一次函數(shù)建模的教學(xué)

楊建永

摘 ? 要：核心素養(yǎng)是關(guān)于學(xué)生知識、技能、情感、態(tài)度、價值觀等多方面要求的結(jié)合體，它指向過程，關(guān)注學(xué)生在其培養(yǎng)過程中的體悟、而非結(jié)果導(dǎo)向。其中，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)對學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)至關(guān)重要，對提升學(xué)生的核心素養(yǎng)也有非常積極的作用，值得在數(shù)學(xué)活動中著力發(fā)展。

關(guān)鍵詞：函數(shù)模型;數(shù)學(xué)素養(yǎng);核心素養(yǎng)

中圖分類號：G633.6 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ?文章編號：1009-010X（2019）17-0040-03

數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)，是要讓學(xué)習(xí)者會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界，而數(shù)學(xué)的眼光就是抽象，數(shù)學(xué)的思維就是推理，數(shù)學(xué)的語言，就是模型。

——摘自《數(shù)學(xué)基本思想18講》史寧中

函數(shù)是研究現(xiàn)實世界變化規(guī)律的重要模型，用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題，轉(zhuǎn)化問題和解決問題，將有助于人們更好地認(rèn)識世界。在北師大版初中教科書中，函數(shù)作為代數(shù)部分的學(xué)習(xí)主線貫穿始終;在七年級，學(xué)生對函數(shù)的學(xué)習(xí)處于感受階段，在八年級從變量出發(fā)，獲得函數(shù)的定義，開始學(xué)習(xí)初等函數(shù)。

在函數(shù)學(xué)習(xí)過程當(dāng)中，學(xué)生數(shù)學(xué)思維方式和學(xué)習(xí)方法也發(fā)生了重要的變化，思維從靜態(tài)走向運動，從離散走向連續(xù)，從運算轉(zhuǎn)向了關(guān)系，表示方法也從單一轉(zhuǎn)向了多樣化。也就是說，與常量學(xué)習(xí)相比，函數(shù)更具有抽象性，形式化的程度也很高。而一次函數(shù)是初中生第一個學(xué)習(xí)的函數(shù)模型，也是中學(xué)數(shù)學(xué)的一項重要教學(xué)內(nèi)容，為今后函數(shù)教學(xué)奠定基礎(chǔ)。如果能適當(dāng)把握好一次函數(shù)教學(xué)的機會，就能培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的興趣，為以后函數(shù)的學(xué)習(xí)做好鋪墊。如果學(xué)生對于一次函數(shù)的概念不能理解，那后續(xù)的反比例和二次函數(shù)的學(xué)習(xí)就難上加難。如何在已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上幫助學(xué)生更好地解決一次函數(shù)應(yīng)用問題呢？筆者認(rèn)為依托具體情境，在教學(xué)活動中滲透建模思想，會達(dá)到更好的效果。

一、創(chuàng)設(shè)豐富和貼近學(xué)生生活的函數(shù)模型

一元一次函數(shù)在日常生活中應(yīng)用十分廣泛，比如在計算速度路程問題時，其中涉及到變量的線性依存關(guān)系，可利用一元一次函數(shù)解決這類問題。在教學(xué)時可以錄制相向運動的視頻，學(xué)生結(jié)合自己的經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)在這個過程中，隨著時間的變化，甲乙兩者之間的距離也發(fā)生變化，大致描述兩位同學(xué)之間的距離隨時間變化而變化的情況。

二、通過建立圖象感受兩個變量之間的關(guān)系

你能不能畫個簡圖大致描述兩位同學(xué)之間的距離隨時間變化而變化的情況。

問題：（1）在這個變化過程中是哪些量之間的變化過程？

（2）在這個圖象中，x，y分別表示的是什么？

x：運動時間，y：乙離A地的距離.

（3）繼續(xù)觀看視頻，甲乙相遇之后沒有停止運動，分別到達(dá)對方的起點后停止運動，完善細(xì)化你的圖象。

（4）描述兩位同學(xué)之間的距離隨時間變化而變化的情況，說明圖象里各個點的意義。

解答前面四個問題的過程實際上就是建立函數(shù)模型的過程：

（1）審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型。

（2）建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。

學(xué)生把路程與時間的數(shù)量抽象出來，在具體的一次函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，整體觀察、分析這些量之間的關(guān)系，把抽象的概念和具體的事例聯(lián)系起來，運用變化的觀點去理解和分析。

三、通過細(xì)化圖象進(jìn)一步分析兩個變量之間的關(guān)系

在七年級的變量學(xué)習(xí)過程當(dāng)中，學(xué)生們已經(jīng)能夠基本了解，函數(shù)不是數(shù)或運算，需要從變化的視角來分析兩個變量之間的相互依存關(guān)系，當(dāng)自變量改變時因變量也發(fā)生變化，當(dāng)自變量確定時因變量也唯一確定;所以前面的環(huán)節(jié)學(xué)生進(jìn)行的難度不大。進(jìn)入八年級，學(xué)生的抽象思維得到了發(fā)展，能夠把現(xiàn)實生活的數(shù)量抽象為數(shù)，計算、分析這些量之間的關(guān)系，也能夠在觀察分析問題時進(jìn)行聯(lián)系，體會圖象是進(jìn)一步刻畫這個函數(shù)模型的工具。

問題：（1）你能在具體點的位置標(biāo)識上合適的數(shù)字嗎？

（2） 通過這個圖象你能得到哪些信息？

①每個人的行程均為60m.

