(gè)推陳出新的過(guò)程”.這么多年來(lái)，中考試題的編制是怎樣推陳出新的？其作為重要的評(píng)價(jià)方式，又是怎樣利用數(shù)學(xué)史實(shí)現(xiàn)對(duì)相應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)的考查，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)思考、問(wèn)題解決及情感態(tài)度的考查的？本文選取2017年各地區(qū)的中考試題為研究對(duì)象，對(duì)其中滲透的數(shù)學(xué)史內(nèi)容做分析，特別關(guān)注考查的數(shù)學(xué)史內(nèi)容和數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)史內(nèi)容的關(guān)聯(lián)，以期為初中數(shù)學(xué)教學(xué)、中考試題的編制提供一些參考.

二、2017年中考數(shù)學(xué)試題的統(tǒng)計(jì)分析

汪曉勤教授將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教材分為五類(lèi)：（1）點(diǎn)綴式，即圖片；（2）附加式，即閱讀性材料；（3）復(fù)制式，即古代數(shù)學(xué)問(wèn)題的直接引用；（4）順應(yīng)式，即在正文將數(shù)學(xué)問(wèn)題改編為符合學(xué)情的問(wèn)題；（5）重構(gòu)式，即正文各部分融入數(shù)學(xué)史，數(shù)學(xué)史料經(jīng)過(guò)加工變成易于學(xué)生理解的知識(shí)，是最高水平的融入.據(jù)此，本文選取2017年26個(gè)地區(qū)的中考試題，對(duì)其中涉及的數(shù)學(xué)史內(nèi)容做統(tǒng)計(jì)分析，設(shè)置的統(tǒng)計(jì)類(lèi)別有中考題的來(lái)源地區(qū)、題型及題次、考查知識(shí)領(lǐng)域、史料出處及內(nèi)容，最主要的是按照樣本中數(shù)學(xué)史具體的呈現(xiàn)方式歸為四大類(lèi)：一是史料的直接考查，即以史料為背景呈現(xiàn)考題；二是古今情境融合，即關(guān)注史料的現(xiàn)實(shí)情境設(shè)置考題；三是數(shù)學(xué)史料的重構(gòu)，即通過(guò)對(duì)史料的適度改變建構(gòu)考題；四是數(shù)學(xué)史與實(shí)用技術(shù)的融合，即沿襲我國(guó)古代數(shù)學(xué)重視與實(shí)用技術(shù)的融合而設(shè)置考題.具體呈現(xiàn)如表1：

表1 2017年中考數(shù)學(xué)試題中涉及數(shù)學(xué)史考題的統(tǒng)計(jì)

呈現(xiàn)形式 地區(qū) 題型及題次 考查知識(shí)領(lǐng)域 史料出處及內(nèi)容古今情境融合史料重構(gòu)與古代實(shí)用技術(shù)融合安徽 第16題，應(yīng)用題《九章算術(shù)》，盈不足數(shù)福州 第20題，應(yīng)用題 《孫子算經(jīng)》，雞兔同籠湘潭 第18題，應(yīng)用題長(zhǎng)沙 第11題，選擇 《算法統(tǒng)宗》，步行問(wèn)題遵義 第16題，填空 《算法統(tǒng)宗》，隔墻分銀問(wèn)題東營(yíng) 第16題，應(yīng)用題 圖形與幾何 《九章算術(shù)》，纏木七周問(wèn)題眉山 第15題，選擇 《九章算術(shù)》，井深幾何問(wèn)題寧波 第24題，證明題圖形與幾何數(shù)與代數(shù)《周髀算經(jīng)》，趙爽弦圖山西 第22題，證明題 《周髀算經(jīng)》，勾股數(shù)昆明 第13題，填空 對(duì)祖沖之研究π的精神的重構(gòu)呼和浩特 第16題，填空 統(tǒng)計(jì)與概率 《周髀算經(jīng)》，割圓術(shù)結(jié)合古代拱門(mén)第15題，填空 結(jié)合莊子思想蘭州 第25題，應(yīng)用題 結(jié)合蘭州中山橋張家界 第19題，證明題 結(jié)合銅像濟(jì)南 第5題，選擇 結(jié)合古代建筑窗格樂(lè)山 第7題，選擇圖形與幾何

