核心素養(yǎng)視角下的初中數(shù)學復(fù)習課
——以“一元二次方程”為例

☉江蘇省無錫市塔影中學 胡 吉

數(shù)學學科核心素養(yǎng)包括數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析.深度學習的目的導(dǎo)向?qū)⒔處熡蛇^分注重學生成績轉(zhuǎn)向“思維思辨”的能力培養(yǎng)，課堂復(fù)習的形式也應(yīng)當由機械訓練轉(zhuǎn)向多向思維.成功的課堂不僅要求學生能解決問題，也要善于發(fā)現(xiàn)問題、提出問題；課時的設(shè)置要堅持問題導(dǎo)向，精選能激發(fā)學生探究欲望的、易錯的、有代表性的例題，這樣將有利于激發(fā)學生深度學習，形成有積極思維的課堂

一、理論簡介

基于《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》，有人提出了數(shù)學學科核心素養(yǎng)，數(shù)學學科核心素養(yǎng)包括數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析，共六項三大類；其中能展示數(shù)學一般特性的是數(shù)學抽象與直觀想象，而數(shù)學運算與邏輯推理則強調(diào)了數(shù)學的嚴謹性，能體現(xiàn)數(shù)學的實用性的便是數(shù)據(jù)分析與數(shù)學建模.一直以來廣大教師一直試圖通過構(gòu)建思維課堂來培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，從而促使學生深度學習，而數(shù)學學科核心素養(yǎng)的提出，無疑為這一目標起到了導(dǎo)向的作用.下面筆者以一節(jié)“一元二次方程”復(fù)習課為例，探討如何基于核心素養(yǎng)設(shè)計復(fù)習課，從而促使學生數(shù)學思維的發(fā)展.

二、教學設(shè)計

1.梳理舊知，構(gòu)建思維導(dǎo)圖

師生活動：提前布置，讓學生在課前對整章節(jié)的知識進行梳理，然后在教師的引導(dǎo)下通過小組合作的方式構(gòu)建基于一元二次方程知識點的脈絡(luò)體系的思維導(dǎo)圖.

設(shè)計意圖：讓學生回歸教材，重溫知識點.通過制作思維導(dǎo)圖的方式將整個知識體系串聯(lián)起來.通過師生互動、小組互助的方式讓學生在相對輕松的環(huán)境中提高參與度，對后進生而言，盡管這件事并非由其主導(dǎo)，但由于參與整個過程，印象也會比較深刻，為本節(jié)課接下來的教學做好鋪墊.

2.精講精練，提高方法

問題1：用適當?shù)姆椒ń庖韵路匠蹋?/p>

師生活動：讓學生上黑板演示.其中對于第（1）題，學生選擇了直接開平方法，對于第（2）題，學生選擇了配方法，對于第（3）題，學生使用了公式法.以上3題多數(shù)學生方法類似.然而在第（4）題的處理上產(chǎn)生了分歧，最初上來演示的學生直接在兩邊同時除以，然后由計算得到x=6，隨后立即有學生指出少了一個根，指出錯誤的學生選擇的方式是兩邊直接展開，通過同類項的合并得到x2+9x-90=0，隨后通過十字相乘法獲得結(jié)果為x=6或x=-15.又有學生提出可采用換元法用y替代，然后通過移項并提取公因式的方法，能使原本復(fù)雜的運算更加簡化.

圖1

在這一過程中，教師通過學生操作可總結(jié)：缺一次項的一元二次方程宜采用直接開平方法；二次項系數(shù)為1、一次項系數(shù)為2的倍數(shù)的易于配方，使用配方法較為簡便；系數(shù)中含無理數(shù)，使用其他方法沒有優(yōu)勢的，宜考慮公式法，當然用公式法計算應(yīng)先驗證b2-4ac是否為非負數(shù)，再考慮進一步計算.在第（4）題的解答中，對于第1名學生因錯誤導(dǎo)致的失根情況，應(yīng)及時分析產(chǎn)生的原因，避免下次再犯類似的錯誤；第2名學生的方法盡管運算量較大，但在很多情況下也被使用到；顯然第3名學生的方法是最簡單、易操作的.這就為學生思維的發(fā)散留下了空間，應(yīng)提倡一題多解.

