感悟思想方法 提升解題能力

方小龍 陳少毅

摘 要：初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)一般分基礎(chǔ)復(fù)習(xí)和專題提升兩個(gè)階段，在第二階段專題復(fù)習(xí)中，教師不僅要根據(jù)中考的趨勢(shì)精選題型，還要善于利用經(jīng)典問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題的本質(zhì)，挖掘試題所隱含的數(shù)學(xué)方法，并適時(shí)開(kāi)展變式訓(xùn)練，從而提高學(xué)生分析、求解綜合問(wèn)題的能力。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；第二輪復(fù)習(xí)；問(wèn)題本質(zhì)；解題方法；變式訓(xùn)練

初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行回顧梳理，使學(xué)生對(duì)知識(shí)的形成系統(tǒng)化，技能形成熟練化的過(guò)程，也是對(duì)數(shù)學(xué)思想與方法進(jìn)行再提煉，讓學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)和科學(xué)素養(yǎng)得到提升，進(jìn)而提高綜合解題能力的過(guò)程。因此，初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)一般分基礎(chǔ)復(fù)習(xí)和專題提升兩個(gè)階段，但在第二輪專題復(fù)習(xí)中，教師們更多地關(guān)注選什么樣的題型訓(xùn)練，而忽略了如何利用典型例題進(jìn)行講解，從而降低了專題復(fù)習(xí)的效果。實(shí)際上，在二輪復(fù)習(xí)中，我們不僅要根據(jù)中考的趨勢(shì)精選題型，還要善于利用經(jīng)典問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題的本質(zhì)，挖掘試題所隱含的數(shù)學(xué)方法，并適時(shí)開(kāi)展變式訓(xùn)練，從而提高學(xué)生分析、求解綜合問(wèn)題的能力。

一、 分析問(wèn)題本質(zhì)，把握試題求解的根本

初中數(shù)學(xué)任何一個(gè)復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題都可分解成幾個(gè)基本問(wèn)題，任何一個(gè)復(fù)雜的幾何圖形都是若干個(gè)基本圖形的組合。掌握這些基本代數(shù)問(wèn)題的特征和解題方法，弄清這些基本圖形的基本性質(zhì)和求解方法，是解決綜合問(wèn)題的基礎(chǔ)，也是解題必須具備的基本功之一。

圖1

【例1】 如圖1，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（5，0），C（0，5）三點(diǎn)，對(duì)稱軸與拋物線相交于點(diǎn)P，與直線BC相交于點(diǎn)M，連接PB。

（1）求該拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)Q為拋物線第一象限上的點(diǎn)，且△QMB與△PMB的面積相等，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（3）在第一象限、對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在一點(diǎn)R，使△RPM與△RMB的面積相等，若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。

分析：本題是以拋物線為背景構(gòu)造三角形面積相等的經(jīng)典題型，第（2）小題中的兩個(gè)三角形由于有一條確定的公共邊MB，學(xué)生容易由等底等高面積相等，想到過(guò)點(diǎn)P作BC的平行線，從而確定Q；而第（3）小題，△RPM與△RMB的公共邊MR待定，由于受前面所用的方法的影響，多數(shù)學(xué)生會(huì)陷入從幾何形質(zhì)探求面積相等的陷阱，其實(shí)我們不妨從平面中求斜三角形的通用方法入手，構(gòu)建方程求解。

圖2

如圖2，不難得出：S△RMB=S△RME+S△RBE=12（xB-xM）（yR-yE），利用上述結(jié)論，在第（3）小題中，若設(shè)點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為x，則△RPM的面積為S△RPM=12（xR-xM）（yP-yM）=3（x-2），△RMB的面積為S△RMB=12（xB-xM）（yR-yE）=32（-x2+4x+5+x-5），再由面積相等就不難求得點(diǎn)R的坐標(biāo)了。

由于中考的壓軸題都由若干個(gè)問(wèn)題綜合而成，而且都有一定的原創(chuàng)性，學(xué)生很難在考試中的短時(shí)間內(nèi)找到類似的問(wèn)題類比解答，因此在復(fù)習(xí)課教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征，圖形的基本構(gòu)成，進(jìn)而“離析”出可拓展的基本問(wèn)題或基本圖形，引導(dǎo)學(xué)生理解基本問(wèn)題和基本圖形一般性原理，從而掌握解決問(wèn)題的方法，提高解題能力。

二、 講清解題過(guò)程，掌握一類題型的解法

中考?jí)狠S題的解決必須依托不同的思維方式，專題復(fù)習(xí)的過(guò)程不能只是簡(jiǎn)單地推導(dǎo)和計(jì)算，而應(yīng)針對(duì)不同類型的題目，理清解題的思路，滲透思想方法，以題帶面，引導(dǎo)學(xué)生思考解題過(guò)程中涉及的知識(shí)點(diǎn)和通用方法，這樣不僅有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的鞏固，還有利于提高學(xué)生的綜合運(yùn)用能力及解題能力，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

圖3

【例2】 如圖3，已知點(diǎn)E在線段AB上，AB=6，BE=2。P為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合），在線段AB的同側(cè)分別作等邊△APC和等邊△PBD，連接AD、BC，交點(diǎn)為Q。

