雙障礙期權(quán)的定價問題及其近似計算

文/章宏 劉毅，上海大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院

1 引言

雙障礙期權(quán)有一條上障礙線和一條下障礙線,在其有效期內(nèi),一旦標(biāo)的資產(chǎn)達(dá)到上、下障礙線的任一條,期權(quán)即被敲進或敲出。張斌（2004）總結(jié)Kunitomo and Ikeda(1992)、Geman and Yor(1996)等人結(jié)果的基礎(chǔ)上根據(jù)各種障礙期權(quán)所滿足的邊界條件得出其定價公式模型。然而他得出標(biāo)的資產(chǎn)價格首達(dá)上下邊界停時的概率密度公式在實操應(yīng)用時較為困難。本文對上述公式進行改進，并具體賦值證明改進公式的精確性。

2 文獻(xiàn)綜述

自1973年美國經(jīng)濟學(xué)家邁倫－斯科爾斯（Myron Scholes）與費雪－布萊克（FischerBlack）首創(chuàng)性的提出標(biāo)準(zhǔn)看漲看跌期權(quán)定價公式以來，國內(nèi)外學(xué)術(shù)期刊關(guān)于股票期權(quán)定價與其他金融衍生品定價的研究成果枚不勝舉。近年來,奇異期權(quán)的定價又成為國外期權(quán)定價中的熱門問題,其中障礙期權(quán)是一種重要的奇異期權(quán),又稱關(guān)卡期權(quán),它是一種弱路徑有關(guān)期權(quán)。它是一張歐式期權(quán)合約,其最終收益除了依賴于原生資產(chǎn)在期權(quán)到期日的價格,還與原生資產(chǎn)價格在整個期權(quán)有效期內(nèi)是否達(dá)到某一規(guī)定水平人們稱為障礙值有關(guān)。在Black-Scholes 環(huán)境下，國內(nèi)外學(xué)者發(fā)掘出了一系列由普通期權(quán)構(gòu)造組合派生出的奇異期權(quán)的定價模型研究。自上個世紀(jì)60年代末，市場上開始出現(xiàn)障礙期權(quán)后，關(guān)于障礙期權(quán)的研究如雨后春筍般出現(xiàn)。在障礙期權(quán)的定價研究方面，基于Black-Scholes 期權(quán)定價框架下，Merton（1973）最早發(fā)表了關(guān)于障礙期權(quán)文章，該文章提出障礙期權(quán)的價格就是帶邊界的 Black-Scholes 方程的解，作者求解出該偏微分方程并分別給出了常障礙和變化障礙水平下的下降敲出看漲期權(quán)的定價公式。隨著Merton 研究后，Rei nner 和Rubinsteiii(1991)通過一系列公有因子推導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)障礙期權(quán)的的定價公式，依賴于這些公有因子可以分別計算出向上敲出，向下敲出，向上敲入，向下敲入障礙期權(quán)的價格，上述這些解析解公式至今仍然是業(yè)界使用較為普遍的計算障礙期權(quán)理論價格的定價方式。

期權(quán)定價理論近幾年的發(fā)展，已經(jīng)在傳統(tǒng)Black-Scholes 期權(quán)定價下擴展到各式期權(quán)的理論研究，其復(fù)雜程度和計算難度不斷加大和精細(xì)化。Kyunghyun Park, Junkee Jeon（2017）通過簡化來自PDE 的轉(zhuǎn)換變換，應(yīng)用拉普拉斯- 卡森變換（LCT）討論了美國敲出期權(quán)定價問題。Julien Hok, Tat Lung (Ron) Chan（2018）開發(fā)了一種基于一系列密度函數(shù)的Legendre 多項式推導(dǎo)出的期權(quán)定價公式。解決了因傳統(tǒng)公式中數(shù)值不穩(wěn)定造成的歐式看漲期權(quán)的精度不夠的問題。由于我國資本市場并未完全開放，期權(quán)歷史發(fā)展較短，其研究主要結(jié)合國外理論進行擴展研究國內(nèi)期權(quán)市場。總體而言，國內(nèi)文獻(xiàn)對障礙期權(quán)產(chǎn)品的研究主要體現(xiàn)在兩個方面。一在產(chǎn)品定價研究上，現(xiàn)有的研究主要集中于純障礙期權(quán)產(chǎn)品與內(nèi)嵌障礙期權(quán)的結(jié)構(gòu)化產(chǎn)品上。二在風(fēng)險管理研究上，現(xiàn)有的文獻(xiàn)主要從風(fēng)險對沖方法和效果比較上進行研究。

3 定價模型

3.1 雙敲出期權(quán)價值的數(shù)學(xué)模型

雙障礙看漲期權(quán)模型,設(shè)上下障礙線分別為l1, l2,且0＜l2＜K＜l1,K, l1, l2為常數(shù),K 為期權(quán)的敲定價。假定標(biāo)的資產(chǎn)(股票)的價格在[0,T]時間內(nèi)向上達(dá)到l1或向下達(dá)到l2 時,期權(quán)自動失效。若股票的價格在[0,T]時間內(nèi)沒有達(dá)到l1和l2,則在到期時T,期權(quán)的收益為（S(T)-K)+因此,該期權(quán)在t 時的價值為：