三、2017年中考數(shù)學(xué)試題中數(shù)學(xué)史內(nèi)容分析

由上面的統(tǒng)計(jì)分析可知：考查的26個(gè)地區(qū)中涉及數(shù)學(xué)史的考題有29處，其中考查“數(shù)與代數(shù)”的有14處（占比48.3%）、考查“圖形與幾何”的有14處（占比48.3%）、考查“統(tǒng)計(jì)與概率”的有1處（占比3.4%）；其中選擇題10處（占比34.5%）、填空題11處（37.9%）、應(yīng)用題及證明題8處（占比27.6%）；從數(shù)學(xué)史內(nèi)容的四大呈現(xiàn)方式來(lái)看，史料的直接考查有13處（占比44.8%）、古今情境結(jié)合的有7處（24.1%）、對(duì)史料進(jìn)行重構(gòu)有4處（13.8%）、與古代實(shí)用技術(shù)相融合有5處（17.2%）.具體中考試題分析如下：

1.試題中對(duì)史料的直接考查

2017年中考試題中涉及數(shù)學(xué)史內(nèi)容的考題，以史料的直接考查來(lái)呈現(xiàn)的考題最多.這些試題都呈現(xiàn)了特定的數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的歷史，學(xué)生可直觀感受到數(shù)學(xué)史料，且陳述比較清晰，既考查了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)史料的理解，也達(dá)到了知識(shí)的考查，但主要是對(duì)史料的直接考查.

圖1

例1（江西第9題）中國(guó)人最先使用負(fù)數(shù)，魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽在“正負(fù)術(shù)”的注文中指出，可將算籌（小棍形狀的記數(shù)工具）正放表示正數(shù)，斜放表示負(fù)數(shù)，如圖1，根據(jù)劉徽的這種表示法，觀察圖1①，可推算圖1②中所得的數(shù)值為_(kāi)__________.

分析：本題交代了“正負(fù)術(shù)”發(fā)展經(jīng)歷過(guò)程中“算籌”的表示方式，通過(guò)對(duì)“算籌”的簡(jiǎn)要描述，提出的問(wèn)題既考查學(xué)生對(duì)史料的理解，也考查正負(fù)數(shù)概念及運(yùn)算法則.而正負(fù)數(shù)發(fā)展經(jīng)歷了坎坷，公元263年劉徽在《九章算術(shù)注》中詳細(xì)給出正負(fù)數(shù)的定義及運(yùn)算法則，并應(yīng)用算籌進(jìn)行正負(fù)數(shù)計(jì)算（紅色表示正，黑色表示負(fù)）.從有關(guān)記載來(lái)看，負(fù)數(shù)最早出自于我國(guó)的《算術(shù)書(shū)》，而國(guó)際上對(duì)正負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)如下：印度最早由婆羅摩笈多給出，并給出了正負(fù)數(shù)的乘法法則；10世紀(jì)阿拉伯著名數(shù)學(xué)家艾布·瓦發(fā)（940年—約998年）應(yīng)用了負(fù)數(shù)；而西方對(duì)負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)比較滯后，16、17世紀(jì)大多數(shù)歐洲數(shù)學(xué)家不承認(rèn)負(fù)數(shù)，例如，帕斯卡好友阿潤(rùn)德用反例反對(duì)負(fù)數(shù)，1831年英國(guó)數(shù)學(xué)家德·摩根仍認(rèn)為負(fù)數(shù)是虛構(gòu)的，到18世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)家才普遍接受負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的合理性在邏輯上得到確立是在19世紀(jì).

鏈接教材和教學(xué)：人教版七上有理數(shù)章節(jié)閱讀與思考對(duì)算籌的具體介紹，涉及了劉徽《九章算術(shù)注》中有理數(shù)計(jì)算法則詳細(xì)介紹.北師大版七上有理數(shù)及其運(yùn)算章節(jié)的讀一讀中負(fù)數(shù)小吏同樣講到劉徽，還講到國(guó)外負(fù)數(shù)發(fā)展的歷程.由此看來(lái)，教師在最開(kāi)始數(shù)的拓展中應(yīng)關(guān)注數(shù)學(xué)教材中的閱讀材料，挖掘其中的數(shù)學(xué)知識(shí)，避免學(xué)生在考試時(shí)遇見(jiàn)此類(lèi)問(wèn)題有陌生感.

2.試題中的古今情境融合

涉及古今融合的考題位居第二，古今融合就是將中考試題結(jié)合數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中的情境，但是這樣的情境在今天仍然存在，仍有現(xiàn)實(shí)意義.學(xué)生既能了解數(shù)學(xué)史，又可以與自己的現(xiàn)實(shí)生活相結(jié)合，達(dá)到利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的目的，同時(shí)考題符合中學(xué)生的認(rèn)知水平，又有數(shù)學(xué)建模的價(jià)值.

