《導(dǎo)數(shù)的幾何意義》教學(xué)設(shè)計

曾國文

一、教材分析

本節(jié)課是在已學(xué)了平均變化率和瞬時變化率兩個概念的區(qū)別與聯(lián)系之上，進而從幾何意義的角度上理解導(dǎo)數(shù)的含義，是可以充分應(yīng)用現(xiàn)代化信息技術(shù)進行概念教學(xué)與問題探究的好題材，況且導(dǎo)數(shù)的幾何意義是為常見函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用研究的基礎(chǔ).因此，本節(jié)課學(xué)習(xí)不僅僅能幫助學(xué)生更好理解導(dǎo)數(shù)的概念，還能讓學(xué)生更有效認識到導(dǎo)數(shù)是刻畫函數(shù)圖像的單調(diào)性、變化快慢和極值等最好的工具。

二、教法學(xué)法

1.教法

實驗觀察法、研討教學(xué)法和信息技術(shù)輔助教學(xué)法相結(jié)合

2.學(xué)法

實驗觀察、反思探究、學(xué)以致用、分組討論、思想滲透等

三、教學(xué)目標

1.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，體會“以直代曲”思想方法

2.滲透逼近思想，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)探索新知識的欲望

3.引導(dǎo)學(xué)生體會有限與無限的辯證唯物關(guān)系，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法

四、重點難點

重點：

導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其在實際問題中應(yīng)用價值，滲透“以直代曲”數(shù)學(xué)思想

難點：

由割線PPn趨向切線動態(tài)變化效果，由割線“逼近”成切線的理解

教學(xué)準備：多媒體、信息技術(shù)、幾何畫板、課件等

授課類型：探究課

五、教學(xué)過程

1.復(fù)習(xí)回顧， 誘發(fā)探索

老師：在前面學(xué)習(xí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)，請寫出導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)及其表達式。

學(xué)生：本質(zhì)是函數(shù)f（x）在x=x0處的瞬時變化率即：

f′（x0）= limΔx→0 f（x0+Δx）-f （x0）Δx

【設(shè)計意圖】學(xué)生將已學(xué)知識和經(jīng)驗轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)語言的思維過程是不可替代的，這一過程有利思維能力的提高，也為感知導(dǎo)數(shù)的幾何意義打下良好基礎(chǔ)。

老師：俗話說：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分裂萬事休”，詮釋了數(shù)與形的辯證關(guān)系，而導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)僅是從數(shù)的角度來詮釋導(dǎo)數(shù)，自然就想到形，因此從形的角度來理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

老師：請大家回憶下圓的切線和割線是如何定義的？（回憶、分組討論、提問、形成共識）

學(xué)生：看交點個數(shù)，即一個交點為切線，兩個交點為割線。

老師：對了。請看圖像，此圖中直線l1、l2與曲線相切嗎？

學(xué)生：l1不是與曲線相切，l2與曲線相切

老師：因圓是一種特殊曲線，故不能用特殊解釋一般，但我們能否從中得到啟示尋找一般曲線的切線的定義？現(xiàn)在用幾何畫板作演示，請觀察圓的割線與切線的區(qū)別與聯(lián)系？

學(xué)生：感受到割線變切線是一種逼近取極限的過程，能否用種逼近取極限思想刻畫一般曲線的切線？

老師：我們試著去探索下。

【設(shè)計意圖】通過已有知識的回憶與展示，借助幾何畫板體驗各種曲線的切線，推動知識的生成與發(fā)展，進而水到渠成的給出切線逼近的準確定義。

2.親身實踐，深刻領(lǐng)悟

老師：請同學(xué)們畫出函數(shù)f（x）的圖像過點A處的一條割線AB，A（x0， f（x0）），

B（x0+Δx， f（x0+Δx）），并觀察當點A沿曲線逼近于B點時，直線AB有什么變化？

老師：展示學(xué)生各種典型作品，再次引導(dǎo)觀察，仔細注意變化，請大家再次動手體驗。

此時割線AB會無限逼近一個確定位置，請把它作出來。

老師：等大部分同學(xué)畫出切線后，我用Flash動態(tài)演示，引導(dǎo)回顧發(fā)現(xiàn)并科學(xué)總結(jié)。

學(xué)生：Δx→0，割線AB→切線AT，則割線AB的斜率→切線AT的斜率

即f′（x0）= limΔx→0 f（x0+Δx）-f

（x0）Δx切線AT的斜率

老師：f′（x0）的本質(zhì)是f（x）的圖像在x=x0處切線AT的斜率。下面請大家談?wù)剬?dǎo)數(shù)幾何意義的理解？

學(xué)生：給出一種求解曲線上過某點處切線的斜率的新方法。

老師：好！導(dǎo)數(shù)的幾何意義是在該點處切線（切線與曲線交點個數(shù)不一定唯一）的斜率。

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生動手實踐體驗，感悟，教師引領(lǐng)，師生互動，讓學(xué)生初步體會逼近思想，讓知識的生成與發(fā)展自然流暢，讓學(xué)生從中獲取學(xué)習(xí)的快樂與探索科學(xué)的欲望。

3.深入觀察，思維嚴謹

以直代曲思想（幾何畫板演示）

【設(shè)計意圖】演示的節(jié)奏放慢，讓學(xué)生動態(tài)直觀觀察過點處的切線的逼近過程，讓學(xué)生加深對“以直代曲”思想的理解。

4.學(xué)以致用，小試牛刀

例1：求拋物線y=2x2在點A（1，2）處的切線方程。

變式1：過拋物線y=2x2上點P0處的切線平行直線y=4x-3，求P0的坐標。

變式2：過拋物線y=2x2上點P0處的切線垂直直線y=-14x+94，求P0的坐標。

【設(shè)計意圖】通過例題及變式，讓學(xué)生有效掌握求函數(shù)在某點處的切線的導(dǎo)數(shù)方法，強化解題規(guī)范，體會此方法的妙處，進一步加深對導(dǎo)數(shù)的幾何意義的理解。

例2：（回歸到課本中的高臺跳水問題）函數(shù)h（t）=-4.9t2+6.5t+10表示跳水運動中高度隨時間變化而變化的圖像。請大家根據(jù)圖像描述曲線h（t）在t1=0.5s，t2=1s，t3=2s附近的變化情況。

【設(shè)計意圖】利用多媒體展示實例，感受某點處附近可用以直代曲來理解，也從微觀角度反應(yīng)某點附近的變化快慢，從讓學(xué)生對導(dǎo)數(shù)的幾何意義理解更進一步。

六、歸納概括，提升認知

1. f′（x0）的幾何意義是函數(shù)f（x）的圖像在x=x0處的切線AT的斜率（數(shù)形結(jié)合）。即：切線AT的斜率=

f′（x0） = limΔx→0 f（x0+Δx）-f （x0）Δx

2.能在解釋生活中的實際問題，體會并應(yīng)用以直代曲的數(shù)學(xué)思想，領(lǐng)悟有限與無限辯證關(guān)系。

七、布置作業(yè)，分層要求

1.（必做題）用幾何畫板畫出函數(shù)r（V）= （0≤V≤6） 的圖像，請根據(jù)圖像估算在V=0.6，1.2處氣球的瞬時膨脹率，會有什么發(fā)現(xiàn)？

2.（選做題）請結(jié)合本節(jié)的實例及自己理解寫出求函數(shù)在某點處的切線方程的一個算法。

（作者單位：福建省德化第一中學(xué)）