高等代數(shù)視域下對(duì)抽象代數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)探討

王璐陽(yáng)

【摘要】高等代數(shù)作為數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課程，為抽象代數(shù)的學(xué)習(xí)提供了支撐.由于抽象代數(shù)較難，所以可以嘗試從高等代數(shù)中探尋對(duì)抽象代數(shù)的理解，本文嘗試著從變換、等價(jià)、群、域、環(huán)、零因子以及環(huán)上的運(yùn)算規(guī)律來(lái)闡釋如何通過(guò)高等代數(shù)來(lái)學(xué)習(xí)抽象代數(shù).

【關(guān)鍵詞】高等代數(shù);抽象代數(shù);教學(xué)

在代數(shù)學(xué)科中，高等代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)課當(dāng)中的一門較為基礎(chǔ)的課程.學(xué)習(xí)抽象代數(shù)是建立在對(duì)高等數(shù)學(xué)的掌握基礎(chǔ)上的.因此，抽象代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)的必修課，也是對(duì)高等數(shù)學(xué)中的數(shù)域、多項(xiàng)式等概念的高度概括和抽象.同時(shí)，高等數(shù)學(xué)也為抽象代數(shù)的學(xué)習(xí)提供了很多實(shí)用的模型.

高等代數(shù)與抽象代數(shù)之間的關(guān)系較為緊密，在數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生中，很多學(xué)生難以理清它們之間的關(guān)系，他們認(rèn)為高等數(shù)學(xué)較為簡(jiǎn)單，抽象數(shù)學(xué)較難.因此，在抽象數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中可以嘗試使用高等數(shù)學(xué)中的模型和知識(shí)來(lái)理解抽象數(shù)學(xué)中的概念.

一、辨析兩種“交換”概念

在高等數(shù)學(xué)中，變換的概念一般可表述為：“一個(gè)集合A到A的映射稱為A的一個(gè)變換”.對(duì)這個(gè)概念則可以通過(guò)舉例的形式讓學(xué)生輕易掌握.但是，在教科書上沒有相關(guān)的習(xí)題，學(xué)生可以從網(wǎng)絡(luò)上尋找相關(guān)習(xí)題進(jìn)行練習(xí).還需要將“變換”的概念同“線性變換”進(jìn)行區(qū)分，既能溫故，又能促進(jìn)新知識(shí)的學(xué)習(xí).

二、等價(jià)關(guān)系

等價(jià)關(guān)系，屬于集合上的概念，即集合A與另外一個(gè)集合B相等，它滿足自反性、對(duì)稱性以及傳遞性.這幾種特性在教材中也給出了若干例子.在實(shí)際教學(xué)中，則需要先將“關(guān)系”的概念理解清楚，同時(shí)對(duì)“非等價(jià)關(guān)系”進(jìn)行解釋，這樣就等于從另一個(gè)角度對(duì)“等價(jià)關(guān)系”進(jìn)行了講解.在學(xué)習(xí)這一概念之前，可以先復(fù)習(xí)高等代數(shù)中關(guān)于矩陣的“合同”和“相似”等相關(guān)概念.

三、群、環(huán)和域概念

在我們的教科書中，作者對(duì)群的定義進(jìn)行了表述，分別給出了第一和第二定義，并且說(shuō)明了這兩個(gè)定義之間的關(guān)系，即一致性.學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中可以先理解第一定義，然后理解普通加法，進(jìn)一步研究為何普通乘法在非零集合中都符合第一定義的群概念.然后再導(dǎo)向第三定義.在第三定義中，可以反問(wèn)自己：Mn（R）關(guān)于矩陣加法是群?jiǎn)?？通過(guò)自行翻查資料確定關(guān)于矩陣加法和乘法的相關(guān)性質(zhì)以及定義，嘗試去理解相關(guān)概念.然后，繼續(xù)理解交換律可以在矩陣加法中運(yùn)用.最后，將相關(guān)例子進(jìn)行梳理，進(jìn)行總結(jié).

