數(shù)據(jù)的正態(tài)性檢驗及Excel/SPSS/Stata 軟件的實操應(yīng)用

陳 軍

（新疆師范大學(xué) 商學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830017）

1 數(shù)據(jù)正態(tài)性檢驗的相關(guān)理論

多數(shù)統(tǒng)計檢驗都要求數(shù)據(jù)滿足正態(tài)分布，特別是針對小樣本。如果誤差項不服從正態(tài)性假定，雖然可以利用最小二乘法進行參數(shù)估計，但卻無法進行檢驗和預(yù)測。如果解釋變量不能很好地匹配因變量的峰度和偏度，將會導(dǎo)致樣本性質(zhì)中的統(tǒng)計推斷結(jié)果發(fā)生偏差。實際情形中，出于樣本可獲得性的考慮，通常采用對數(shù)據(jù)進行變換的方法，將其數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成正態(tài)分布，但應(yīng)該注意到，在數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換的同時已將數(shù)據(jù)蘊含的原始信息發(fā)生了改變。由此得到的回歸結(jié)果，其參數(shù)的意義解釋也已和變換前有所改變。

數(shù)據(jù)正態(tài)性檢驗的方法主要有兩類：使用圖形進行大致的判斷以及使用統(tǒng)計檢驗。圖形檢驗中常用的是直方圖和正態(tài)分位數(shù)圖。如果得到的數(shù)據(jù)直方圖和鐘形相差很大，則拒絕正態(tài)性分布，這是一種非常直觀的方法，實用性強。使用統(tǒng)計檢驗多基于卡方統(tǒng)計量，實質(zhì)是根據(jù)下表1 中標注的區(qū)間找到落在該區(qū)間內(nèi)的實際觀測值個數(shù)和期望觀測值個數(shù)，然后進行卡方檢驗。

表1 卡方檢驗區(qū)間劃分

數(shù)據(jù)正態(tài)性的其他統(tǒng)計檢驗，包括偏度-峰度檢驗、D′Agostino 檢驗、Shapiro-Wilk w 檢驗和Shapiro-Francia w′檢驗。應(yīng)該注意，隨著樣本量的增大，所有的統(tǒng)計檢驗趨于拒絕原假設(shè)，而圖形、偏度及峰度的數(shù)值分析可能更有利于研判數(shù)據(jù)正態(tài)性狀況。

2 Excel 對于數(shù)據(jù)正態(tài)性的檢驗

Excel 對于數(shù)據(jù)正態(tài)性的檢驗方法相對單一，一般采用繪制正態(tài)概率圖。如果標準正態(tài)概率圖中的點基本圍繞在一條直線周圍，那么可以說該組數(shù)據(jù)基本服從正態(tài)分布。下面結(jié)合具體的例題進行。

例：某車間加工一批零件尺寸如下表2，請問零件尺寸是否呈正態(tài)分布。

表2 車間加工的零件尺寸數(shù)據(jù) 單位：毫米

25.45 25.38 25.39 25.42 25.44 25.48 25.46 25.43 25.4 25.39 25.41 25.36 25.4 25.37 25.37 25.44 25.34 25.42 25.5 25.37 25.27 25.43 25.54 25.39 25.44 25.41 25.53 25.37 25.36 25.42 25.39 25.46 25.4 25.36 25.41 25.32 25.37 25.41 25.49 25.35 25.36 25.46 25.29 25.4 25.41 25.37 25.47 25.39

【實驗操作步驟】

Step1：將表格數(shù)據(jù)按照升序排序成一列。

Step2：計算（j-0.5）/100。

Step3：根據(jù)（j-0.5）/100=P（Z），求出正態(tài)分位數(shù)。單擊D2 單元格，選擇“公式-〉插入函數(shù)”。在“插入函數(shù)”對話框，“選擇類別”選取“統(tǒng)計”，“選擇函數(shù)”選擇“NORM.S.INV”,點擊“確定”。結(jié)果見下圖1。

圖1 正態(tài)分位數(shù)及標準正態(tài)分位數(shù)計算結(jié)果

Step4：，選擇“數(shù)據(jù)-〉數(shù)據(jù)分析”，在“分析工具”中選擇“回歸”，單擊“確定”。以Zi 為縱軸，X（j）為橫軸，繪制標準正態(tài)概率圖。然后單擊“確定”，得到標準正態(tài)概率圖，如圖2 所示。其中，X（j）轉(zhuǎn)化為其對應(yīng)的百分比排位。可以看出，由（X（j），Zi）形成的點基本圍繞在一條直線周圍，可以說該組數(shù)據(jù)基本上服從正態(tài)分布。

圖2 標準正態(tài)概率圖

3 SPSS 軟件對于數(shù)據(jù)正態(tài)性的檢驗

SPSS 軟件對于數(shù)據(jù)正態(tài)性的檢驗是建立在數(shù)據(jù)分布直方圖的基礎(chǔ)上，可采用多種檢驗方法。為比較方便，案例數(shù)據(jù)同上例。

【實驗操作步驟】

在SPSS 里執(zhí)行“分析-〉描述統(tǒng)計-〉頻數(shù)”（菜單見下圖，英文版的可以找到相應(yīng)位置），然后彈出一個對話框，變量選擇左邊的“零件尺寸”，再點下面的“圖表”按鈕，彈出圖中右邊的對話框，選擇“直方圖”，并選中“包括正態(tài)曲線”。點擊“繼續(xù)”、“確定”按鈕。數(shù)據(jù)分布直方圖如下圖3。

