時間模上一類二階泛函動態(tài)方程振蕩的充分條件

李繼猛，楊甲山

（1.邵陽學(xué)院理學(xué)院,湖南邵陽422004；2.梧州學(xué)院大數(shù)據(jù)與軟件工程學(xué)院,廣西梧州543002）

0 引 言

考慮時間模上一類二階非線性中立型變時滯動態(tài)方程

關(guān)于時間模理論與時間模上動力方程的基本理論以及方程(1)解及其振蕩性的定義,可參見文獻(xiàn)[1-2]。由于討論的是當(dāng)t→時方程(1)解x(t)的振蕩性,所以假設(shè)supT=,t0T且t0≥0,則定義時間模區(qū)間為[t0,)T=[t0,)T。顯然,方程(1)包含了其他很多重要的動態(tài)方程,因此研究方程(1)的振蕩性很有意義。例如,方程(1)包含了動態(tài)方程等。

時間模上各種類型的一階及二階動態(tài)方程的振蕩和非振蕩性已有很多研究成果。AGARWAL等[3]、GRACE 等[4]、SAKER[5]討 論 了 當(dāng) α >1為 正奇數(shù)之商時方程(2)的振蕩性,得到了該方程各種類型的振蕩準(zhǔn)則,但其結(jié)果對0＜α≤1不適用。緊接著,HAN等[6]和HASSAN[7]解決了這一問題,擴(kuò)充了α的變化范圍,改進(jìn)了AGARWAL等[3]和SAKER[5]的結(jié)果。之后,SAKER等[8]及GüVENILIR等[9]研究了當(dāng)α和β均為正奇數(shù)之商時變時滯方程(3)的振蕩性,得到了方程(3)振蕩的許多充分條件,但沒有得到α和β均為任意正實數(shù)時的振蕩準(zhǔn)則。在此基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[10]研究了方程(1)的特殊情形，即方程(4)的振蕩性,得到了該方程振蕩的若干新的充分條件,將α和β的取值范圍拓廣到了任意正實數(shù),推廣并改進(jìn)了文獻(xiàn)[8-9]中的結(jié)果。而文獻(xiàn)[11]則研究了一類更加廣泛的二階Emden-Fowler型動態(tài)方程(5)的振蕩性,遺憾的是有較嚴(yán)格的條件“0＜ β＜ α＜ γ,且 aΔ(t)≥ 0”,且當(dāng)α＜β及α>γ時沒有給出方程(5)振蕩的判別定理。近期的其他類型方程的振蕩結(jié)果,可參看文獻(xiàn)[12-18]。

本文將研究更為一般的方程(1)的振蕩性,根據(jù)α,β及γ的取值范圍,考慮以下3種情形：

得到了方程(1)振蕩的一些新的充分條件，放棄了條件“aΔ(t)≥ 0”，并拓寬了 α,β及 γ的取值范圍，推廣并改進(jìn)了一些已有結(jié)果。

1 方程（1）的振蕩準(zhǔn)則

引理1[1]設(shè)函數(shù)x(t)是Δ可微的且最終為正或最終為負(fù),則

引理2[1]若A,B為非負(fù)實數(shù),則當(dāng)λ>1時,當(dāng)且僅當(dāng)A=B時等號成立。

則方程(1)在[t0,∞)T上是振蕩的。

證明設(shè)x(t)是方程(1)在[t0,+∞)T上的一個非振蕩解,不失一般性,設(shè)x(t)>0,x(τ(t))>0,x(δi(t))>0(t∈[t1,∞)T,t1∈[t0,∞)T), 令 y(t)=x(t)+p(t)g(x(τ(t))),則y(t)>0,并且由方程(1)得