（1）求證：△APD≌△CPB；

（2）當(dāng)點(diǎn)P為AB中點(diǎn)時(shí)，求線段QE的長(zhǎng)；

（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求線段QE長(zhǎng)的最小值。

分析：本題從學(xué)生熟悉的等邊三角形構(gòu)圖入手，層層遞進(jìn)，從特殊到一般再到特殊，探求定點(diǎn)E與動(dòng)點(diǎn)Q之間線段長(zhǎng)的性質(zhì)，是一道典型的考查動(dòng)點(diǎn)軌跡與幾何最值的壓軸題。第（2）小題以特殊位置求線段QE的長(zhǎng)，既是后面求QE最小值在設(shè)題上的自然前探，也為第（3）題從角度思考點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡做了方法上的鋪墊。在講解第（3）小題時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注此類問(wèn)題的共同特征，總結(jié)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題的解題方法。在（3）問(wèn)中，線段QE的端點(diǎn)E為定點(diǎn)，Q為動(dòng)點(diǎn)，要解決這類問(wèn)題，首先要判斷動(dòng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡。若軌跡為直線，則由點(diǎn)到直線距離垂線段最短求QE的最小值；若軌跡為圓弧，則由定點(diǎn)到圓周上各點(diǎn)的最短距離可求得QE的最小值。

在二輪復(fù)習(xí)中，教師應(yīng)避免就題論題，要以題論法，引導(dǎo)學(xué)生挖掘題干中的解題信息，根據(jù)題中的關(guān)鍵條件找到解題的突破口，進(jìn)而幫助學(xué)生理清解題思路，找出一類題型的共同點(diǎn)，歸納出此類題型的解題策略。在學(xué)生思維遇到障礙時(shí)，教師要通過(guò)展示自己的思考過(guò)程，幫助學(xué)生梳理思維脈絡(luò)，建立解題信心；在學(xué)生有了解題思路后，教師要在具體解法上加以指導(dǎo)，避免有想法無(wú)解法的情況發(fā)生，還要讓學(xué)生在各種解法中比較、選擇最優(yōu)化的方法，從而提高解題能力。此外，還要培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣和答題規(guī)范，力求解題完整，以提高得分率。

三、 開(kāi)展變式訓(xùn)練，鞏固解題習(xí)得的技巧

任何巧妙的方法，不經(jīng)過(guò)一定量的訓(xùn)練與鞏固，都無(wú)法內(nèi)化為自己的解題策略。在第二輪復(fù)習(xí)中，教師要精心設(shè)計(jì)專題的變式練習(xí)，及時(shí)對(duì)學(xué)生進(jìn)行鞏固訓(xùn)練，一方面可以強(qiáng)化剛獲得一類問(wèn)題的基本原理和解題方法，另一方面也可以避免大量的重復(fù)練習(xí)，消除題海戰(zhàn)術(shù)。專題復(fù)習(xí)中例習(xí)題變式，可以從問(wèn)題背景、發(fā)問(wèn)方式、題干條件等角度做出實(shí)質(zhì)性改變，從而形成新的問(wèn)題。

圖4

【例3】 如圖4，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且和B，C不重合，連接PA，過(guò)P作PE⊥PA交CD所在直線于E。設(shè)BP=x，CE=y。

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求線段DE的最大值；

（3）將△PEC沿PE翻折至△PEG位置，若點(diǎn)G恰好落在AD上，求BP長(zhǎng)。

本例是一道典型的幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，它以矩形為背景，利用一線三直角和圖形的折疊來(lái)設(shè)置問(wèn)題。解決本題的基本方法是由相似建立函數(shù)關(guān)系，再利用二次函數(shù)的對(duì)稱性求線段的最值，再后通過(guò)勾股定理建立方程求得BP的長(zhǎng)。

為了讓學(xué)生強(qiáng)化在例題分析求解中習(xí)得的方法，提升解題能力，教師不妨對(duì)例題進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪?，讓學(xué)生在變式訓(xùn)練中及時(shí)鞏固解題方法，避免“一講便懂，轉(zhuǎn)眼就忘”的情況發(fā)生。

圖51

圖52

變式：如圖51，在等邊△ABC中，AB=6，D是AB上一點(diǎn)，BD=m，E為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且和B，C不重合，作∠DEP=60°，EP交邊AC于P。

（1）求證：BD·PC=BE·EC；

（2）若點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P總在線段AC上，求m的取值范圍；

（3）若點(diǎn)A與點(diǎn)E關(guān)于直線DP對(duì)稱，請(qǐng)?jiān)谒o的圖52中用尺規(guī)確定點(diǎn)P的位置，并求出AP的長(zhǎng)。

本道變式題將原題背景改為等邊三角形，相應(yīng)保留了一線三等角的構(gòu)圖特征，但在問(wèn)題設(shè)置上作了適當(dāng)變化，使題目煥然一新，有利于學(xué)生在新情景中形成遷移運(yùn)用的能力。其中的第（3）題既保留了原題中折疊對(duì)稱的本意，又增加了推理作圖的步驟，讓試題增加了幾分創(chuàng)新的活力。

總之，在二輪專題復(fù)習(xí)中，我們一定要在精選例習(xí)題的基礎(chǔ)上，強(qiáng)化解題過(guò)程的教學(xué)，在幫助學(xué)生分析解題思路的同時(shí)，揭示問(wèn)題的本質(zhì)與結(jié)構(gòu)特征，以題帶面，總結(jié)一類題型的解題技巧，讓學(xué)生在適量的變式訓(xùn)練中掌握方法，提升能力。

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作者簡(jiǎn)介：

方小龍，福建省福鼎市，福建省福鼎市第十七中學(xué)；

陳少毅，福建省寧德市，福建省寧德市教師進(jìn)修學(xué)院。