相對性原理與慣性系的時空變換

戴又善 ，倪杰

（1.浙江大學城市學院，浙江杭州310015；2.浙江大學物理系，浙江杭州310027）

愛因斯坦在1905年提出了狹義相對論[1-2]（以下簡稱相對論）,100多年來，相對論經受了大量實驗的檢驗，已成為近代物理的理論基礎。傳統相對論是建立在相對性原理和光速不變原理的基礎上。傳統相對論告訴我們，慣性系之間的時空變換為洛倫茲變換[3]，但在各種相對論教科書和文獻中，推導洛倫茲變換公式通常需要基于一些基本假設，如時空為線性變換的假設以及光速不變的假設[4-5];在一些教科書和文獻中，常用牛頓慣性定律以及慣性系的時空平移不變性來證明慣性系的時空變換必須為線性變換[6-7]。當然，系統的能量守恒和動量守恒來源于時空的平移不變性。盡管這些物理定律和假設（如牛頓慣性定律，動量守恒和能量守恒定律，以及光速不變假設）可以與相對性原理相自洽，但其本質上均獨立于相對性原理，對于洛倫茲變換公式的推導只是充分條件而不一定是必要條件。如果不依賴這些額外假設，僅僅由相對性原理能否推導出慣性系之間的時空變換公式是一個值得探討的問題。

眾所周知，在相對論運動學中依據光速不變假設可以推導出洛倫茲變換公式，而在相對論動力學中利用洛倫茲變換公式以及動量守恒和能量守恒定律可以得到質速關系和質能關系E=mc2[8]。在一些場論的教科書中則是通過構造單粒子的拉氏量來建立相對論力學[9-10]，但拉氏量的構造需要以物理對稱性作為理論基礎，顯然上述的拉氏量具有洛倫茲變換和時空平移變換下的不變性。拉氏量中的洛倫茲對稱性和引進極限速度c的物理依據是光速不變假設,而時空平移不變性則意味著動量守恒和能量守恒。因而通常認為傳統相對論理論必須是建立在光速不變假設和動量、能量守恒定律之上的。

光速不變假設是否為相對論的必要條件值得質疑，光速不變的實質是理論上將光子作為零靜質量粒子以及引進了光速c作為極限速度。由于相對論是普遍適用的基礎理論,不應建立在特殊物質的特性之上。即使不依賴光、不依賴靜質量為零的粒子，相對論依然應當成立。筆者分別在文獻[11]中通過討論一個完全非彈性碰撞過程、在文獻[12]中通過討論一個兩體彈性散射過程、在文獻[13]中通過討論粒子的兩體衰變過程，均證明了只需依據相對性原理和動量、能量守恒定律，就可以建立相對論理論；也可以不依賴靜質量為零的粒子來引進極限速度vm。說明光速不變假設只是建立相對論的一個充分而非必要條件。

雖然通常利用動量守恒和能量守恒定律來推導相對論質速關系和質能關系，但對于動量守恒和能量守恒定律是否為建立相對論的必要條件同樣存有疑問。質能關系和質速關系應該是粒子的基本物理屬性，而一個自由粒子本身所具有的質能關系和質速關系顯然與相互作用過程無關，也與外部是否存在光子無關，因而粒子的質能關系和質速關系本質上并不依賴于光速不變假設和相互作用守恒定律。

本文僅依據相對性原理，就可證明慣性系之間的時空變換必為線性變換。說明慣性系的時空線性變換特性是相對性原理的直接推論。同時，建立了時空線性變換系數與粒子無量綱質速關系之間的普遍聯系。因此,只要知道了質速關系就能完全確定時空變換公式。本文的推導無須討論相互作用過程，因而也不再依賴動量守恒和能量守恒定律。依據相對性原理最終推導了慣性系之間時空變換的廣義洛倫茲變換公式。需要說明的是，在筆者以前發(fā)表的相對論研究論文中，均假設了時空變換是線性變換[11-14]，因而本文也是依據相對性原理提供了對于慣性系時空變換必須是線性變換的一個補充證明。

