借一道高考題談核心素養(yǎng)中的數學運算

關燕曼

◆關鍵詞：高考數學；數學運算；核心素養(yǎng)

像數學建模，直觀想象，數據分析，邏輯推理，書寫抽象，和數學計算，這些都是數學核心素養(yǎng)，這6項數學核心素養(yǎng)不但互相獨立，而且又融會貫通，將相互聯系的個部分連接成一個整體。我們從16年的江蘇高考數學試題中的第十四個問題為依據，來做出分析。

一、高考原題（改為2019年全國1卷）

2019年全國數學高考一卷的原題第五題：函數[x=sinx+xcosx+x2]在[[-π]，[π]]的圖像大致為 。

二、知識點構成及題目來源

本題考查函數的性質與圖象，滲透了邏輯推理、直觀想象和數學運算素養(yǎng).采取性質法或賦值法，利用數形結合思想解題.根據解題思路判斷此函數是奇偶性，[-x=sin（-x）+（-x）cos（-x）+（-x）2=-sinx-xcosx+x2=-（x）]，得其為奇函數，以此類推運算推斷出此題的函數象限圖。

三、考查意圖

這個題，主要考查的就是三角形中的關于弦切互化、兩角和與兩角查，以及正切，余弦和正弦之間變換的知識。因為三角形三個內角分別為銳角而且三個角內角的總和是180°的這兩個條件，以及在一般在函數問題中普遍用求導的或換元的方式來求最值。

本題對于主要考察化歸思想和函數思想，有些地方還考察數形結合思想。在考驗這些解題思想的同時還需要學生的具有一定的運算能力，這也是該題目考察的一個重點，學生在解題時如果可以將考查的思想基本分為化歸思想、函數思想這兩個方面。有些方方面我們可以理解為對數形結合思想的考查。對上面所述方法的應用和能力考查只是一方面，作者認為對學生的運算能力的考查，也是本次的重要標準。假如對復合函數運算的問題，在解決過程中多動腦，對整體代換（或者稱之為換元法）的問題解決有個重要的認知，從而對以上方法的使用更有效，方便快捷。

四、解題方式

隨著6月8號的一聲“考試結束”，一年一度的高考就算結束了，作者便約了幾個同事對此題進行探討，分析出了幾種解題方法，大致的思路都是一樣的，首先使用三角變換，接著根據每個題目的特點進行專門的解決。因此，對三角變換的解析如下：若sinA=2sinBsinC，在銳角三角形ABC中，A=π-（B+C），所以sin[π-（B+C）]=2sinBsinC，即sin（B+C）=2sinBsinC，又sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，得tanB+tanC=2tanBtanC。而在銳角三角形ABC中，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC。

思路一：

構造基本不等式，解決問題。tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC。又tanA+tanB+tanC=tanA+2tanBtanC≥2tanA·2tanBtanC，當且僅當tanA=2tanBtanC時取等號，即得到tanAtanBtanC≥2tanA·2tanBtanC，解不等式得到tanAtanBtanC≥8，所以最小值為8。

思路二：

換元法與整體代換解決問題。tanA=-tan（B+C）=tanB+tanCtanBtanC-1，tanB+tanC=2tanBtanC，所以tanAtanBtanC=tanB+tanCtanBtanC-1，tanBtanC=2tan2Btan2CtanBtanC-1，令tanBtanC=x（x>1），于是有g（x）=2x2x-1，再往下的步驟又分幾種解法：

（1）基本不等式法：x-1=t（t>0），變形成基本不等式形式求解，具體解法略。

（2）求導法：對函數g（x）=2x2x-1求導、列表、求最值，具體解法略。

（3）二次型函數法：將分子x除到分母，用整體代換（或者換元法）求二次函數的最值，即g（x）=2x2x-1=21x-1x2，具體解法略。當然，思路二的重點在于進行換元求解，然后可使思路清晰，方法恰當。

思路三：

消元法解決問題。tanA=-tan（B+C）=tanB+tanCtanBtanC-1，tanB+tanC=2tanBtanC，解出tanC=tanB2tanB-1tanB>12。令tanB=xx>12，則tanAtanBtanC=2x4（x-1）（22x-1），再往后的步驟同思路二中的幾種方法，具體解法略。

思路四：

數形結合解決問題。思路二中，將g（x）=2x2-x-1看成是兩點P（1，0）與Q（x，x2）連線斜率的兩倍，數形結合，轉化為過點P向拋物線y=x2引切線，求切線的斜率，具體解法略。

五、核心素養(yǎng)在本題中的體現

此題的核心，不僅是在邏輯推理，對于運算能力的考查也很重要。由于此題的難度性極大，對學生的運算能力是一種考驗?？墒窃谌粘Ｖ胁捎玫幕臼穷}海戰(zhàn)術，一味的刷題只是追求一個量，卻忽視質的問題，一般在題海戰(zhàn)術中，遇見此類題型直接略過，對學生的運算能力是得不到提高的。所以在數學的學習過程中，腳踏實地的認真對待，掌握運算技巧和知識點，才能夠更加精準的解決問題。深入問題當中的特殊方法，在結合嚴謹的邏輯術語表述，這才是學習數學的方法。數學是一個兩面性的，一是在其中形成這些能力；二是在教學過程中培養(yǎng)這些技能。在數學教育板塊中，中心思想分為三點：學會用數學思維分析世界；學會用數學眼觀觀察世界；學會用數學術語表達世界。邏輯推理、公式運算這就屬于數學的思維模式。特點是嚴謹性，其要求也不只是加減乘除那么簡單。數學在生活中，通過實踐研究，在問題的解決上達到高效、準確、無誤，是解決問題最有效、最快捷的方法。

六、對教學中培養(yǎng)數學運算核心素養(yǎng)的反思

數學計算是在知悉運算法則，然后了解運算對象的前提下來計算處理數學問題的一個歷程。數學運算的主要內容就是，首先來理解運算對象，然后知悉運算法則，然后來研究數學的運算方向，然后選中正確的運算方法，頭腦中預算設置當中的運算順序，然后最終求得計算結果。所以數學運算是一種運算推理，更是解決一般數學問題的一種普遍方式，更是所有計算機處理問題的基本方法。

對于現在的數學當中所產生的問題，我們要在運算中發(fā)現問題時立即去解決問題。數學是一個邏輯性的學科，就是一個對數字的概念，在許多的運算公式進行演繹和推理。然后再得到一個運算法則，對其進行論證以及試用。要不是規(guī)于書寫格式的要求，用“三段論”的形式表達最為明顯。由于數學的多樣性，一道問題的解析有很多種，所以課堂上老師往往要通過多個角度去講解數學知識。其根本作用就是通過多樣式的教學，提高教學質量。

七、推廣的意義——舉一反三能力的提高

在提升所有學生的數學運算技能方面，其中訓練其聞一知十的能力是非常有效且非常關鍵。而這種聞一知十的數學運算能力，不僅是身為教師在課堂教學方面，進行變形讓學生多加在課堂中學習外，平時學生自己的多加訓練，更重要的需要學生自己能夠對此有興趣來對問題的變化來積極的參加、參與。這樣子才會讓他有效的學會此項技能。而且最重要的就是要在數學變式的歷程中知道幾個必須依照幾個重要的原則。第一個，就是必須遵循教學應用的合理性，以及相似性、漸進性和變異性。