解題后的“風(fēng)景”

俞昕

高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)主要任務(wù)是解題教學(xué)，但是解題教學(xué)往往會(huì)存在這樣一個(gè)怪圈：教師把這道題目講清楚了，學(xué)生也聽明白了，但是換一道題目，學(xué)生又碰到了困難，繼而教師再一次徹徹底底地把題目講清楚.這種情況似乎在周而復(fù)始的經(jīng)歷著，學(xué)生覺得數(shù)學(xué)太難學(xué)，教師也覺得數(shù)學(xué)太難教，感覺有些東西只可意會(huì)不可言傳.教師如何把數(shù)學(xué)教透教深，學(xué)生如何把數(shù)學(xué)學(xué)清學(xué)順，答案不僅僅在于整個(gè)解題過程之中，更在于解題后的“風(fēng)景”.喬治·波利亞在《怎樣解題》中指出解題的思維過程有：弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、回顧與反思，“回顧與反思”就是解題后的一道獨(dú)特“風(fēng)景”.

1?解讀“風(fēng)景”

解題教學(xué)中如果學(xué)生只知道大量做題，常常會(huì)感到解題是“來也匆匆，去也匆匆”，既不知道解法是如何發(fā)現(xiàn)的，也不知道該題目與其他概念、理論、方法和問題的廣泛聯(lián)系，更不清楚題目還會(huì)有怎樣的發(fā)展，所以我們需要引導(dǎo)學(xué)生在解題后進(jìn)行元認(rèn)知反思、發(fā)散性拓展和關(guān)聯(lián)性拓展.

1.1?解題后需要元認(rèn)知反思

教師在指導(dǎo)學(xué)生解題后應(yīng)當(dāng)繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己提出許多有用的問題：“關(guān)鍵在哪里？主要的困難是什么？什么地方我可以完成得更好些？我為什么沒有察覺到這一點(diǎn)？要看出這一點(diǎn)我必須具備哪些知識(shí)，應(yīng)該從什么角度去考慮？”解題中最重要的那部分回去再看一下完整的解答，回顧自己的解題過程和最后的解答形式.尤其需要深思題目的困難之處及決定性的觀念，可以嘗試去了解在解題思路受阻的時(shí)候是什么阻礙了思路，又是什么最后幫助自己從困境中解脫出來.

元認(rèn)知反思是對(duì)解題活動(dòng)的“再認(rèn)識(shí)”，一方面回顧問題被解決過程中所涉及的有關(guān)知識(shí)、解題方法以及理解題意的過程，另一方面更要反思問題一開始是怎樣探索的，走過哪些彎路，產(chǎn)生過哪些錯(cuò)誤，為什么會(huì)出現(xiàn)這些彎路和錯(cuò)誤等.通過反思，可以看到數(shù)學(xué)的第二個(gè)側(cè)面，也就是看到“處于發(fā)現(xiàn)過程中的數(shù)學(xué)[1]”.通過元認(rèn)知反思所完成的解答，通過重新考慮和重新檢查這個(gè)結(jié)果以及得出這一結(jié)果的途徑，可以鞏固所學(xué)知識(shí)和發(fā)展解題能力.

1.2?解題后需要發(fā)散性拓展

解題后的反思不能只是就題論題、就題論法、就題論道，只囿于解答這個(gè)題目本身，局限于“檢查答案是否正確”或記憶回顧所解答問題的過程，這樣的反思就常常流于形式和低層次化，起不到培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的目的.因此，需要提倡發(fā)散性拓展，這種拓展有利于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題及其解答的來龍去脈，有利于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題、方法和理論之間的廣泛聯(lián)系，有利于發(fā)現(xiàn)許多相關(guān)結(jié)果中的交匯點(diǎn).僅就問題解決的一個(gè)周期而言，問題提出是問題解決的開始，而對(duì)數(shù)學(xué)家或好的問題解決者來說，一個(gè)問題的解決往往孕育著新問題的產(chǎn)生[2].

