整體建構 啟迪思維

劉玉華 王文清

【摘?要】?函數(shù)的單調性是高中階段第一個用數(shù)學符號語言來定量刻畫的函數(shù)性質，對于函數(shù)其它性質的學習具有范式的作用.函數(shù)的單調性是學習函數(shù)極限、導數(shù)等其它數(shù)學知識的重要基礎，是解決數(shù)學問題的重要模型和常用工具，也是發(fā)展學生數(shù)學素養(yǎng)的重要載體.本教學設計從數(shù)學知識整體的角度設計教學，讓學生了解知識的來龍去脈，感受知識的形成過程，把握數(shù)學的本質，啟迪思維.

【關鍵詞】?函數(shù);單調性;整體建構;啟迪思維

1?教學目標及重難點

1.1?教學目標

（1）通過引導學生觀察、思考、交流、歸納、反思，幫助學生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調性的概念，初步掌握利用函數(shù)圖象和單調性定義判斷、證明函數(shù)單調性的方法;進一步體會數(shù)形結合的思想.

（2）通過“問題驅動”，激發(fā)學生數(shù)學學習的求知欲，發(fā)展學生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學抽象等核心素養(yǎng).

1.2?教學重難點

教學重點：增（減）函數(shù)定義及其形成過程，判斷和證明簡單函數(shù)的單調性.

教學難點：從圖象升降的直觀感知抽象出增（減）函數(shù)的定義.

2?教學過程

2.1?溫故知新，創(chuàng)設情境

設計說明：從學生初中學過的函數(shù)入手，在學生思維的最近發(fā)展區(qū)設置問題，使學生學會研究函數(shù)基本性質的方法，從而引出課題.

師：我們在初中學過哪幾種函數(shù)？請你分別畫出它們具有代表性的一個草圖.

生眾：正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù).

（師選取學生畫的四種函數(shù)圖象并投影.）

師：根據(jù)我們選取的函數(shù)圖象，你能說出它有哪些特征嗎？

師：同學們回答得很好，在事物變化過程中，保持不變的特征就是這個事物的性質. 函數(shù)的性質有很多，今天我們先學習函數(shù)從左到右圖象上升或下降的這種變化規(guī)律——函數(shù)的單調性.

點評?學生經(jīng)常覺得“課堂上聽得懂，課下不會做題”，原因在于學生不明白應該怎樣思考問題，如何學習新知識，本設計較好地示范了如何學習新知，體現(xiàn)了數(shù)學教學就是要通過數(shù)學教會思維.

2.2?循序漸進，建構定義

點評?通過觀察函數(shù) f（x）=x2的圖象，從形的角度，完成對函數(shù)單調性的第一次認識;然后，從“數(shù)”的角度，在y軸左（右）側，描述函數(shù)值隨著自變量x的增大而減?。ㄔ龃螅?，完成對函數(shù)單調性的第二次認識;接下來，通過不斷設問、追問，引導學生思考不斷深入、觸及本質和核心，進而運用符號語言描述“函數(shù)值f（x）隨著自變量x的增大而增大（減?。?，完成對函數(shù)單調性的第三次認識;并在這一重點、難點之處，適時讓學生先獨立思考，再小組交流、討論，這是很及時、很必要、很有效的;最后，把函數(shù) f（x）=x2的單調性，推廣到一般函數(shù)的單調性，完成對函數(shù)單調性的第四次認識.上面“口答”中的3個小題雖然簡單，但較好地完成了對函數(shù)單調性定義的第一次深化理解——定義的充要性特質.在這一環(huán)節(jié)的教學中，函數(shù)單調性定義的建構充分體現(xiàn)了數(shù)形結合、特殊到一般的數(shù)學思想方法，數(shù)學抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)較好地得到了落實.

2.3?解決問題，深化理解

設計說明：通過兩個例題，讓學生知道判斷函數(shù)的單調性有2種方法：圖象法和定義法，進一步鞏固和深化學生對函數(shù)單調性定義的理解.

點評?例1（1）是前面根據(jù)圖象判斷函數(shù)單調性題目的變式，由原來的連續(xù)函數(shù)變?yōu)榉侄魏瘮?shù)，完成對函數(shù)單調性定義的第二次深化理解;（2）通過判斷正誤，特別是③，是定義的等價形式，幫助學生透過現(xiàn)象看本質，完成對函數(shù)單調性定義的第三次深化理解.

點評?執(zhí)教者注意暴露學生的思維過程，抓住學生的易錯點、模糊點進行辨析，對證明過程糾正、完善，完成對函數(shù)單調性定義的第四次深化理解.

