讓學(xué)生插上思維的翅膀
——以“點(diǎn)與圓的位置關(guān)系”教學(xué)為例

☉山東省東營市墾利區(qū)永安中學(xué) 張 群

新課標(biāo)指出，教師是學(xué)習(xí)活動的引導(dǎo)者和組織者，學(xué)生是課堂的主人，要充分體現(xiàn)以人為本的教學(xué)理念，尊重學(xué)生的個體差異，通過學(xué)生自主探索與合作交流，發(fā)展學(xué)生的空間觀念，豐富想象力，引發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新意識，不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)及綜合能力.下面是我在新課標(biāo)指導(dǎo)下，在“圓的基本概念”一節(jié)中的一個教學(xué)片段，即“點(diǎn)與圓的位置關(guān)系”的探究教學(xué)，為幾何教學(xué)的研究提供了一個非常好的教育教學(xué)案例.

圖1

教師運(yùn)用多媒體給出探索題目：

已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8.

（1）以點(diǎn)A為圓心，以6為半徑的圓，與點(diǎn)B、C、D有怎樣的位置關(guān)系？

（2）以點(diǎn)A為圓心，以8為半徑的圓，與點(diǎn)B、C、D有怎樣的位置關(guān)系？

（3）若以點(diǎn)A為圓心，以r為半徑作圓，使B、C、D三點(diǎn)中至少有一點(diǎn)在圓內(nèi)，有一點(diǎn)在圓外，則r的取值如何？

學(xué)生很容易根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的判斷方法，解決（1）和（2），但是解決（3）時出現(xiàn)了困難！

教師讓學(xué)生獨(dú)立思考2分鐘.教師巡視，給予較落后的學(xué)生以指導(dǎo).學(xué)生積極投入思考.教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生最需要的是解決問題的方法.

學(xué)生經(jīng)過獨(dú)立思考，運(yùn)用投影儀展示出了自己思考的結(jié)果：6＜r＜8.

師：大家還有不同的想法嗎？

這時，一個數(shù)學(xué)成績并不顯眼的學(xué)生半舉起了他的手，他一直不太喜歡數(shù)學(xué)，認(rèn)為自己天生就不是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的料兒，缺乏自信，但從學(xué)習(xí)“圓”一章開始，他好像突然興趣比以往濃厚了許多，教師一直在等待著、尋找著讓他喜歡上數(shù)學(xué)、建立自信的機(jī)會.

生：我不確定我的想法對不對！

師：沒有關(guān)系，大膽說！說出來或許就是一個真理！

生：我認(rèn)為r應(yīng)該大于6，小于10.

這個學(xué)生說完后，許多學(xué)生不以為然，讓他說出為什么.

師：你來講臺上展示一下你畫的圖形，好讓大家更清楚地思考！

他將畫的不太規(guī)整的圖形演示給其他學(xué)生，并做了簡短的并不工整的說明.

這或許是他第一次登上課堂的講臺做演說！他有些手忙腳亂，有些羞澀，但從他的眼神中可看得出他很高興！講完后，他紅著臉匆匆地回到了自己的位子上.

師：他的想法對嗎？

有些學(xué)生通過他的圖形再思考后，認(rèn)為是對的，但有些還是堅(jiān)持自己的觀點(diǎn).

師：大家有兩種想法，究竟哪一種正確？哪一種才是科學(xué)道理？

教師借助那個學(xué)生的圖，清楚地重復(fù)了那個學(xué)生的想法，給學(xué)生指出半徑為8時的情況，讓學(xué)生再仔細(xì)思考是否符合條件.

學(xué)生的好奇心和求知欲達(dá)到高潮！

教師讓學(xué)生展開第一輪的小組討論.教師巡視，發(fā)現(xiàn)學(xué)生能夠跨過半徑為8的情況，討論半徑再大時是否符合條件，但是到什么時候?yàn)橹鼓兀?/p>

經(jīng)過頗有爭議的討論，小組間展示討論成果時，有三個組確定答案是6＜r＜10.（全班共分6個小組）但其他組提出異議：為什么到10為止呢？

教師讓得到確定答案的學(xué)生來展示，并講解.