1 時空變換公式與粒子質速關系

下文僅限討論存在靜止參考系的粒子,即允許粒子靜止在參考系中，因此可以定義這類粒子具有非零的靜質量m0>0。當粒子運動速度為v時,粒子的動量為p=p(v)?？紤]單位矢量令函數m()=|，由此可得 p(v)=m()。因為和p都是三維空間矢量，在空間反演下變號：則 有m(-)=m()，由此可知，要求 m()=m，其中v=|v|。而能量在空間反演下不變，E()=E。則粒子動量和能量的一般形式分別為

其中m=m(v2)是粒子運動速度的函數，且具有質量的量綱,稱為動質量，其函數關系通常稱為質速關系。粒子的靜質量為

依據相對性原理，所有慣性系都是等價的，則在不同慣性系中要求動量和能量對于粒子速度的依賴關系具有相同的函數形式，即在任意慣性系S′中，當粒子的速度為v'時，其動量和能量可表示為

設一相對于慣性系S沿X方向以速度V運動的慣性系 S′，見圖 1。

圖1 不同慣性系的時空變換Fig.1 Transformation of space-time in different inertial reference frames

相應地，一般時空變換關系為

對式（4）求導可得

由此可求得一般的速度變換關系為

由于S′系和S系在Y方向無相對運動，因此，在2個參考系中粒子動量的Y方向分量保持不變：py=p′

y（嚴格證明見附錄A）[15]。需要強調的是，這并非相互作用過程中的動量守恒要求，而是動量本身在參考系變換下所具有的線性變換特性。由式(6)可得

因而有

當一粒子靜止在S′系中即v'=[0,0,0]，在S系中 該 粒 子 的 速 度 為 v=[V,0,0]，即 有 v′x=0，vx=V，v′2=0，v2=V2。 由 式 (6)第 1 式 可 得 0=即有

由式(8)則有

若考慮一粒子靜止在S系中,即v=[0,0,0]，則該粒子相對于S′系的運動速度為v'=[-V,0,0]，即有 vx=0，v′

x=-V，v2=0，v′2=V2。代入式(8)后可化為

代入式(10),即有

需要說明的是，雖然上述關系是在粒子運動速度的某種特例情況下推得的，但由于f1(x,t)和f2(x,t)只是時空坐標的函數，而與具體粒子的運動速度無關，因此可推知上述關系式對粒子任意運動速度都普遍成立。代入式(5)，則有

對于慣性系之間的相對運動，由于V為常量，因此γ(V2)也與時空坐標無關，對式（17）積分可得（取齊次時空變換，即令積分常數為0）：

由此無須引入額外的假設，僅依據相對性原理證明了不同慣性系之間的時空變換為線性變換。而慣性系的速度變換關系則為

以上推導說明不同慣性系之間的時空線性變換系數與無量綱質速關系γ(V2)=m(V2)/m0的具體函數形式有關。通常在傳統相對論中，利用光速不變假設建立的洛倫茲變換公式為

則可確定相對應的無量綱質速關系為

其中V為慣性系之間的相對運動速度。當粒子的運動速度為v=|v|時，粒子的質速關系則為

另一方面，若依據相對性原理能夠求得粒子質速關系，即使不引進光速不變假設也可確定慣性系之間的時空變換公式。

2 相對論質能關系和質速關系

由于S′系和S系均為沿X方向的相對運動，因此，粒子動量在X方向分量的變換關系為（嚴格證明見附錄 A）[15]：

需要指出的是，動量和能量在不同參考系的線性變換特性是由廣延量的物質相加性決定的，與時空是否具有平移不變性無關，即與動量和能量是否守恒無關。事實上，動量和能量的線性變換特性在非慣性系中同樣成立，只是其相應的線性變換系數不再是常量，而是時空坐標的函數b=b(x,t)。