例2（湖南長(zhǎng)沙第11題）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關(guān)，初健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān).”其大意是有人要去某關(guān)口，路程378里，第一天健步行走，第二天起，由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天才到達(dá)目的地，則此人第六天走的路程為（ ）.

A.24里 B.12里 C.6里 D.3里

分析：該問(wèn)題雖是對(duì)古題的再現(xiàn)，但是走路問(wèn)題在我們生活中每天都在發(fā)生，學(xué)生可以在做題時(shí)體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)刻存在于自己身邊，同時(shí)該題考查學(xué)生對(duì)一元一次方程的理解.史料的來(lái)源《算法統(tǒng)宗》是明代數(shù)學(xué)家、珠算一代宗師程大位的著作，全書(shū)共17卷，完成了籌算到珠算的改革，其中運(yùn)算口訣的編寫(xiě)，加快了運(yùn)算速度，我們熟悉的“一上一，二上二，三下五去二……”則出自本書(shū).李儼先生曾說(shuō)：“在中國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程中，《算法統(tǒng)宗》是一部重要著作，從流傳的長(zhǎng)久、廣泛和深入來(lái)講，那是任何其他數(shù)學(xué)著作不能與它相比的.”由此看出該書(shū)影響深遠(yuǎn)，著作中有更多的經(jīng)典問(wèn)題可供我們現(xiàn)在利用，如“以碗知僧”“油鹽相換”，同時(shí)可用國(guó)外紙草書(shū)上的問(wèn)題.

鏈接教材和教學(xué)：在人教版七上數(shù)學(xué)教材一元一次方程章節(jié)，例題中用到紙草書(shū)上的數(shù)學(xué)問(wèn)題，“已知一個(gè)數(shù)，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起來(lái)為33，求這個(gè)數(shù)”.該題和例4中的考點(diǎn)及考查方式幾乎一樣，都涉及設(shè)未知數(shù)和通分.同樣北師大版七上教材一元一次方程章節(jié)隨堂練習(xí)中，由于考慮到剛開(kāi)始認(rèn)識(shí)一元一次方程，其對(duì)紙草書(shū)上的題進(jìn)行了簡(jiǎn)化，“一個(gè)數(shù)它的全部，它的七分之一，和為19，求這個(gè)數(shù)”.從這兩個(gè)典型版本教材可以看出教材中融入數(shù)學(xué)史時(shí)，編者根據(jù)學(xué)情進(jìn)行了加工，而教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)領(lǐng)會(huì)編者對(duì)教材中數(shù)學(xué)史加工的意圖，拓展更多以數(shù)學(xué)史為背景的練習(xí).

3.試題與古代實(shí)用技術(shù)的融合

試題與古代實(shí)用技術(shù)融合，說(shuō)明中考試題中的數(shù)學(xué)史正體現(xiàn)了我國(guó)數(shù)學(xué)的發(fā)展注重它的實(shí)用價(jià)值，反映在考題中可以是利用古代建筑、古代實(shí)用主義的思想（莊子無(wú)限分割思想來(lái)自于對(duì)椎的分割）等來(lái)考查數(shù)學(xué)知識(shí).

例3（內(nèi)蒙古呼和浩特第16題）我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”計(jì)算圓周率.隨著時(shí)代發(fā)展，現(xiàn)在人們依據(jù)頻率估計(jì)概率這一原理，常用隨機(jī)模擬的方法對(duì)圓周率進(jìn)行估計(jì).用計(jì)算機(jī)隨機(jī)產(chǎn)生m個(gè)有序數(shù)對(duì)（x，y）（x、y是實(shí)數(shù)，且0≤x≤1，0≤y≤1），它們對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中全部在某一正方形的邊界及其內(nèi)部，如果統(tǒng)計(jì)出這些點(diǎn)中到原點(diǎn)的距離小于或等于1的點(diǎn)有n個(gè)，則據(jù)此可估計(jì)π的值為_(kāi)__________.（用含m、n的式子表示）

分析：該題在我國(guó)割圓術(shù)基礎(chǔ)上結(jié)合了國(guó)外不同的求π的方法，對(duì)頻率估計(jì)概率及確定點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行考查.歷史上劉徽“割圓術(shù)”精確估算π的值，而法國(guó)人布豐則用一種十分奇妙的方法，即投針?lè)▉?lái)計(jì)算π，布豐是著名的自然科學(xué)家，但是他在數(shù)學(xué)研究中追求創(chuàng)新，1777年他在出版的《能辨別是非的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》中提出用在白紙上投針的實(shí)驗(yàn)方法計(jì)算π.同樣，1995年，英國(guó)的羅伯斯·馬修斯利用夜空中的亮星來(lái)計(jì)算圓周率.這些數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，證明了圓周率π隱藏在自然界的客觀規(guī)律中.

