廣開聯(lián)想鑄就“自然”思路*
——構(gòu)圖求tan15°的值的智能價(jià)值與智慧分享

☉山東省濱州市北鎮(zhèn)中學(xué)初中部 邢成云

“從帽子里跑出一只兔子”是波利亞對(duì)玄妙思路高蹈出現(xiàn)的經(jīng)典論斷，的確，平時(shí)教學(xué)中，為何老師一講再講，學(xué)生面對(duì)生疏問題時(shí)仍不得思路，總有一種“望盡天涯路”的窘覺？其實(shí)是我們平日的教學(xué)出了問題.奇招、妙招甚至怪招，或有簡(jiǎn)潔之美，或具新奇之美，或蘊(yùn)抽象之美，甚或讓人拍案叫絕，但學(xué)生拍案后除了驚慕老師的高明，面對(duì)新的問題仍逃脫不了“望題興嘆”的困厄.殊不知，我們的教學(xué)丟卻了最基本的常識(shí)：本源性的思路是否被關(guān)注？我們的引導(dǎo)有沒有越位的問題？是否真正有效？基本想法是否被關(guān)注？等等.面對(duì)問題，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注條件、結(jié)論，形成基于個(gè)人數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的相關(guān)聯(lián)想，思路往往就出現(xiàn)了，一味求簡(jiǎn)或許會(huì)蒙蔽學(xué)生的常規(guī)想法，平民化的思路或許看似有點(diǎn)兒拙，但合民意、入民心.

基于條件，引導(dǎo)學(xué)生展開廣泛聯(lián)想，讓這種想成為學(xué)生面對(duì)問題的習(xí)慣意識(shí)，看似玄妙的思路也就自然而然了，貼近個(gè)體學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，讓思路順暢、自然，讓學(xué)生感覺到這個(gè)思路是他們應(yīng)該想到的，長(zhǎng)此以往，學(xué)生就會(huì)慢慢觸摸到“想”帶來(lái)的收益，成為解決問題的策略性行為，這種習(xí)慣性的自我監(jiān)控就會(huì)促使自己廣開思路，方法登錄學(xué)生的大腦平臺(tái)就會(huì)成為實(shí)然.本文集中呈現(xiàn)學(xué)生的各種思路，較好地詮釋了以上論斷，希望能引起共鳴.

題目：試構(gòu)圖確定tan15°的值.

一、教學(xué)說(shuō)明

對(duì)于初中學(xué)段的學(xué)生而言，直接獲得tan15°的值是不好辦的，但可以通過(guò)構(gòu)圖去嘗試完成.其中“幾何直觀”發(fā)揮著引領(lǐng)之用，可以說(shuō)這是指向數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)嘗試.若通過(guò)銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，能認(rèn)識(shí)到它的本質(zhì)就是線段比的話，由“數(shù)”想“形”去構(gòu)圖應(yīng)該是自然的、常態(tài)的.因此，這一問題也是對(duì)學(xué)生概念理解的一次考量.教學(xué)前，筆者提前一天把問題布置下去，要求至少找到3種求值方法.事實(shí)上學(xué)生課余共研究出了8種方法，有6種方法是在這8種方法的基礎(chǔ)上、思路的啟迪下在課堂上現(xiàn)場(chǎng)生成的，其中有教師的補(bǔ)缺性引導(dǎo)，有學(xué)生縱橫馳騁的類比聯(lián)想.本文對(duì)學(xué)生在課堂上集中呈現(xiàn)的解法做了一個(gè)簡(jiǎn)單的梳理，并在結(jié)課階段，通過(guò)學(xué)生的親歷求解或傾聽他人的求解，集體評(píng)選出了相對(duì)優(yōu)化的方法：法1、法12、法14.其原因是：圖形構(gòu)造直觀明了、計(jì)算量小.為了讓個(gè)性的想法產(chǎn)生遷移力，為了汲取別人優(yōu)化的方法，特留如下作業(yè)：（1）把自己的方法梳理清楚，能優(yōu)化的優(yōu)化，把自己的想法沉淀下來(lái)；（2）借鑒其他同學(xué)至少2種自己感覺可接受的好方法，研究學(xué)習(xí)并整理.

二、方法呈現(xiàn)

思路1：基于30°=15°+15°引發(fā)聯(lián)想，構(gòu)造等腰三角形頂角相鄰?fù)饨桥c兩底角的關(guān)系.

法1：如圖1，畫一個(gè)含30°的Rt△ABC，使∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)D，使BD=BA，連接AD，則有∠D=15°，則DB=AB=2.

圖1

思路2：基于的角度引發(fā)聯(lián)想，構(gòu)造角平分線.

如圖2，畫一個(gè)含30°的Rt△ABC，使∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1.

法2：如圖2，作∠ABC的平分線，交AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E.

圖2

BD平分∠ABC，且CD⊥BC，DE⊥AB，則CD=DE.

令CD=DE=x，由S△ABD=，得.則CD=DE=x=，則tan15°==.

法3：如圖3，作∠ABC的平分線，交AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB，交BC于點(diǎn)E.