函數(shù)V(t,S(t))滿足終值條件與邊界條件：V(T,S(T))=(S(T)-K)+, l2≤S(t) ≤l1

V(t, l1)=0,V(t, l2)=0 0≤t≤T

3.2 推導(dǎo)的概率密度公式

張斌在總結(jié)上面前人結(jié)果的基礎(chǔ)上在風(fēng)險中性假設(shè)下,從理論上證明了障礙期權(quán)價值滿足Black-Scholes 方程,再根據(jù)各種障礙期權(quán)所滿足的邊界條件得出其定價公式模型。然后他同時對于單曲線邊界期權(quán)則運用等價鞅測度及變量代換將變邊界轉(zhuǎn)化為常數(shù)邊界,再運用反射原理得出標(biāo)的資產(chǎn)價格首達(dá)邊界的分布函數(shù)。最后,對雙障礙期權(quán),在證明了標(biāo)的資產(chǎn)價格首達(dá)上、下邊界的時間期望有界的前提下,運用隨機分析有關(guān)知識及留數(shù)定理得出標(biāo)的資產(chǎn)價格首達(dá)上下邊界停時的概率密度。其標(biāo)的資產(chǎn)價格首達(dá)時的概率密度公式如下：

從x 出發(fā)首先到達(dá)下障礙線0 的概率密度：

從x 出發(fā)首先到達(dá)上障礙線l 的概率密度：

3.3 首達(dá)時的概率密度公式改進

在上述基礎(chǔ)上，取l=2π，運用中值定理將無窮項改為兩項近似值的和：

其中-1<ρ1<-1，-1<ρ2<1

其中改進公式中的誤差項為：

3.4 舉例檢驗

本文主要運用計算機模擬計算原式前N 項和與改進公式的結(jié)果作比較，由于改進公式中參數(shù)變量較多，只有控制有效變量來觀測計算結(jié)果才具有可觀性，因此本文將N，T 作為控制變量，前N項和逐漸增加來觀測原式結(jié)果的規(guī)律性。T 變化用來觀測改進公式的可操作性。具體步驟如下：

檢驗步驟：（1）賦值：σ=0.02，b=0.002，T 取100、90、80。（其中為了便于無窮項和前N 項變化明顯，σ、b 取了特定值，由于0

?

觀測表格中第五、六兩列的數(shù)據(jù)表明h1 和h2 可以非常好的近似計算無窮項的和，當(dāng)N 取到60 項以后，無窮項的和在小數(shù)點第十位以前的數(shù)值趨于穩(wěn)定、變化非常小。而我們?nèi)ˇ?，ρ2等于0.000008665 時，代入h1,h2 計算出結(jié)果，h1 和h2 可以精確到小數(shù)點后十位。因此改進公式可以近似計算原公式前70 項以后的和且精度達(dá)到小數(shù)點后十位，誤差非常小。

通過上述檢驗證明，改進公式中ρ1，ρ2的存在唯一性，當(dāng)σ、b、T、x 給定時，ρ1，ρ2的值唯一確定，改進公式可以非常準(zhǔn)確的估計原無窮項和。從而證明改進公式的有效性。在計算期權(quán)價值時運用該公式可以規(guī)避無窮項的疊加，將復(fù)雜的密度公式化簡并易于計算。

4 總結(jié)

期權(quán)交易是指期權(quán)持有者擁有在將來某一確定時間或時期內(nèi)以某一確定價格買賣確定數(shù)量的某種資產(chǎn)的權(quán)利。本文梳理了前人在期權(quán)定價模型上的推導(dǎo)，在根據(jù)各種障礙期權(quán)所滿足的邊界條件得出其定價公式模型和標(biāo)的資產(chǎn)價格首達(dá)上下邊界停時的概率密度。在雙障礙期權(quán)的定價中，在標(biāo)的資產(chǎn)價格首達(dá)上、下邊界的時間期望有界的前提下，運用標(biāo)的資產(chǎn)價格首達(dá)上下邊界停時的概率密度公式進行計算雙障礙期權(quán)價格時將非常方便。但理論的完備并不能帶來實際計算上的簡便，而上述的資產(chǎn)價格首達(dá)上下邊界停時的概率密度公式就因無窮項的疊加困難帶來計算上的不便。本文經(jīng)運用中值定理改進原無窮項的和為兩項之和，減少運用上的困難，同時化簡兩項和為一項（h1、h2）。并經(jīng)計算機模擬計算發(fā)現(xiàn)改進項h1、h2 可以很好的擬合原式的數(shù)值。這項工作將給期權(quán)定價公式帶來實際運用上的快捷性。