數(shù)學(xué)家總是積極地以已經(jīng)得到解決的問題為基礎(chǔ)不斷提出新的問題，從而不斷地達(dá)到新的更大的抽象高度，得到更一般性的結(jié)果.因而，提出問題→解決問題→提出較高層次的問題→解決較高層次的問題→提出更高層次的問題→…如此形成一個(gè)螺旋上升的“問題鏈”，而問題提出和解決是其中的一個(gè)結(jié)點(diǎn)，有時(shí)很難界定它們之間的包容關(guān)系.實(shí)踐中，數(shù)學(xué)家們也從來不滿足于澄清手邊的問題，總是在取得了某些新知識(shí)以后，利用它去解釋更新的知識(shí)，而且往往是更具重要意義的知識(shí).

1.3?解題后需要關(guān)聯(lián)性拓展

在某些看上去并無(wú)聯(lián)系的數(shù)學(xué)問題之間是否隱藏著某種普遍性的理論？這些數(shù)學(xué)問題能否被納入某個(gè)統(tǒng)一的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)？這就是更高層次的關(guān)聯(lián)性拓展反思，它反映了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性.數(shù)學(xué)家往往就是這種關(guān)聯(lián)性拓展反思的高手.雖然學(xué)生不是數(shù)學(xué)家，但是教師需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“數(shù)學(xué)家式”的關(guān)聯(lián)性拓展反思.尤其是當(dāng)學(xué)生在解決問題過程中碰到困惑或發(fā)生錯(cuò)誤時(shí)，更是要考慮為什么會(huì)發(fā)生這樣的錯(cuò)誤？產(chǎn)生這些錯(cuò)誤的原因是什么？這個(gè)問題的本質(zhì)又是什么？這種反思可以作為幫助學(xué)生精心組織自己思維的方法以克服轉(zhuǎn)化困難.

尋找不同數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)是數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)的重要途徑，在數(shù)學(xué)解題過程中同樣可以挖掘不同數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)性.從典型的問題出發(fā)去尋找共性，這樣常常可以得到一些意想不到的結(jié)論，更為重要的是探索過程對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的探究思維、創(chuàng)新意識(shí)以及學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)家的思維方式是大有好處的.

3?賞析“風(fēng)景”

從某種意義上說，數(shù)學(xué)解題只是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一部分，而解題后的“風(fēng)景”則更加迷人和具有吸引力，解題之后有大量的工作需要教師引導(dǎo)學(xué)生去做.正如波利亞指出：教師的首要職責(zé)之一是不能給學(xué)生下列印象：數(shù)學(xué)題相互之間幾乎沒有什么聯(lián)系，與其它事物也根本毫無(wú)聯(lián)系.我們要讓學(xué)生養(yǎng)成一種良好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的習(xí)慣“反思”[4]：當(dāng)回顧一個(gè)已經(jīng)得到解決的題目時(shí)，自覺地反思這個(gè)問題的本質(zhì)，考察這個(gè)題目與其它事物之間的相互聯(lián)系.我們要讓學(xué)生深刻地認(rèn)識(shí)到：沒有任何一個(gè)數(shù)學(xué)題目是徹底完成了的，總還會(huì)有些事情可以做.當(dāng)你找到第一個(gè)蘑菇或做出第一個(gè)發(fā)現(xiàn)后，繼續(xù)觀察，再四處看看，就能發(fā)現(xiàn)一堆蘑菇，因?yàn)樗鼈兛偸浅扇荷L(zhǎng).解題也是一樣，通過解題后的各種反思，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題與問題之間、方法與方法之間、概念與概念之間、體系與體系之間的包含關(guān)系、相似關(guān)系、相聯(lián)關(guān)系等，并進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)部之間各種各樣的有機(jī)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，解題之后進(jìn)行推廣引申，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，還能幫助學(xué)生洞察本質(zhì)、提高認(rèn)識(shí)、居高臨下、跳出題海、事半功倍.

參考文獻(xiàn)

[1]?鄭毓信.數(shù)學(xué)教育視角下的“核心素養(yǎng)”[J].數(shù)學(xué)教學(xué)學(xué)報(bào)，2016，25（3）.

[2]?王光明.高效數(shù)學(xué)教學(xué)行為的特征[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011，20（1）.

[3]?徐彥輝.數(shù)學(xué)解題后的“回顧與反思”與數(shù)學(xué)問題的提出[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015，24（1）.

[4]?梁棟，朱鴻玲.數(shù)學(xué)概念二次教學(xué)的實(shí)踐與反思[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015，24（2）.