“二面角及其度量”的教學新設計*

廣東省華南師范大學數(shù)學科學學院(510631)張佳淳 何小亞

“數(shù)學教育的未來之路是以理解、探究、問題解決為價值取向,追求數(shù)學素養(yǎng)的達成,并促進學生核心素養(yǎng)的發(fā)展.”[1]于是,教數(shù)學就不能只是達到“知其然而不知其所以然”的工具性理解水平,而應該要達到“知其然且知其所以然”的關系性理解水平.2011年上海松江區(qū)特級教師阮曉明等老師的調(diào)查表明[2],教師、學生都認為二面角是高中數(shù)學十大難點概念之一,教師認為其難度排第七,學生認為其難度排第一.學生的認知障礙是：(1)空間想象能力差、作不出平面角；(2)不理解二面角的大小為什么要用其平面角的大小來度量,更不清楚為什么二面角能用二面角的平面角進行度量? 為了解決這些問題,我們給出了基于探究活動的教學新設計.

授課課題《普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學(A 版)》必修2(人教版),第二章點、直線、平面之間的位置關系2.3.2 節(jié)二面角及其度量,第一課時.

教材分析二面角是在學習了直線與直線所成的角、直線與平面所成的角之后,我們將領會的另一種“角”的概念,用它可以去描述兩個平面相交時的位置關系.學好這一概念對后續(xù)理解兩個平面的垂直關系和計算兩個平面所成角的大小是一個重要的基礎.兩個平面相交時,它們的相對位置可由兩個平面所成的“角”確定,而如何度量二面角的大小是一個難點.根據(jù)定義異面直線所成角和線面角的經(jīng)驗,可以用化歸為“平面角”度量的思想來定義兩個半平面所成的角.

學情分析1.認知基礎：在本節(jié)課之前,學生已學過斜投影、正投影；等角定理、異面直線所成角的定義,并初步接觸到空間問題化歸為平面問題的思想；線面垂直的判定、線面角的定義.2.認知障礙：二面角大小的度量.

教學目標

1.知識與技能：(1)理解二面角及其平面角的定義；(2)學會用定義法作二面角的平面角.

2.過程與方法：經(jīng)歷二面角平面角的概念建構過程,領悟化歸的數(shù)學思想,積累水平數(shù)學化(horizontal mathematization)[2]的活動經(jīng)驗.

3.情感、態(tài)度與價值觀：(1)感受二面角平面角的發(fā)現(xiàn)樂趣,培養(yǎng)探究精神；(2)感受數(shù)學實驗活動的魅力,激發(fā)學生對數(shù)學的興趣.

教學重點二面角及其平面角的定義,定義法作二面角平面角.

教學難點二面角大小的度量；度量的本質(zhì).

教學關鍵類比異面直線所成角和線面角,將二面角化歸為平面角；從長度、面積、體積、角、重量的度量去概括度量的本質(zhì).

教學方法問題驅(qū)動、引導探究.

教學工具鏡子、手電筒、自制二面角投影模型、工字釘、激光筆、吸管、三角板、PPT、幾何畫板.

教學流程設計

各個流程的設計意圖：

設計意圖新知引入根據(jù)桑代克試誤學習理論中的“準備律”,應用“曹沖稱象”引入“化歸思想”,利用生活中的二面角實例(鏡子)創(chuàng)設情境,使學生處于學習的“饑餓狀態(tài)”,從而激發(fā)學生產(chǎn)生彌補心理缺口的學習動力.探索新知通過數(shù)學實驗活動,探究出二面角的度量方法,彌補“心理缺口”,歸納出二面角平面角的定義,理解二面角平面角的定義合理性.小試牛刀通過變式練習,讓學生掌握二面角平面角的作法,體會二面角平面角的意義：度量兩個半平面所成角的大小。根據(jù)最近發(fā)展區(qū)理論,設計一系列的、逐步遞進的變式題,幫助學生積累經(jīng)驗增長才智.小結提升回顧整節(jié)課所學內(nèi)容,并讓學生感受化歸思想的力量,認識到追求簡單化是數(shù)學的靈魂.作業(yè)布置通過金字塔計算二面角,讓學生嘗試解決無棱二面角問題；小組作業(yè)使學生對化歸思想有更深刻的認識,反思問題使學生認識到中學數(shù)學度量的本質(zhì).