鏈接教材和教學(xué)：人教版九上教材概率初步試驗(yàn)與探究中通過(guò)在正方形的內(nèi)接圓中撒米來(lái)估計(jì)π；北師大版九上教材概率的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)讀一讀中涉及模擬實(shí)驗(yàn)，即利用小球代表生活中的事物或者用計(jì)算器產(chǎn)生數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬，都是與例題一樣的原理.

圖2

四、結(jié)論與建議

數(shù)學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的重要學(xué)科，它是以發(fā)展邏輯思維為主的一門(mén)學(xué)科，并且有著長(zhǎng)久的歷史發(fā)展過(guò)程，在“立德樹(shù)人”的教育理念中起著重要的作用.通過(guò)對(duì)2017年26個(gè)地區(qū)中考題中數(shù)學(xué)史內(nèi)容的分析，提出以下建議：

1.以《課標(biāo)》為指導(dǎo)，以教材為抓手

考查的中考題中的數(shù)學(xué)史料，基本上在全國(guó)使用較多的各種版本的數(shù)學(xué)教材中都能找到它的蹤跡，可見(jiàn)中考試題并沒(méi)有脫離教材，并且在教材中呈現(xiàn)的方式都可以抽象出具體的數(shù)學(xué)模型，與中考數(shù)學(xué)題呈現(xiàn)方式遙相呼應(yīng)，所以數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)緊密結(jié)合課標(biāo)要求的深度，重視教材中融入的數(shù)學(xué)史料，教師應(yīng)綜合利用多版本教材，熟悉適用范圍最廣的三大版本的數(shù)學(xué)教材，在數(shù)學(xué)史料中挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)屬性，在講解數(shù)學(xué)史時(shí)不僅僅只是講故事，而且應(yīng)該把它貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)中，以史料為母本，以數(shù)學(xué)名題為背景，在游戲中講課，在游戲中輕松學(xué)習(xí)，避免現(xiàn)在許多教師利用導(dǎo)學(xué)案而忽視了對(duì)教材的關(guān)注.

2.以史為基石，情境再現(xiàn)，加強(qiáng)重構(gòu)

通過(guò)統(tǒng)計(jì)分析可以看出以重構(gòu)方式呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)試題比例最小，而將數(shù)學(xué)史料通過(guò)重構(gòu)式、順應(yīng)式融入數(shù)學(xué)教材的方式一直是我們期待的融入形式，同樣數(shù)學(xué)中考試題的呈現(xiàn)也應(yīng)該加強(qiáng)這兩種方式，因?yàn)闅v史在發(fā)展，原有情境在我們現(xiàn)今生活中依然存在，我們應(yīng)用好史料，讓其繼續(xù)為我們服務(wù)，在此基礎(chǔ)上，由于時(shí)代在進(jìn)步，并且數(shù)學(xué)題永遠(yuǎn)做不完，我們應(yīng)該像寧波、山西考題那樣以史料為基礎(chǔ)，但不拘泥于固有的思路，進(jìn)行更多的變形，達(dá)到一個(gè)史料為多個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)服務(wù)的目的.

3.關(guān)注經(jīng)典，深入研究，多方交融

中考題中的數(shù)學(xué)史料均出自于中國(guó)的經(jīng)典數(shù)學(xué)著作，可見(jiàn)《九章算術(shù)》《海島算經(jīng)》《九章算術(shù)注》《周髀算經(jīng)》《算法統(tǒng)宗》這些經(jīng)典有著不可小覷的影響力，這就啟發(fā)我們一線(xiàn)的數(shù)學(xué)教師提高自己的專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)，關(guān)注經(jīng)典著作中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，將其轉(zhuǎn)化為學(xué)生可以接受的數(shù)學(xué)知識(shí)，擴(kuò)寬學(xué)生的視野，與此同時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)中考試題中對(duì)國(guó)外數(shù)學(xué)史實(shí)的關(guān)注度遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，這就要求我們重視多元文化下的合作交流，避免盲目自信.在多國(guó)交融的基礎(chǔ)上，還應(yīng)該結(jié)合本土特點(diǎn).我國(guó)試題大多結(jié)合了古代的實(shí)用性這一特點(diǎn)，在融入國(guó)外數(shù)學(xué)史時(shí)同樣應(yīng)該結(jié)合別國(guó)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，讓數(shù)學(xué)“活”起來(lái)，成為富有感情的學(xué)科，成為有血有肉的學(xué)科.