巧解數(shù)學錯題 點亮課堂精彩

江蘇省蘇州市高新區(qū)白馬澗小學 謝永萊

問題是數(shù)學的心臟，掌握數(shù)學意味著就是要善于解題。而錯題又是課堂學習過程中的相伴產(chǎn)物，課堂教學本就是一個動態(tài)生成的過程，課堂中學生出現(xiàn)的典型錯題其實是一個動態(tài)的教學時機，我們應利用自身的教學智慧，引導學生迅速找到突破口，打開學生的解題思路。只要學生具備一定的數(shù)學思想方法和一定高度的謀略，遇到問題時就能很好地遷移，那么就很容易達到解決問題的目的。所以，我們在教學中，應該適當加強數(shù)學解題策略的指導，優(yōu)化學生的思維品質(zhì)，提高解題能力。

一、圖形結合巧解“典型錯題”

案例一：一個長方形的周長是48厘米，它的長和寬的比是5∶3，這個長方形的面積是多少？

這是學生中一道典型錯題，學生通常的做法是：先算出一份數(shù)是多少厘米，48÷（5+3）=6（厘米），再算出這個長方形的長6×5=30（厘米），這個長方形的寬：3×5=15（厘米），最后計算出它的面積：30×15=450（平方厘米）。出現(xiàn)這樣的問題，其實真正原因在于學生沒有完全理解5∶3和48厘米之間的對應關系。假如可以借助圖形和題一同出現(xiàn)的形式，將每條長和寬的比都標注在長方形上，那學生理解就會變得輕而易舉。

案例二：把棱長2厘米的小正方體放入長25厘米，寬8厘米，高5厘米的長方體木盒內(nèi)。最多可放（ ）個小正方體。

學生錯例：木盒體積：25×8×5=1000（立方厘米），小正方體體積：2×2×2=8（立方厘米），可放：1000÷8=125（個）。

分析原因：學生以前在解決平面圖形問題（如長方形分割三角形）時學生常用此方法。在遇到現(xiàn)在立體圖形類似問題時自然而然地就會用大的體積去除以小的體積，而忽視了考慮實際情況。教學長方體體積公式的推導過程時，學生是按教材的要求從實際操作中發(fā)現(xiàn)長方體的體積與長、寬、高之間的關系，應用的是不完全歸納法，對公式的推導過程還沒真正理解，是沿著長擺幾個，沿寬能擺幾排，沿高擺了幾層。缺少理論聯(lián)系實際，有意識地將數(shù)學與實際聯(lián)系起來解答問題。

教學中，可以引導學生畫簡圖，借助于形象的直觀圖去尋求解決問題的方法。對長方體的體積推導過程實現(xiàn)正遷移：是沿著長最多擺（12）個，沿寬最多擺（4）排，沿高最多擺了（2）層，所以一共可以放：12×4×2=96（個），并不是125個。還可以加強做題反思能力的培養(yǎng)，思考：在什么情況下可以用大的體積去除以小的體積？（當長、寬、高是棱長的倍數(shù)時）

二、一一列舉妙解“典型錯題”

案例三：用一根80厘米長的鐵絲圍成一個長方形，長和寬都是5的倍數(shù)，哪一種方法圍成的長方形面積最大？

學生遇到這樣的問題一般會無從下手，其實，要想知道哪種方法圍成的長方形面積最大，可以將符合的條件一一列舉出來，然后加以比較。因為長方形的周長是80厘米，所以長和寬的和是40厘米，列表如下：

第1種 第2種 第3種 第4種長 35 30 25 20寬 5 10 15 20

正確解答：80÷2=40（厘米），40=35+5=30+10=25+15=20+20，所以各個面積分別是：35×5=175（平方厘米），30×10=300（平方厘米），25×15=375（平方厘米），20×20=400（平方厘米），175＜300＜375＜400，所以，當長方形的長是20厘米，寬是20厘米的時候（圍成一個正方形），它的面積是最大的。

案例四：四年級數(shù)學中，學習了《商不變的性質(zhì)》內(nèi)容后練習中會有這樣的題：65÷12=5……5，假如被除數(shù)和除數(shù)同時擴大100倍，商是多少，余數(shù)是多少？

學生在解決這個問題的時候，大多會認為被除數(shù)和除數(shù)同時擴大100倍，商不變余數(shù)也是不變的，所以得到的結果是：商是5，余數(shù)是5。這時候，可以讓學生先根據(jù)題意將實例列舉出來：65×100=6500，12×100=1200，6500÷1200=5……500，和之前猜想的余數(shù)并不是5，應該是500，再追問學生為什么？學生就很容易聯(lián)系到學習的“商不變性質(zhì)”，被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以一個相同的數(shù)（0除外），商是不變的，所以商依舊是5，但是余數(shù)是要隨之一起擴大的，所以余數(shù)應該是5×100=500。

一一列舉的解題方法，以其獨特的解題思路為學生解題提供了簡潔的解法。它是對學生探究能力、解題能力以及思維能力的綜合培養(yǎng)，讓學生經(jīng)歷一一列舉這樣的一個學習過程，并借助生活中的實例提升學生的活動經(jīng)驗，感受“一一列舉”的特點和價值，從而搭建起生活實際與知識習得間的橋梁，發(fā)展思維的條理性和嚴密性，深化學生們對于相關知識點的理解與領會。

三、聯(lián)系實際善解“典型錯題”

案例五：在下面的( )里填上合適的質(zhì)量單位，克和千克。

一包大米重5( )，一個蘋果大約重250( )，一只母雞大約重2( )，一頭大象大約重5( )。

物品的輕重填寫對于學生來說有一定難度，因為他們?nèi)狈σ欢ǖ纳罱?jīng)驗，要準確寫出具體的重量，其實不能靠眼睛觀察，嚴格來講必須要用秤稱一稱每個物體的質(zhì)量到底是多少。因為學生不能清晰地建立1克、1千克、1噸的質(zhì)量觀念，對克、千克和噸的實際“大小”不能有鮮明的表象，因此學生不能合適地選擇這些質(zhì)量單位。針對學生這樣的矛盾，在教學中可以借助學生熟悉的實物來幫助學生建立1克、1千克、1噸的重量感知。比如：一個1角的硬幣大約重3克，兩袋500克的鹽大約重1千克，一臺小型汽車大約重1噸，一個四年級的學生體重大概有40千克。這樣，在填寫單位時，可以列舉身邊熟悉的物體的質(zhì)量作參考，就能正確地選用重量單位。

皮亞杰曾經(jīng)說過：“學習是一個不斷犯錯誤的過程，同時又是一個不斷通過反復思考招致錯誤緣由并逐漸消除錯誤的過程。”在教學過程中，巧妙利用學生在數(shù)學學習中出現(xiàn)的典型錯題，引導學生從不同角度、不同方面，采用不同的解題策略解決問題。讓學生在數(shù)學課堂中不斷進行思維的碰撞，訓練思維習慣，優(yōu)化思維過程，使學生積極探索體會到數(shù)學的樂趣，掌握更加有效的解決方案，就能讓我們的數(shù)學課堂更精彩。