圖3

由BD 平 分∠ABC，得∠ABD=∠DBC=15°.

由DE∥AB，得∠ABC=∠DEC=30°，∠EDB=∠ABD=15°，則∠BDE=∠DBC=15°，則DE=BE，至此，就變成了圖1所示的模型，以下略.

法4：如圖4，過(guò)點(diǎn)A作AE∥BC，交∠ABC的平分線的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

圖4

由BE平分∠ABC，得∠ABD=∠CBD.

由AE∥BC，得∠E=∠CBD，則∠E=∠ABE，則AE=AB.

由∠ADE=∠CBD，且∠E=∠CBD，得△ADE△CDB，則，即.令CD=x，則=，則.

思路3：基于15°=45°-30°=60°-45°=90°-75°引發(fā)聯(lián)想，構(gòu)造小直角三角形.

法5：（用60°-45°=15°）如圖5，畫一個(gè)含60°的Rt △ABC，使∠C=90°，∠BAC=60°，AC=1，在BC上取點(diǎn)D，使得CD=AC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，交AB于點(diǎn)E.

由AC=CD=1，得∠CAD=∠CDA=45°，則∠BAD=∠BAC-∠DAC=15°.

令DE=x.

圖5

法6：（用45°-30°=15°）如圖6，畫等腰直角△ABC，AC=BC=1，作∠CAD=30°，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，交AB于點(diǎn)E.

由△ABC是等腰直角三角形，得∠CAB=∠CBA=45°，則∠DAB=∠CAB-∠CAD=15°.

圖6

思路4：基于一副三角板中的特殊角引發(fā)聯(lián)想，擺拼出75°，進(jìn)而得到15°（90°-75°=15°）.

圖7

法7：如圖7，一副三角板一邊（BC）疊放，DB=1，CD=2，CB=AC=，∠ACO=∠ACB -∠DCB=90°-30°=60°.過(guò)點(diǎn)A作AH ⊥CO，則∠CAH=30°，則∠OAH=∠CAB-∠CAH=15°.

法8：如圖8，一副三角板拼在一起（AC為重疊邊），CD=，∠DAB=∠DAC+∠CAB=30°+45°=75°.過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB，則.

圖8

圖9

法9：如圖9，一副三角板拼在一起（BC為重疊邊），∠ABD=∠ABC+∠CBD=60°+45°=105°.

過(guò)點(diǎn)D作DH垂直于AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則∠HBD=75°，則∠BDH=15°.

思路5：基于單個(gè)三角板的特殊角引發(fā)聯(lián)想，構(gòu)造出75°，進(jìn)而得到15°（90°-75°=15°）.

法10：如圖10，在含30°角的一副三角板的直角頂點(diǎn)處作∠DCB=75°，則∠CDB=45°，這樣問題就轉(zhuǎn)化成了法8，以下略.

法11：如圖11，在含45°角的一副三角板的直角頂點(diǎn)處作∠DCB=75°，則∠CDB=60°，這樣問題同樣轉(zhuǎn)化成了法8，以下略.

圖10

圖11

思路6：基于底角為75°的等腰三角形引發(fā)聯(lián)想，構(gòu)造腰上的高直接呈現(xiàn)15°（90°-75°=15°）.

法12：如圖12，是底角為75°的等腰△ABC.

過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，則∠HBC=15°.

圖12

圖13

圖14

法13：如圖13，畫一個(gè)銳角為30°的Rt△ABC，∠C=90°，∠A=30°，以點(diǎn)A為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)D，則△ACD即為底角為75°的等腰三角形，這樣就轉(zhuǎn)化成了法12，以下略.

法14：如圖14，畫一個(gè)銳角為30°的Rt△ABC，∠C=90°，∠B=30°，以點(diǎn)B為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則△BAD即為底角為75°的等腰三角形，這樣同樣轉(zhuǎn)化成了法12，以下略.

說(shuō)明：法14和13同出一轍，就是半徑的差異而已.再進(jìn)一步說(shuō)，法12、13、14也是統(tǒng)一的，最終都落腳于法12.

三、教后反思

1.以數(shù)為基，廣泛聯(lián)想

從運(yùn)算的角度展開對(duì)15°的聯(lián)想，然后就是如何把15°構(gòu)造出來(lái)的問題，本身就是數(shù)形結(jié)合的一種體現(xiàn)，可見其數(shù)學(xué)思想方法的不菲作用.30=15+15，15=×30，15=45-30=60-45=75-60=90-75等各種形式、種種聯(lián)想促成了以上繽紛多彩的思路（縱然有些思路有諸多思維回路，可以優(yōu)化，有些圖形過(guò)于復(fù)雜，可以簡(jiǎn)化，但幾何直觀下各類構(gòu)圖的思路及廣泛聯(lián)想的意識(shí)是很有價(jià)值的），恰似著名數(shù)學(xué)家谷超豪所言“解題豈一法，尋思求百通”.貫通的思路源于廣泛的聯(lián)想，沒有“想”，知識(shí)就是知識(shí)，止步于認(rèn)知層面，不能很好地轉(zhuǎn)化為解題的生產(chǎn)力，也就不能轉(zhuǎn)知成識(shí)，而成為解題的智慧.

