淺談高職高專導(dǎo)數(shù)的概念

摘 要：導(dǎo)數(shù)的概念對(duì)于高職高專的學(xué)生們來(lái)說(shuō)，是很抽象的數(shù)學(xué)概念。如何讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上很輕松地記憶這個(gè)概念呢？老師在教學(xué)過(guò)程中進(jìn)行了如本文中所敘述的教學(xué)設(shè)計(jì)，這樣學(xué)生們就能很容易地理解導(dǎo)數(shù)的概念了

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)的概念;教學(xué)設(shè)計(jì);數(shù)學(xué)概念

為了讓高職高專的學(xué)生很容易地理解導(dǎo)數(shù)的概念，教師對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念的教學(xué)進(jìn)行了如下教學(xué)設(shè)計(jì)。

一、 引例

設(shè)函數(shù)y=f（x）=x2，y=x2在點(diǎn)x=2及其附近有定義，

（1）當(dāng)自變量x的取值由x=2變?yōu)閤=2.01時(shí)，x=2叫做自變量的初值，而x=2.01叫做自變量的終值，終值-初值=2.01-2=0.01叫做自變量的增量，用符號(hào)Δx表示，即Δx=2.01-2=0.01，則2.01=2+0.01=2+Δx，即自變量的終值=初值+Δx。此時(shí)，函數(shù)值y的取值由y=f（2）變?yōu)閥=f（2.01）=f（2+Δx），y=f（2）叫做函數(shù)值的初值，y=f（2.01）=f（2+Δx）叫做函數(shù)值的終值。

函數(shù)值的終值-初值=f（2.01）-f（2）=f（2+Δx）-f（2）叫做函數(shù)值的增量，用符號(hào)Δy表示，即Δy=f（2.01）-f（2）=f（2+Δx）-f（2）。

（2）當(dāng)自變量x的取值由x=2變?yōu)閤=1.99時(shí)，Δx=1.99-2=-0.01，則1.99=2+（-0.01）=2+Δx，Δy=f（1.99）-f（2）=f（2+Δx）-f（2）。

（3）當(dāng)自變量x的取值由x=2變?yōu)閤=2+Δx時(shí)，Δy=f（2+Δx）-f（2）。

二、 導(dǎo)數(shù)的概念

針對(duì)以上第三條結(jié)論，我們做如下極限運(yùn)算：

limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（2+Δx）-f（2）Δx

=limΔx→0（2+Δx）2-4Δx

=limΔx→04+4·Δx+（Δx）2-4Δx

=limΔx→0（4+Δx）

=4。

因?yàn)闃O限limΔx→0ΔyΔx存在，我們就稱函數(shù)y=x2在點(diǎn)x=2處可導(dǎo)，且函數(shù)在點(diǎn)x=2處的導(dǎo)數(shù)為f′（2）=4或y′|x=2=4。

定義 設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x=x0及其附近有定義，當(dāng)自變量x的取值由x=x0變?yōu)閤=x0+Δx時(shí)（Δx為自變量x的增量），函數(shù)值y的取值由y=f（x0）變?yōu)閥=f（x0+Δx），此時(shí)函數(shù)值的增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）。若極限limΔx→0ΔyΔx存在，則稱函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x=x0處可導(dǎo)，且以上極限值稱為函數(shù)在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù)，記為f′（x0）或y′|x=x0或dydx|x=x0，

即f′（x0）=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx。

練習(xí)1 用導(dǎo)數(shù)的定義判斷函數(shù)y=x2在點(diǎn)x=-2處是否可導(dǎo)？

解 函數(shù)y=x2在點(diǎn)x=-2處及其附近有定義，

因?yàn)閘imΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（-2+Δx）-f（-2）Δx=limΔx→0（-2+Δx）2-4Δx=limΔx→04-4·Δx+（Δx）2-4Δx=limΔx→0（-4+Δx）=-4。

則函數(shù)y=x2在點(diǎn)x=-2處可導(dǎo)，且在x=-2處的導(dǎo)數(shù)為f′（-2）=-4。

事實(shí)上，函數(shù)y=x2在任意的一個(gè)實(shí)數(shù)x處都是可導(dǎo)的，此時(shí)，函數(shù)值的增量表達(dá)式為Δy=f（x+Δx）-f（x），帶入極限limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x+Δx）-f（x）Δx的運(yùn)算過(guò)程中，可得如下結(jié)果：

limΔx→0ΔyΔx=2x，

即函數(shù)y=x2在任意的一個(gè)實(shí)數(shù)x處的導(dǎo)數(shù)為y′=f′（x）=2x，這個(gè)式子也稱為函數(shù)y=x2在實(shí)數(shù)集R內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)。

如同函數(shù)y=x2有導(dǎo)函數(shù)一樣，一切初等函數(shù)在其定義的開(kāi)區(qū)間內(nèi)都是可導(dǎo)的，即有導(dǎo)函數(shù)y′=dydx=f′（x）。在后面的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們將通過(guò)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則兩大求導(dǎo)法則以及基本求導(dǎo)公式把初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求出來(lái)。

三、 基本求導(dǎo)公式

以下六個(gè)導(dǎo)數(shù)公式是常用基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)公式：

（1）常數(shù)函數(shù)y=C的導(dǎo)數(shù)公式：C′=0;

（2）冪函數(shù)的y=xα的導(dǎo)數(shù)公式：（xα）′=αxα-1;

（3）自然對(duì)數(shù)函數(shù)y=lnx的導(dǎo)數(shù)公式：（lnx）′=1x;

（4）指數(shù)函數(shù)y=ex的導(dǎo)數(shù)公式：（ex）′=ex;

（5）正弦函數(shù)y=sinx的導(dǎo)數(shù)公式：（sinx）′=cosx;

（6）余弦函數(shù)y=cosx的導(dǎo)數(shù)公式：（cosx）′=-sinx。

以上公式都可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)的定義f′（x）=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x+Δx）-f（x）Δx求出來(lái)。

練習(xí)2 應(yīng)用冪函數(shù)的求導(dǎo)公式求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。

（1）y=x6;? （2）y=1x3;? （3）y=5x4。

解 （1）y′=（x6）′=6x6-1=6x5;

（2）y′=1x3′=（x-3）′=-3x-3-1=-3x-4=-3x4;

（3）y′=（5x4）′=（x45）′=45x45-1=45x-15=455x。

作者簡(jiǎn)介：

鄭曉珍，湖北省襄陽(yáng)市，襄陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院。