2.4?反思小結，形成網(wǎng)絡

設計說明：課堂小結從以下五個方面設計，主要是幫助學生梳理數(shù)學知識，總結數(shù)學方法，體會數(shù)學思想，感悟學習過程，通過畫出知識結構圖，使學生的思維網(wǎng)絡化、條理化.

師：同學們，我們本節(jié)課學習了哪些知識？是如何獲得這些知識的？在獲得這些知識的過程中用到了哪些思想、方法？有哪些基本題型？你有何感悟？

學生回答，師補充完善并出示本節(jié)課的結構圖（略）.

2.5?跟蹤訓練，鞏固深化

設計說明：作業(yè)的目的是進一步鞏固所學，作業(yè)1進一步回扣本節(jié)課開頭提出的問題，從“形”和“數(shù)”兩個角度討論函數(shù)的單調性;作業(yè)2進一步深化對函數(shù)單調性定義的理解，掌握證明的步驟.

點評?平時教學中，作業(yè)布置存在多而雜的現(xiàn)象，本作業(yè)設計雖然數(shù)量不多，但極具探究性和代表性，作業(yè)1涉及分類討論思想，作業(yè)2涉及轉化與化歸思想，都是對所學函數(shù)單調性的鞏固深化，題目不難，但較好地培養(yǎng)了學生的邏輯推理能力.

3?總評

要上好一節(jié)課，必須站在數(shù)學知識系統(tǒng)的高度進行整體把握，要有一條主線貫穿課堂始終，避免僅僅就事論事，把知識點一個個孤立起來進行教學.本節(jié)課的主線清晰，脈絡分明，充分調動學生思維的積極性，讓學生學得了知識、掌握了方法、提高了能力，較好地發(fā)展了學生的邏輯推理、數(shù)學抽象等核心素養(yǎng).

3.1?整體建構，創(chuàng)設情景

好的開端是成功的一半.創(chuàng)設合理的情境引入課題，是上好課的關鍵.本節(jié)課的引入從復習初中學習過的函數(shù)入手，在學生思維的最近發(fā)展區(qū)設置問題，使學生明白新知識的學習不是“從天而降”，不過是在舊知識基礎上的進一步延伸、拓展和深化，讓學生清楚應該如何研究函數(shù)的基本性質，研究函數(shù)的哪些性質等等，讓學生“知其然”，并且知其“所以然”.這樣，學生學到的不僅僅是知識，還有思考問題的方法.

3.2?思維核心，注重素養(yǎng)

）上函數(shù)值f（x）隨著自變量x的增大而增大呢？”，“將其推廣到一般情況，試給出增函數(shù)的定義，并類比得出減函數(shù)的定義”，引導學生從感性認識（形）上升到理性認識（數(shù)），從具體（特殊的二次函數(shù)）到抽象（一般的函數(shù)），符合學生的認知規(guī)律，使得學生的認識不斷螺旋上升，發(fā)展了學生的數(shù)學抽象素養(yǎng).又如，對定義的深化理解，也是分為四個階段，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的單調性，根據(jù)分段函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的單調性，通過文字敘述辨析函數(shù)的單調性，最后利用定義證明函數(shù)的單調性，深化的過程由淺入深，“知道——理解——掌握”，逐步推進，設計可謂極具匠心，較好地發(fā)展了學生的邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學運算素養(yǎng).

3.3?邏輯清晰，重點突出

本節(jié)課的邏輯清晰，課堂以“情境引入——建構定義——定義應用”為線索，站在知識整體的角度設計;建構定義，通過循序漸進的四次認識完成;定義運用通過循序漸進的四次深化，使得本節(jié)課始終圍繞一個主題“函數(shù)的單調性定義”進行，重點突出鮮明.其中在定義的建構環(huán)節(jié)，用符號語言描述“函數(shù)值f（x）隨著自變量x的增大而增大（減小）”是重點也是難點，為此，教師“咬文嚼字”，引導學生說出“要描述自變量x的增大，就要取兩個不同的x值，然后比較相應的函數(shù)值f（x）的大小”等等;又如，“任意”兩字是學生認識的難點，為此，教師通過引導學生舉反例、畫圖象等，讓學生充分認識“任意”的必要性和重要性.整節(jié)課，教師主導給力，學生主體用力，課堂和諧，一派生機.

《普通高中數(shù)學課程標準》（2017年版）指出：“數(shù)學教育幫助學生掌握現(xiàn)代生活和進一步學習所必需的數(shù)學知識、技能、思想和方法;提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，引導學生會用數(shù)學眼光觀察世界，會用數(shù)學思維思考世界，會用數(shù)學語言表達世界;促進學生思維能力、實踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展，探尋事物變化規(guī)律……” [1]本節(jié)課較好地做到了這一點.

參考文獻

[1]?中華人民共和國教育部制定.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.1.