②甲乙二人10s時相遇.

③甲乙的速度和為■=6m/s.

④乙用30s到達(dá)終點.

⑤V乙=■=2m/s

⑥V甲=6-2=4m/s

⑦A（0，60）

⑧B（10，0）

⑨C（15，30）

⑩D（30，60）

（3）通過這個圖象你還能得到哪些信息？

①yAB=-6x+60（0≤x≤10）

②yBC=-6x-60（10≤x≤15）

③yCD=2x（15≤x≤30）

各段圖象都可以用待定系數(shù)法解決.

（4） 對于BC段直線有沒有其他解法？

yBC=-kx+b（10≤x≤15）

在BC段與AB段都是甲乙二人的速度和，所以k=6，而利用函數(shù)圖象直線的特征，將其延長就可以得到B=-60.

（5）在時間與路程的圖象中是否能夠清晰的感受到速度的變化，進(jìn)而能夠用更簡單的方法求解CD段的函數(shù)解析式。

進(jìn)一步遷移剛剛BC段的方法，CD段只有乙一個人在走，兩者之間的距離就是乙獨自產(chǎn)生的yCD=2x（15≤x≤30）.

此時完成一次函數(shù)建模問題，求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論。

四、利用函數(shù)模型解決實際問題

（1）①當(dāng)兩人出發(fā)8秒時，兩人之間的距離是 12米 .

②當(dāng)出發(fā)16s時，兩者之間的距離是 32.4米.

③當(dāng)兩個人之間的距離為12m時，時間為 8秒或12秒.

（2）哪段時間，甲乙二人有機會可以連上手機藍(lán)牙隔空投送（說明，兩人使用同一型號手機，距離不超過五米）。

解決實際應(yīng)用問題應(yīng)強調(diào)以下兩點：

（1）還原：將數(shù)學(xué)問題還原為現(xiàn)實意義。

（2）反思回顧：對于數(shù)學(xué)建模得到的數(shù)學(xué)解，必須驗證這個數(shù)學(xué)解對實際問題的合理性。

在能夠把現(xiàn)實生活中的數(shù)量抽象出來，計算這些量之間的關(guān)系，整體觀察、分析這些量之間的關(guān)系后，把抽象的概念和具體的事例聯(lián)系起來具體分析，運用變化的觀點去進(jìn)一步理解和分析這些量之間的關(guān)系。

同時在建模一次函數(shù)的過程中將函數(shù)、方程、不等式聯(lián)系在一起。在具體的教學(xué)過程中，一直關(guān)注自變量的取值范圍，在現(xiàn)實生活中，自變量的取值往往是有界的，在上面的活動中，借助具體實例，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考自變量的取值不是任意的，幫助學(xué)生認(rèn)識在研究一次函數(shù)中要注意自變量的取值范圍，從具體到抽象，使學(xué)生對函數(shù)的概念有完整的認(rèn)識。

五、學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆

在建模一次函數(shù)的過程中通過初步語言描述、圖象表示、符號表示這個隨時間變化而兩者之間距離變化的過程，讓學(xué)生通過思考、討論、操作以及完成真實情景中的任務(wù)等活動學(xué)會自我學(xué)習(xí)、協(xié)作學(xué)習(xí)和探究學(xué)習(xí)。

教師要貼近學(xué)生認(rèn)知水平設(shè)計科學(xué)、合理、有價值的具體問題。在一次函數(shù)應(yīng)用教學(xué)過程當(dāng)中，筆者用一組活動串問題，幫學(xué)生指明了研究的方向，引導(dǎo)學(xué)生研究問題、分析問題、解決問題，通過體驗、建構(gòu)及內(nèi)化等過程逐步形成相對穩(wěn)定的思維方法和價值觀。

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界空間形式、數(shù)量關(guān)系、模式和秩序的科學(xué)，建立教學(xué)模型的程序大概如下：

（1）審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型。

（2）建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。

（3）求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論

（4）還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實際問題的意義。

（5）反思回顧：對于數(shù)學(xué)建模得到的數(shù)學(xué)解，必須驗證這個數(shù)學(xué)解對實際問題的合理性。

六、結(jié)語

一次函數(shù)的學(xué)習(xí)對于初中學(xué)生既是重點，更是難點。建立一次函數(shù)模型對學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)至關(guān)重要，對提升學(xué)生的核心素養(yǎng)也有非常積極的作用。核心素養(yǎng)兼具穩(wěn)定性與開放性、發(fā)展性，是一個伴隨終身可持續(xù)發(fā)展、與時俱進(jìn)動態(tài)優(yōu)化過程，是個體能夠適應(yīng)未來社會、促進(jìn)終身學(xué)習(xí)、實現(xiàn)全面發(fā)展的基本保障。

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