所以由式(9)知,

是嚴(yán)格單調(diào)遞減的,且最終定號,于是斷言

否則必存在 t2∈[t1,+∞)T,使得yΔ(t2)＜0。因此由式(9)得

此 處 M=-a(t2)(yΔ(t2))=a(t2)|yΔ(t2)|α-1×

[-yΔ(t2)]>0為常數(shù)。于是當(dāng) t[t2,)T時,亦即yΔ(t)≤-，兩邊積分,得

即

現(xiàn)考慮廣義黎卡提變換

于是,當(dāng)0＜α≤1時,將上式代入式(11),并注意到y(tǒng)(t)≤ yσ(t), 得

利用a(t)(yΔ(t))α(t∈ [t1,∞)T)的單調(diào)遞減性, 可得

于是,對充分大的T0∈[t1,∞)T和常數(shù)δ0=G(T0)＜ δ(t),有

整理得

綜合式(16)和(17),即得

將上式代入式(15),得

令

將其代入引理2的不等式,整理得

將上式代入式(19),得

這與式(6)矛盾。定理證畢！

注1 當(dāng)β≤α≤γ時，定理1的結(jié)論顯然也是成立的。

定理2 若α＜β＜γ,且存在一個正的單調(diào)非減且Δ可微的函數(shù)ξ(t),使得對充分大的T0≥t0及(t)>G(T0)：=, 有

其 中 ，函 數(shù) θ(t,δ0)的 定 義 同 定 理 1,Q2(t)=0 均 為 常 數(shù))。 則方程(1)在[t0,∞)T上是振蕩的。

證明同定理1的證明,可得式(12)、(14)和(18)。由 yΔ(t)>0,y(t)>0知, 存在常數(shù) k>0,使得當(dāng)t∈[T0,∞)T時,y(δ(t))≥ k>0,于是[y(δ(t))]β-α≥ kβ-α,[y(δ(t))]β-α≥ kγ-α。因此,由式(12)并注意到式(14)、(18)及上式,當(dāng)t∈ [T0,∞)T時,有wΔ(t)≤ -L1ξ(t)q1(t)[1-

后續(xù)證明完全類似于定理1,此略。

注2 當(dāng)α≤β＜γ時，定理2的結(jié)論顯然也是成立的。

定理3 若β＜ γ＜ α,且存在一個正的單調(diào)非減且Δ可微的函數(shù)ξ(t),使得對充分大的T0≥ t0及 δ(t)>G(T0)：= δ0, 有

式中，函數(shù)θ的定義同定理1,Q3(t)=0, k> 0 均為常數(shù))，則方程(1)在[t0,∞ )T上是振蕩的。

證明設(shè)x(t)是方程(1)在[t0,+∞)T上的一個非振蕩解,不失一般性,設(shè)x(t)>0,x(τ(t))>0,x(δi(t))>0(t∈ [t1,∞)T,t1∈ [t0,∞)T)。 由 定 理 1的 證 明 知,y(t)>0,yΔ(t)>0, 且 式(9)、(10)及(18)成立。類似地,由引理1,得

則W(t)>0(t∈[t1,∞)T),注意到式(9)、(10)及(18),于是當(dāng)0＜ β≤ 1且t∈[t1,∞)T時,由上式有

于是存在充分大的T0∈[t1,∞)T及常數(shù)k>0,使得y(t)≤ kη-1(t)(t∈[T0,∞)T),即

此外, 再 利 用 a(t)[yΔ(t)]α(t∈ [t1,∞)T)的 單調(diào)遞減性,并注意到式(24),可得

將式(25)代入式(23),得則有

將上式代入式(21),得

上式兩邊從T0到t(t>T0)積分,并取上極限,得

這與式(22)矛盾。定理證畢！

注3 當(dāng)β＜γ≤α?xí)r，定理3的結(jié)論顯然成立。

例1 考慮動態(tài)方程

這是方程(1)中a(t)=[t+σ(t)]-8/3,q1(t)=(1+q2(t)=(1+)3(t+1)4, p(t)=τ(t)=δ1(t)=δ2(t)=t2/3,f1(u)=f2(u)=u,且α==2,γ=3的情形。

由于β＜α＜γ,只能用定理1來判別方程(27)是否振蕩。

且

簡單起見,在定理1中取ξ(t)=t,于是有

于是，由定理1,方程(27)是振蕩的。