對靜止在S系中即v=[0,0,0]的粒子，由式(19)可知，該粒子相對于S′系的運動速度為v'=[-V,0,0]，代 入 式 (23)可 得 0=b11m(V2)(-V)+b10E(V2)，即

由此可得

若一粒子在S系中垂直于X方向做相對運動，即其運動速度為v=[0,vy,vz]，由式(19)可知，該粒子在S′系中的運動速度為 v'=[-V,vy/γ(V2),vz/γ(V2)]，則有

即有

由于v′2和V2的取值互相獨立，因此A必須為與粒子運動速度無關的待定常量。則無須引進光速不變假設，便可證明粒子能量正比于動質量，而與時空變換的具體形式無關。由于上述證明中不涉及相互作用過程，因此并不依賴于動量守恒和能量守恒定律，對自由粒子同樣成立[15]。于是粒子能量為

需要說明的是，上述質能關系雖然是在某種粒子運動速度的特例情況下推得，但由于粒子動量-能量在不同慣性系的線性變換系數與粒子的運動速度無關，因此，質能關系式在粒子任意運動速度下均成立。

依據粒子能量變化與動量變化的基本關系式：

可以建立有關粒子質速關系的微分方程：

其中A=v2m，vm為普適的粒子運動速度上限[12-14]。這就意味著無須引進光速不變假設，以及不依賴動量和能量守恒定律，僅依據相對性原理即可求得不同慣性系之間時空變換的廣義洛倫茲變換公式：

由式（34）不難證明極限速度vm為廣義洛倫茲變換下的不變量[11]，因此，若取vm=c,廣義洛倫茲變換就回到了傳統洛倫茲變換，而光速不變則成為了相對論的一個推論。

3 結論與討論

3.1 證明了時空線性變換是相對性原理對于慣性系的一個推論。依據相對性原理關于慣性系的等價性，要求粒子動量、能量在不同慣性系中對于粒子速度的函數關系形式相同，則無須引進光速不變和其他額外假設，證明了慣性系之間的時空變換為線性變換。

3.2 建立起慣性系時空線性變換系數與粒子無量綱質速關系(V2)=m(V2)/m0之間的普遍聯系式(16)。依據動量和能量的廣延量特性，粒子動量-能量在不同參考系的變換是線性變換，其既適用于慣性系（線性變換系數為常量）,亦適用于非慣性系（線性變換系數為時空坐標的函數）。在質速關系中，速度是與時間和空間相關的量，而粒子的動量和能量則依賴于動質量(即質速關系)，這就在參考系的粒子動量-能量變換與時空坐標變換之間通過無量綱質速關系γ()=m)/m0建立起了關鍵聯系，從而可用于確定參考系之間的具體變換關系式。只要依據相對性原理求得粒子無量綱質速關系γ(V2)，就無須引進光速不變假設來確定時空變換關系。

3.3 完全由相對性原理證明了粒子能量正比于動質量：Ε()=m()A。該普遍的質能關系不依賴具體的參考系變換，因此A是相對論的一個基本普適常量。在質能關系基礎上,通過建立和求解粒子質速關系的微分方程，求得了粒子無量綱質速關系()=進而可以最終確定慣性系時空變換的廣義洛倫茲變換公式。在廣義洛倫茲變換中，由更具普遍性的極限速度替代了光速c，極限速度vm的引進是滿足相對性原理要求的,并不依賴于零靜質量粒子的存在。的取值可由實驗測量確定，無須通過引進光速不變假設事先予以限定。普適常量A=v2m是完全獨立于光速而存在的，即相對論理論的建立并不依賴于光速，因此任何對光速不變假設的質疑本質上與相對論無關，其實質僅僅是質疑vm=c是否成立或是否嚴格成立。

3.4 證明了光速不變假設以及動量守恒和能量守恒定律都不是建立相對論的必要條件。文獻[11-14]無須引進光速不變假設,通過各種相互作用過程的討論，依據相對性原理以及動量守恒和能量守恒定律推導了廣義洛倫茲變換公式。而在本文更具普遍性的推導證明中，既不需要事先假設慣性系的時空變換為線性變換，也無須討論具體的相互作用過程，因而也不再涉及動量守恒和能量守恒定律。