教學過程設計

(一)新知引入(3min)

(二)探索新知(15min)

時間教師活動學生活動設計意圖0.5min先利用鏡子模型,引入新概念“二面角”,類比平面角,引入定義、組成及表示.那么如何度量呢? 這就是我們今天要探究的內(nèi)容了.觀察發(fā)現(xiàn)二面角可大可小.1min聯(lián)系其它空間角的度量異面直線所成角和線面角,怎么度量? 它們都是把復雜的空間問題化歸為簡單的平面問題.現(xiàn)在我們要度量的第三種空間角-二面角是不是也可以化歸為平面角來度量呢?發(fā)現(xiàn)空間角都化歸為平面角度量.數(shù)學實驗活動之投影平移顯然不行,投影呢? 展示二面角模型.images/BZ_37_852_1501_1321_2022.png圖1二面角模型實物圖5min(1)實驗目標：用正投影(即手電筒光線和投影面垂直)并在投影面上看到由射線-點-射線組成的平面角.(2)實驗過程：初次實驗發(fā)現(xiàn)得不到平面角,逐步移動手電筒,在投影面上得到平面角.(3)實驗結果：平面角的形成①點的形成：用工字釘確定點的位置,用激光筆代替手電筒,發(fā)現(xiàn)光線穿過棱,使“線成點”；②射線的形成：垂直投影面的光線,使“面成線”；③射線的特殊性：由棱與投影面垂直,根據(jù)線面垂直的判定,得到投影面上形成的兩條射線垂直于棱.觀察實驗操作通過數(shù)學實驗活動,探究出二面角的度量方法,彌補“心理缺口”.

(續(xù)上表)

(三)小試牛刀(14min)

?時間教師活動學生活動設計意圖images/BZ_39_1059_665_1327_947.png8min例1 如圖5,在棱長為1 的正方體ABCD -A1B1C1D1 中,找出并計算二面角C1-BDC 的平面角.圖5變式1 二面角A1-AB-D變式2 二面角C1-BD-A變式3 二面角D1-AB-D學生聽講并動手解決問題強化二面角平面角在度量二面角大小的應用,并體現(xiàn)“追求簡單化”這一數(shù)學的靈魂.通過變式練習,讓學生掌握二面角平面角的作法,變式4 如圖6,已知三棱錐D - ABC 的三個側(cè)面與底面全等,且AB=AC =■6min 3,BC=2,E 為BC 的中點,求以BC 為棱,images/BZ_39_1049_1338_1328_1662.png圖6以面BCD 與面BCA 為面的二面角的大小?體會二面角平面角的意義：度量兩個半平面所成角的大小.根據(jù)最近發(fā)展區(qū)理論,設計一系列、逐步遞進的變式題,幫助學生積累經(jīng)驗增長才智.

(四)小結提升(5min)

時間教師活動學生活動設計意圖5min受“曹沖稱象”所用“化歸思想”的啟發(fā),嘗試解決“度量鏡子”的問題.類比其他空間角的度量,將二面角化歸為平面角進行度量,再次體會到“化歸思想”的力量.用化歸思想解決了三種空間角的度量問題.學生回顧思考回顧整節(jié)課所學內(nèi)容,并讓學生感受化歸思想的力量,認識到追求簡單化是數(shù)學的靈魂.

(五)布置作業(yè)(3min)

時間教師活動學生活動設計意圖1.(生活問題)埃及的金字塔世界聞名,如圖7所示金字塔,已知PA 與正方形ABCD 所在的平面垂直,且PA=PB,求平面PAB 與平面PCD 所成二面角的度數(shù).3min images/BZ_40_846_1014_1159_1327.png學生思考完成課后作業(yè)通過計算金字塔上的二面角,讓學生嘗試解決無棱二面角問題；圖72.小組作業(yè)：(1)回顧你之前學過的哪些知識或問題解決時用到了化歸思想.images/BZ_40_765_1710_1240_2033.png圖8(2)你能否用化歸思想解決一個數(shù)學問題或生活問題,數(shù)學來源于生活,又應用于生活.3.挑戰(zhàn)性反思：從我們學過的線段的度量、面積的度量、體積的度量、角、重量的度量去思考-度量的本質(zhì)是什么?小組作業(yè)使學生對化歸思想有更深刻的認識,反思問題使學生認識到度量的本質(zhì).

板書設計(略)

本教學設計的創(chuàng)新之處

1.用教材沒有的數(shù)學實驗活動-光線正投影照射二面角模型,探索二面角大小的度量,使學生積累了水平數(shù)學化的活動經(jīng)驗.

2.在概念教學中實現(xiàn)了化歸思想的滲透,將“追求簡單化”這一數(shù)學的靈魂貫穿始終；并通過小組作業(yè),體會數(shù)學思想的實用價值,數(shù)學是有用的!

3.彌補了教材中的標題沒有“度量”這個詞匯的遺憾,將二面角的度量作為教學主線貫穿始終.并通過對挑戰(zhàn)性問題的反思,提升學生對度量的認識水平：中學數(shù)學中度量的本質(zhì)就是以小量大!