通觀上面一系列的方法不難看出，解決此題的關(guān)鍵在于在已知特殊直角三角形（一副三角板）或特殊的等腰三角形及它們的組合中，添線構(gòu)造出含15°角的直角三角形，而這個(gè)“15°”來(lái)路頗多，然后，借助特殊直角三角形的邊角關(guān)系、邊邊關(guān)系和三角形的面積公式、角平分線性質(zhì)定理、相似等初中幾何的核心知識(shí)，求出15°的正切值，是一次運(yùn)算與思維的大演練.我們知道，添輔助線一般具有隱性條件顯性化、分散條件集中化的作用，而本題的構(gòu)圖解決，除了這些作用，還讓我們觸摸到了在“基地圖形”上構(gòu)造解題所需要的新圖形的妙處，充分發(fā)揮了基本圖形的模型作用.

2.優(yōu)化思維與歷練思維

在考場(chǎng)上面對(duì)一個(gè)問題，自然不需要也不必尋求多解，若一個(gè)問題有諸多思路，需要對(duì)每一個(gè)思路進(jìn)行甄別，選擇出最經(jīng)濟(jì)實(shí)惠的思路，以贏取中考的勝利.但作為平時(shí)的訓(xùn)練題目，我們不妨拋開優(yōu)化的定位，在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”引導(dǎo)學(xué)生從自己的基本想法出發(fā)構(gòu)筑自己的“自然”思路，并交流各自的自然思路，成果共享、相互促進(jìn)，反復(fù)歷練學(xué)生的多向思維，調(diào)度“四基”，在應(yīng)用中熔煉，既鞏固了核心知識(shí)，又形成了貼近自己的自然思路，同時(shí)深化了思維，多思多得，其智能價(jià)值會(huì)更高.縱然有些方法與優(yōu)化的方法相比顯得笨拙，但由于是出自個(gè)人的思維方向，其實(shí)效性更強(qiáng).如果我們研究問題僅定位于智慧的方法、脫俗的方法，往往會(huì)嚇倒一批人，成為優(yōu)生展示才藝的集中營(yíng)，對(duì)每一名學(xué)生而言并非福音.因此，優(yōu)化思維是思維品質(zhì)深刻性的提升，但一些基本想法縱然顯拙但接地氣，對(duì)歷練大眾思維作用不菲，二者不可偏廢，拿捏它們之間的平衡當(dāng)屬應(yīng)然.“解題研究無(wú)禁區(qū)，考場(chǎng)應(yīng)試要優(yōu)化”，要取得考場(chǎng)上的優(yōu)化思路，就需要平時(shí)厚實(shí)的積累，平時(shí)發(fā)散思維的歷練，否則到了考場(chǎng)上拍腦門是拍不出來(lái)優(yōu)化的方法的，此即為“博觀而約取，厚積而薄發(fā)”吧！

3.“習(xí)慣”成“自然”

想法，想法，有了“想”才有“法”，因此說(shuō)讓會(huì)“想”成為習(xí)慣，也就是知道怎樣去思考，那學(xué)生面對(duì)生疏的問題時(shí)往往就會(huì)打開思路，就有了解決疑難問題的門道.數(shù)學(xué)的本色是思考，史寧中教授有句經(jīng)典：“和學(xué)生一起思考”.筆者的理解是，面對(duì)新問題時(shí)，老師要和學(xué)生一起“零起點(diǎn)”思考，若老師已經(jīng)知曉，需要稚化自己的思維退到原點(diǎn)去，若不知曉，就和學(xué)生一起左思右想、上下求索，那老師面對(duì)問題的思考路徑就顯現(xiàn)出來(lái)了，而這個(gè)顯現(xiàn)才便于學(xué)生的學(xué)得來(lái)，讓學(xué)生觸摸到老師解題時(shí)的磕磕絆絆、左沖右突、而后突圍的真實(shí)全景，而不是把自己美化后的思路、加工處理后的思路高高在上地傳遞給學(xué)生，那樣除了讓學(xué)生驚慕老師的高明以外，還能學(xué)到什么！所以，史寧中校長(zhǎng)甚至認(rèn)為，學(xué)數(shù)學(xué)不用筆不用紙，用腦袋想就能想出來(lái).當(dāng)然這句話從字面看有點(diǎn)兒過(guò)了，但其從側(cè)面折射出了“想”成為習(xí)慣的重要性.基于這些認(rèn)識(shí)，筆者不斷引導(dǎo)學(xué)生積極思考，用身體力行來(lái)喚起學(xué)生的思考欲，久而久之，思考就會(huì)沉淀成學(xué)生的習(xí)慣，那再面對(duì)疑難問題時(shí)就有了解決問題的“道”.讓學(xué)生的思考習(xí)慣成為自然，那么我們的數(shù)學(xué)教學(xué)就走向成功了.