設(shè)計意圖：設(shè)置各種題型，通過計算，讓學生能感受一元二次方程各種解法的不同，同時通過不同解法產(chǎn)生思維碰撞，讓學生切實體會用什么方法更合適，這樣也有助于學生思維的發(fā)展.

問題2：當a為何值時，關(guān)于x的方程（m-1）x|m|+1+3x+9=0為一元二次方程？

師生活動：引導(dǎo)學生回顧一元二次中“元”和“次”的基本要求，對照思維導(dǎo)圖中一元二次方程的一般形式，根據(jù)學生的回答板書：最高次項必須是二次，最高次項的系數(shù)不得為0.

設(shè)計意圖：強調(diào)一元二次方程的定義，對于概念、定義，不能簡單機械地停留在表面的記憶，而應(yīng)當結(jié)合練習掌握其實質(zhì)，做到學以致用.同時為問題4的設(shè)置埋下伏筆.

問題3：不解方程，判別下列方程根的數(shù)量：

師生活動：本題由學生自發(fā)舉手口答完成.

設(shè)計意圖：通過一個基礎(chǔ)題型讓學生回顧并練習如何使用根的判別式來判斷方程根的三種情況.

問題4：已知關(guān)于x的方程3kx2+12x+k=-1有兩個相等的實數(shù)根，且k＞0，求k的值并解這個方程.

師生活動：本次由學生板演完成，教師應(yīng)提示學生注意此處求k的值時不應(yīng)遺漏k＞0這個條件，且求完k的值后應(yīng)進一步解出方程.

設(shè)計意圖：此題意圖引導(dǎo)學生逆向思考根的判別式的有關(guān)問題，即在有字母系數(shù)的前提下如何根據(jù)方程根的情況確定參數(shù)的范圍，為下面的追問做鋪墊.

追問：你能解決好下面這個問題嗎？

已知關(guān)于x的方程（k-2）2x2+（2k+1）x+1=0有實數(shù)根，求k的取值范圍.

師生活動：很快有學生上黑板板演：（2k+1）2-4（k-2）2≥0，解得k≥.剛寫完，立刻有學生說：“不對！”作為一個一元二次方程，首先要考慮保證二次項的存在，所以二次項系數(shù)不為0；其次得到一元二次方程要有實數(shù)根，故根的判別式Δ=b2-4ac≥0，因此解題如下：

其實此題的答題關(guān)鍵詞在于實數(shù)根和方程，從形式上看會讓人認為這是一個一元二次方程，所以，多數(shù)學生得到上述相同的結(jié)果，并認為完全正確.但若仔細審題，會發(fā)現(xiàn)此處的描述是方程，而方程是可以有多種形式的，除去次數(shù)的限制，此處即使（k-2）2=0使方程不含二次項，但之后得到的5x+1=0依然滿足了是方程這個條件，因此k=2時依然符合題意.綜合上述，最終k的取值范圍為

設(shè)計意圖：在上題的基礎(chǔ)上，此題的設(shè)置意在考查學生思維的嚴密性，對于一元二次方程，在任何時候都要考慮其根本的定義需要保證其最高次項為二次；而細心閱讀、正確審題應(yīng)是學生閱讀素養(yǎng)的基本要求，此處審清題意，畫出關(guān)鍵詞后，將眼光從一元二次方程的局限性上解放出來，強化知識結(jié)構(gòu)拓補，提高思維的廣泛性.

問題5：在以下關(guān)于x的一元二次方程中，求

師生活動：對于這兩個題目，學生使用了不同的解法，第（1）題學生使用十字相乘法求出x1=3，x2=-1，然后將x1和x2代入求值；第（2）題學生使用根與系數(shù)的關(guān)系求x1+x2和x1x2，然后用進行相關(guān)計算.

設(shè)計意圖：通過實際題型的對比，讓學生感受當一元二次方程兩根結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜的情況下用與x1和x2相關(guān)的代數(shù)式求值的便捷性.