圖3 輸出的正態(tài)分布圖（直方圖）

圖中橫坐標為期零件尺寸，縱坐標為分數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)。從圖中可以看出根據(jù)直方圖繪出的曲線是很像正態(tài)分布曲線。如何證明這些數(shù)據(jù)符合正態(tài)分布呢，光看曲線還不夠，還需要進一步檢驗。

（1）檢驗方法一：看偏度系數(shù)和峰度系數(shù)

Step1：在“頻率”對話框，點擊“統(tǒng)計量”按鈕，選取如下復(fù)選框。點擊“繼續(xù)”、“確定”按鈕。選項界面見下圖4。

圖4 頻率：統(tǒng)計量對話框及輸出統(tǒng)計量結(jié)果

Step2：從“統(tǒng)計量”結(jié)果中，看到“偏度”為0.113，“峰度”為0.505，均小于1，可認為近似于正態(tài)分布。

（2）檢驗方法二：單個樣本K-S 檢驗

操作步驟：在SPSS 里執(zhí)行“分析-〉非參數(shù)檢驗-〉單個樣本K-S 檢驗”，彈出對話框，檢驗變量選擇“零件尺寸”，檢驗分布選擇“常規(guī)（正態(tài)分布）”，然后點“確定”。結(jié)果如下圖5。

圖5 單樣本K-S 檢驗對話框及輸出結(jié)果

從結(jié)果可以看出，K-S 檢驗中,Z 值為0.735，P 值(sig 2-tailed)=0.652〉0.05，因此數(shù)據(jù)呈近似正態(tài)分布。

（3）檢驗方法三：Q-Q 圖檢驗

操作步驟：在SPSS 里執(zhí)行“分析-〉描述統(tǒng)計-〉Q-Q 圖”，彈出對話框，變量選擇“零件尺寸”，檢驗分布選擇“正態(tài)”，其他選擇默認，然后點“確定”，最后可以得到Q-Q 圖檢驗結(jié)果，結(jié)果很多，我們只需要看最后一個圖，見下圖6。

圖6 Q-Q 圖檢驗結(jié)果(零件尺寸的正態(tài)Q-Q 圖)

QQ Plot 中，各點近似圍繞著直線，說明數(shù)據(jù)呈近似正態(tài)分布。

4 Stata 軟件對于數(shù)據(jù)正態(tài)性的檢驗

Stata 軟件對于數(shù)據(jù)正態(tài)性的檢驗方法主要有分位正態(tài)圖、正態(tài)性統(tǒng)計檢驗。為比較方便，案例數(shù)據(jù)同上例。

（1）檢驗方法一：分位正態(tài)圖

分位正態(tài)圖的繪制命令格式如下：Qnorm varname[if][in][,options]

該命令的大部分選項都是繪圖命令所共有，獨有選項是grid,加入grid 項可以在圖中依次標 注 0.05、0.10、0.25、0.50、0.75、0.90、0.95百分位的坐標刻度。分位正態(tài)圖將觀測變量分布的分位數(shù)與一個具有相同平均數(shù)和標準差的理論正態(tài)分布的分位數(shù)進行比較，通過比較偏離程度進行直觀研判正態(tài)性狀況。

Step1：打開數(shù)據(jù)文件。

Step2：在“command”區(qū)域輸入如下命令：.qnorm size,grid

回車，執(zhí)行結(jié)果如下：

圖7 size 的分位正態(tài)圖

與完全正態(tài)分布相比（圖中對角線），數(shù)據(jù)分布近似呈現(xiàn)正態(tài)性。

（2）檢驗方法二：正態(tài)性統(tǒng)計檢驗

【實驗操作步驟】

Step1：打開數(shù)據(jù)文件。

Step2：在“command”區(qū)域輸入如下命令：sktest size

回車，執(zhí)行結(jié)果如下：

結(jié)果顯示峰度、偏度檢驗以及峰度-偏度合并檢驗都表明呈現(xiàn)正態(tài)性(P 大于0.05)。

Step3：在“command”區(qū)域輸入如下命令：lnskew0 size2=size回車，執(zhí)行結(jié)果如下：

Step4：在“command”區(qū)域輸入如下命令：.swilk size

回車，執(zhí)行結(jié)果如下：

Step5：在“command”區(qū)域輸入如下命令：swilk size2,lnnormal

回車，執(zhí)行結(jié)果如下：

結(jié)果顯示，同sktest 檢驗結(jié)果一樣，表明數(shù)據(jù)分布呈現(xiàn)正態(tài)性。需要說明的是，lnskew0 命令是為變量size 找一個k 使得ln(size-k)的偏度為0，并定義這個新的變量為size2；當(dāng)對完成這一變換的變量進行swilk 檢驗時，需要加入lnnormal 選項。

Step6：在“command”區(qū)域輸入如下命令：.sfrancia size

回車，執(zhí)行結(jié)果如下：

結(jié)果顯示，同sktest 及swilk 檢驗結(jié)果一樣，表明數(shù)據(jù)分布呈現(xiàn)正態(tài)性。

5 結(jié)語

通過上文分析，可以看到Excel、SPSS、Stata 幾種軟件都能處理數(shù)據(jù)正態(tài)性檢驗，但在具體的應(yīng)用操作上存在一定差異：Excel 相對簡單；SPSS 軟件在分布直方圖基礎(chǔ)上檢驗方法較多；Stata 軟件的檢驗方法則更為靈活。在實際應(yīng)用中，要結(jié)合數(shù)據(jù)分析對于總體正態(tài)性的要求，像方差分析就要求數(shù)據(jù)分布滿足正態(tài)性的條件，而回歸分析（特別是大樣本）則對于正態(tài)性檢驗的要求就沒有那么重要。