歐拉公式在高中三角函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

胡楊勇 譚建國(guó)

◆摘 要：歐拉公式是瑞士數(shù)學(xué)家歐拉導(dǎo)入的一個(gè)重要公式，在歐拉公式中，第一次將指數(shù)函數(shù)、虛數(shù)單位i與三角函數(shù)統(tǒng)一于一個(gè)優(yōu)美而簡(jiǎn)潔的公式中。以它為基礎(chǔ)得到的歐拉恒等式被認(rèn)為是數(shù)學(xué)上最優(yōu)美的公式之一。本文以歐拉公式與三角函數(shù)的關(guān)系為基礎(chǔ)，在借鑒前人研究工作的基礎(chǔ)上，對(duì)歐拉公式在高中三角函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行了初步的討論，希望能對(duì)高中數(shù)學(xué)中相關(guān)知識(shí)的教學(xué)提供參考。

◆關(guān)鍵詞：歐拉公式；三角函數(shù)；應(yīng)用

一、歐拉公式

歐拉是18世紀(jì)最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家，也是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一。1748年，瑞士數(shù)學(xué)家和自然科學(xué)家歐拉導(dǎo)入了一個(gè)重要的公式（歐拉公式）：

在歐拉公式中，第一次將指數(shù)函數(shù)、虛數(shù)單位i與三角函數(shù)統(tǒng)一于一個(gè)優(yōu)美而簡(jiǎn)潔的公式中。

若在歐拉公式中令[θ=π]，即得恒等式[eπi+1=0]（歐拉恒等式）被認(rèn)為是數(shù)學(xué)上最優(yōu)美的公式之一。歐拉恒等式很多時(shí)候也被叫做歐拉公式，它是數(shù)學(xué)里最令人著迷的一個(gè)公式，它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個(gè)常數(shù)聯(lián)系到了一起：兩個(gè)超越數(shù)：自然對(duì)數(shù)的底e，圓周率π，兩個(gè)單位：虛數(shù)單位i和自然數(shù)的單位1，以及數(shù)學(xué)里常見(jiàn)的0。數(shù)學(xué)家們?cè)u(píng)價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式”，我們只能看它而不能理解它。

二、歐拉公式與三角變換

3.歐拉公式在三角函數(shù)解題中的應(yīng)用

（1）三角恒等式的證明

此題做法的優(yōu)點(diǎn)：同學(xué)們完全可以不用去考慮三角函數(shù)公式的選擇，只需要將所有的三角函數(shù)式用歐拉公式替換，從而將證明題轉(zhuǎn)換成指數(shù)運(yùn)算的題目，難度降低。

（2）三角函數(shù)積的計(jì)算

當(dāng)然，此題如果基礎(chǔ)較為扎實(shí)的學(xué)生能觀察出角[π9，2π9，4π9]存在二倍關(guān)系，想到用配湊正弦的二倍角公式也能求解。但學(xué)生們?cè)谶x擇公式方面本來(lái)就是一個(gè)難點(diǎn)，此種方法的單一性剛好克服了這一缺點(diǎn)。此題中用到了等比數(shù)列前n項(xiàng)和的求和公式和由歐拉公式得到的指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)。

參考文獻(xiàn)

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基金項(xiàng)目：云南省文山州“十三五”教育科研2018年度課題-“新高考背景下普通高中課堂教學(xué)改革研究”。