問題6：若關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+a=0有兩個不相等的實數(shù)根x1和x2，其中兩根分別滿足以下條件，求a.

師生活動：對于（1），很多學生單純考慮了x1+x2=-4，x1x2=a，得到a=-3.對于（2），也有學生采用了此種方式，結(jié)果求出a=±5.可引導(dǎo)學生將a=5代入原方程，發(fā)現(xiàn)原方程無解.此時讓學生探討這種情況產(chǎn)生的原因是忽略了兩個不相等的實數(shù)根這一條件，因此需添加Δ＞0，得a＜4，則a只能取-5.

根據(jù)目前學界的討論成果，體育賽事轉(zhuǎn)播權(quán)并不是一個嚴謹?shù)姆筛拍?；學者們也并沒有就它的內(nèi)涵外延達成共識。

設(shè)計意圖：（1）的題型設(shè)置極易讓學生忽略兩個不相等的實數(shù)根這一條件，因為此題中用不到.因此若在此追加（2），可使學生體會到在運用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系時，不能忽視其產(chǎn)生的前提條件是原方程有實數(shù)根，也就是必須考慮根的判別式，能對單個知識點進行遷移和延伸，從而提高學生思維的嚴密性.

追問：若關(guān)于x的方程x2+4x+a=0的兩個實數(shù)根都小于1，你還能求實數(shù)a的取值范圍嗎？

師生活動：引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)，實數(shù)根與1的大小比較通?？捎勺鞑顏眢w現(xiàn)，當然也不能忽略了實數(shù)根產(chǎn)生的前提條件.

解：設(shè)原方程的兩個根為x1、x2.

則x1+x2=-4，x1x2=a.

由題意得x1＜1，x2＜1.

設(shè)計思路：以上三題考查了利用根與系數(shù)的關(guān)系求字母的范圍，由淺入深，雖然解題的切入點略有不同，但是其共同的規(guī)律就是在利用根與系數(shù)的關(guān)系確定字母的取值范圍時，必須同時考慮根的判別式，也就是字母的取值能否使原式產(chǎn)生符合要求的實數(shù)根，通過三題的歸類和思考，促使學生總結(jié)出這類題的解題方法.

三、教學反思

1.堅持興趣導(dǎo)向，精心安排過程，提高學習效率

學生的學習不能僅僅依靠壓力迫使其被動學習.學生能力特別是創(chuàng)新能力的提高及數(shù)學思維的培養(yǎng)，更多的應(yīng)該通過興趣激發(fā).興趣能激發(fā)學生潛在的求知和探究的欲望，從而成為思維和能力發(fā)展內(nèi)在的動力.因此，教師在安排復(fù)習課內(nèi)容時，應(yīng)當精心挑選學生可能感興趣的內(nèi)容，問題的設(shè)置需要有導(dǎo)向性，盡可能精確制導(dǎo)，安排那些讓學生覺得有價值的題目，讓學生覺得有興趣并愿意花時間去掌握的內(nèi)容.

對于學生而言，公式只是公式，如果僅僅只是強調(diào)這個公式是什么、這個定理怎么用是不夠的.應(yīng)該跟他們探索定理、公式是怎么來的，怎么會探索到這個結(jié)果，在什么情況下這個定理是有用的，能解決什么問題，順著怎樣的思路我會探索到這一步，這其中是怎么去思考的.這樣的引導(dǎo)方式能讓學生對學習的目的更加明確，學以致用也不會僅僅停留在口頭階段.

2.巧用學科思維導(dǎo)圖，加強概念間的邏輯關(guān)系，圖形化理解知識結(jié)構(gòu)

數(shù)學本身需要經(jīng)歷一個從直觀到抽象的過程，但如果能使抽象的東西以一種圖形化方式直觀呈現(xiàn)，那么學生對知識點復(fù)習的效果將顯著提升.相對于枯燥無味的文字概念，按學科本身的結(jié)構(gòu)、規(guī)律、特點來繪制的學科思維導(dǎo)圖能使概念與概念之間的邏輯關(guān)系通過可視化的方式展示出來，無論是接受新知識還是復(fù)習舊知識，都能使學生對當前內(nèi)容和知識的掌握程度顯著地改善和優(yōu)化.