3.5 建立相對論的基本理論假設只需要一個相對性原理，由此可以自動引進極限速度vm，推導出粒子的質能關系和質速關系，進而確定慣性系之間時空線性變換的廣義洛倫茲變換公式，從而建立起不依賴具體相互作用和具體物質特性的更為普遍的相對論理論。它既與vm=c光速不變的傳統相對論相容，又適用于可能的vm≠c的變光速或超光速現象，從而使得相對論的理論基礎更加穩(wěn)固，應用范圍更為廣泛。

感謝浙江省自然科學基金（“相對論理論的研究與改進”，編號：LY17A050001）對本研究課題的鼓勵和資助！感謝美國普林斯頓高等研究院Einstein Postdoctoral Fellow戴亮對本文的有益建議。

4 附錄A:粒子動量-能量變換的一般形式

由于動量和能量都是廣延量，為了保證動量和能量具有廣延量的物質相加性，其在不同參考系中的變換關系必須為線性變換，則粒子動量-能量在不同慣性系的變換可一般性寫為（其線性變換系數事先并不假定為常量，一般允許為時空坐標的函數）

依據平動速度變換公式(6)，則可證明

即有一般表達式

(i)證明 b12=b13=b02=b03=0。

若一粒子在S系中的運動速度為v=[vx,vy,0]，則該粒子相對于S′系的運動速度為v'=[v′x,v′y,0]；而若 v=[vx,-vy,0]，則有 v'=[v′x,-v′y,0]；因而均有 v2=v2x+v2y，v′2=v′2x+v′2y，pz=p′z=0。 由(A1)第1式得

由此可得b12p′y=-b12p′

y，即有 b12=0。 由(A1)第 4式得

由此可得b02p′y=-b02p′

y，即有 b02=0。

若一粒子在S系中的運動速度為v=[vx,0,vz]，則該粒子相對于S′系的運動速度為v'=[v′x,0,v′

z]；而若 v=[vx,0,-vz]，則有 v'=[v′x,0,-v′

z]；因而均有 v2=v2x+v2z，v′2=v′2x+v′2z，py=p′y=0。由(A1)第1式得

由此可得b13p′z=-b13p′

z,即有b13=0。由(A1)第4式得

由此可得b03p′z=-b03p′

z，即有 b03=0。

(ii)證明b20=b30=b21=b31=b23=b32=0。

若一粒子在S系中的運動速度為v=[V,0,0]，則該粒子將靜止在 S′系中 v'=[0,0,0]，即有 v′2=0。由(A1)第 2式得 0=b20E′，則有 b20=0；由(A1)第3式得0=b30E′，則有 b30=0。

若一粒子在S系中的運動速度為v=[vx,0,0]，則該粒子相對于S′系的運動速度為v'=[v′x,0,0]；由(A1)第 2 式得 0=b21p′x，即有 b21=0；由(A1)第 3式得0=b31p′x，則有 b31=0。

若一粒子在S系中的運動速度為v=[V,0,vz]，則該粒子相對于S′系的運動速度為v'=[0,0,v′z]；由(A1)第2式得 0=b23p′z，即有 b23=0。

若一粒子在S系中的運動速度為v=[V,vy,0]，則該粒子相對于S′系的運動速度為v'=[0,v′y,0]；由(A1)第 3式得 0=b32p′y，即有 b32=0。由此(A1)可化為

由(A8)的 py=b22(V)p′y，依據相對性原理，S′系和S系是等價對稱的，其逆變換為p′y=b22(-V)py。另在空間反演下動量和速度均要反號(-py)=b22(-V)(-p′y)，即 有 py=b22(-V)p′y，由 此 可 得b22(-V)=b22(V)。則有

(iii)證明b22=b33=1。

即有[b22(V)]2=1，要求滿足條件b22(0)=1，則得b22=1。用類似方法可證明b33=1。