通過(guò)群的例子，還可以進(jìn)一步尋找已經(jīng)學(xué)過(guò)的、類似地對(duì)環(huán)和域的概念進(jìn)行理解.通過(guò)這種方法不僅可以使得學(xué)生重新對(duì)已學(xué)的知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)，還能促進(jìn)學(xué)生對(duì)新知識(shí)的掌握，使得學(xué)生感受到：群、環(huán)以及域的概念是對(duì)高等代數(shù)中的數(shù)域、多項(xiàng)式等的進(jìn)一步概括以及抽象.通過(guò)這些方法使得學(xué)生明白抽象數(shù)學(xué)的非抽象性，有助于學(xué)生對(duì)該學(xué)科的學(xué)習(xí).

四、零因子

零因子對(duì)于數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來(lái)說(shuō)是第一次出現(xiàn)在教材上，在高等數(shù)學(xué)中并沒有相關(guān)的概念.教科書是先通過(guò)給出n這一整數(shù)模型的剩余類環(huán)Zn，當(dāng)n是合數(shù)的時(shí)候，則一定存在著兩個(gè)非零元的元素相乘，其結(jié)果卻是零元，并且進(jìn)一步闡釋了零因子的概念，區(qū)分了左零因子和右零因子兩個(gè)因子，只有當(dāng)一個(gè)數(shù)同時(shí)是左零因子和右零因子時(shí)，這個(gè)數(shù)就能稱之為零因子了.這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)仍然具有抽象性，那么可以嘗試著對(duì)Mn（R）中兩個(gè)非零的矩陣相乘的結(jié)果進(jìn)行思考.如下例1：

通過(guò)這個(gè)例子闡釋A是環(huán)S的左零因子，B則為右零因子.還可以讓學(xué)生通過(guò)例1來(lái)找出矩陣C，并且使得BC=02×2，這樣也就說(shuō)明了一個(gè)環(huán)內(nèi)的右零因子不一定就是左零因子.

五、環(huán)上的運(yùn)算規(guī)律

在環(huán)上則有兩種運(yùn)算方式：一種方式稱為加法，另一種則稱為乘法.這兩種方式的運(yùn)算則可以通過(guò)一定的分配律來(lái)進(jìn)行聯(lián)系.同時(shí)有些環(huán)內(nèi)的運(yùn)算規(guī)則較為復(fù)雜和煩瑣，在學(xué)習(xí)過(guò)程中可以使用列表的方式將環(huán)內(nèi)的運(yùn)算規(guī)律以及Mn（R）上的矩陣運(yùn)算規(guī)律加以比較，從而發(fā)現(xiàn)環(huán)內(nèi)的運(yùn)算規(guī)律和Mn（R）上的運(yùn)算規(guī)律相符，正確理解環(huán)內(nèi)運(yùn)算規(guī)律.

概言之，高等數(shù)學(xué)作為數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課程，其知識(shí)點(diǎn)可以有效地對(duì)抽象代數(shù)進(jìn)行支撐.事實(shí)上，抽象代數(shù)正是建立在高等數(shù)學(xué)等一些基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)之上的，學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中可以充分采取熟悉的知識(shí)來(lái)理解和掌握新知識(shí).

【參考文獻(xiàn)】

[1]李瀏蘭，周立君，歐陽(yáng)夢(mèng)倩，羅李平.高等代數(shù)在抽象代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用[J].湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2015（3）：91-94.

[2]陶司興.抽象代數(shù)課程教學(xué)方法研究與實(shí)踐[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2016（4）：239-240.

[3]趙婷.問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)模式在抽象代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用[J].高師理科學(xué)刊，2016（8）：71-74.

[4]王秀麗，陳尚弟.如何在教學(xué)中讓學(xué)生覺得《抽象代數(shù)》不再“抽象”[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2011（2）：9-12.

[5]楊涌，馮良貴，文軍，劉春林.表示論在本科抽象代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2016（3）：131-133.

[6]李飛祥.抽象代數(shù)課程教學(xué)改革的研究與實(shí)踐[J].安陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2012（2）：105-107.