在階段性復(fù)習的時候，教師可以引導(dǎo)學生在大致了解整個單元的知識結(jié)構(gòu)之后，通過解析數(shù)學概念之間的縱橫關(guān)系、要素間的聯(lián)系，厘清思路，畫出思維導(dǎo)圖框架.然后進一步細分思維導(dǎo)圖，將其所包含的多個過程不斷細化，并做好明確的標注，通過導(dǎo)向性提問來幫助學生回顧相關(guān)的知識點，讓學生通過相互討論、互相補充的合作方式，將松散的知識點串聯(lián)起來，構(gòu)建出完整的知識脈絡(luò)體系.這樣的方式將有助于提高學生的邏輯思維能力，起到加深理解的效果，復(fù)習的效率便能大大提升.課后可以通過布置將根據(jù)本課相關(guān)內(nèi)容制成的思維導(dǎo)圖與所講例題進行對應(yīng)關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學生對課堂進行回顧，進一步完善思維導(dǎo)圖.

3.加強針對性，提高層次性，培養(yǎng)“歸類建?！蹦芰?/h3>

核心素養(yǎng)中包含的重要內(nèi)容之一便是數(shù)學建模的能力.所謂建模，其要求是在提出問題、分析問題、解決問題的過程中能利用數(shù)學的方法和思維得到一個大致的模型，并在使用過程中通過不斷改進來持續(xù)優(yōu)化這個模型，從而能得到一種符合學生思維和解題規(guī)律的程序.

在復(fù)習過程中，我們應(yīng)當根據(jù)課程標準和學情的實證分析，通過類似題、可變題型的對比，引導(dǎo)學生從不同角度分析問題，從類比到歸納，在實踐中總結(jié)帶有規(guī)律性的解題思路和操作方法，并在教師引導(dǎo)下歸類建立數(shù)學模型，達到以不變應(yīng)萬變，實現(xiàn)對知識點深層次的理解，從而提升學生的歸類建模能力.

4.提倡深度學習，鼓勵質(zhì)疑探究，多向發(fā)散思維

深度學習的目的導(dǎo)向?qū)⒔處熡蛇^分注重學生成績轉(zhuǎn)向“思維思辨”的能力培養(yǎng)，課堂復(fù)習的形式也應(yīng)當由機械訓練轉(zhuǎn)向多向思維.成功的課堂不僅要求學生能解決問題，也要善于發(fā)現(xiàn)問題、提出問題.課時的設(shè)置要堅持問題導(dǎo)向，精選能激發(fā)學生探究欲望的、易錯的、有代表性的例題，這樣將有利于激發(fā)學生深度學習，形成有積極思維的課堂.教師還要鼓勵學生在充分思考的基礎(chǔ)上提出自己的觀點，對于問題要善于探究、敢于質(zhì)疑、勇于自我展現(xiàn).在此過程中，教師也要及時抓住契機，對學生給予充分肯定，不要吝惜自己的贊賞，讓學生能從探究的快樂中感受快樂和自我價值.通過“質(zhì)疑”讓學生明確問題的實質(zhì)，通過“探究”讓學生在過程中通過多向考慮掌握相應(yīng)的方法，促進自己綜合素養(yǎng)和解題能力的提高，從而實現(xiàn)課堂教學的有效性.

四、結(jié)束語

核心素養(yǎng)導(dǎo)向的復(fù)習課，最終的關(guān)鍵并不在于教學內(nèi)容的完成，而是通過本課的復(fù)習，學生掌握了什么，養(yǎng)成了什么，發(fā)展了什么.若通過本課的學習，能夠促使學生深度思考，構(gòu)筑起與本課內(nèi)容相關(guān)的知識脈絡(luò)、養(yǎng)成更好的學習習慣、掌握更多方法、發(fā)展更好的學科適應(yīng)能力，并將其內(nèi)化為與課程目標相符的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，那么這樣的課堂便是有效的思維課堂.