生：當(dāng)半徑為6時，有兩個點(diǎn)在圓外，有一個點(diǎn)在圓上，半徑再小，則三個點(diǎn)都在圓外，半徑再大，正好至少有一個在圓內(nèi)，一個在圓外，但到10時，又有一個在圓上，另兩個在圓內(nèi)了，不再符合條件，再大就都在圓內(nèi)了.

聽完這個優(yōu)生的講述，學(xué)生不約而同地給予了熱烈的掌聲，多數(shù)學(xué)生能夠理解了.

教師表揚(yáng)了這名學(xué)生以后，又運(yùn)用幾何畫板更好地展示了半徑依次為6、8、10、再大的情況.學(xué)生點(diǎn)頭，這說明學(xué)生終于理解了這個看似簡單的幾何動態(tài)問題！

師：第一個發(fā)現(xiàn)“新大陸”的是——

學(xué)生集體回答著那個同學(xué)的名字.

教師提議給他掌聲.

學(xué)生給了他贊許、肯定的掌聲.

我很興奮，終于又讓一個孩子走進(jìn)了數(shù)學(xué)的思維殿堂，我想他的明天一定會更美好！

師：解決這類題的基本思路是怎樣的呢？（激發(fā)學(xué)生尋找這類動態(tài)幾何問題的解決方法）

小組內(nèi)開始展開第二輪激烈的討論，歸納解決此類動態(tài)幾何問題的基本思路！

師：一個小組先回答，其他小組補(bǔ)充！

生：先找特殊的情況研究，如此題：先找半徑為6時的情形，再找半徑為8（一點(diǎn)在圓上，兩點(diǎn)在圓外）時的情形，然后是半徑為10（兩點(diǎn)在圓內(nèi)，一點(diǎn)在圓上）時的情形，這樣中間的就是我們要找的部分了！

教師進(jìn)行了簡要的總結(jié)：先找動態(tài)中的靜態(tài)時刻，即找臨界線，進(jìn)而研究中間過程，就可以很容易地解決此類問題.

學(xué)生自我探究、小組交流、小組歸納總結(jié)，終于清楚地找到了解決此類動態(tài)幾何問題、分類討論問題的思路和方法，很好地開拓了思維，擴(kuò)充了探究幾何問題的方法！

【反思】

（1）這個教育教學(xué)案例很好地突出新課標(biāo)的指導(dǎo)思想，以課堂學(xué)習(xí)為載體，以學(xué)生探究為主體，以教師的及時發(fā)現(xiàn)、引導(dǎo)為輔助的基本原則，為學(xué)生高效學(xué)習(xí)創(chuàng)造了和諧的學(xué)習(xí)環(huán)境，為學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成提供了很好的空間.

（2）改變了傳統(tǒng)的教育教學(xué)方式，充分借助教學(xué)中的時機(jī)，對學(xué)生的求知欲、成功欲進(jìn)行培養(yǎng)和引導(dǎo)，及時給予學(xué)生鼓勵、表揚(yáng)、引導(dǎo)，使學(xué)生能夠從數(shù)學(xué)中找到滿足，找到成功感，進(jìn)而更加熱愛數(shù)學(xué).

（3）改變了學(xué)生的角色和學(xué)習(xí)方式，由學(xué)生原來的被動地聽，改成了今天的主動地講，由原來的參與當(dāng)群眾，變成了今天的參與當(dāng)主角，在小組合作交流探究中，優(yōu)生積極發(fā)揮主動能動性，給予學(xué)困生適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)與幫助，使其有了一定的上進(jìn)渴望，希望能夠給予他們回報，產(chǎn)生了要對小組做出貢獻(xiàn)的責(zé)任感，讓自己逐漸成為一名可以幫助其他人的優(yōu)生，這就讓他們主動去學(xué)習(xí)，主動去探究，主動去參與，將課堂以生為本的理念貫徹得非常到位.

（4）很好地將幾何探究問題的方法加以總結(jié)、歸納，讓學(xué)生從探究中發(fā)現(xiàn)，從交流中歸納，從歸納后應(yīng)用，從應(yīng)用中體會、掌握，掌握學(xué)習(xí)探究幾何問題的方法，使得學(xué)生能夠以“法”來學(xué)習(xí)，以不變應(yīng)萬變.