設(shè)而不求 突破運算瓶頸

江蘇省揚州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(225000)史玉梅

一、“設(shè)而不求”在定點、定值問題中的應(yīng)用

例1橢圓的離心率是它的左焦點到點P(2,1)的距離為

(1)求橢圓C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線l 與橢圓C 相交于A,B 兩點(A,B 不是左右頂點),且以AB 為直徑的圓過橢圓C 的右頂點,求證：直線l 過定點,并求出該定點的坐標(biāo).

解析(1)橢圓C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(2)由題意可設(shè)直線l 的方程為y=kx + m,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),將y=kx + m 帶入橢圓方程得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.由韋達定理可得

又因為以AB 為直徑的圓過橢圓C 的右頂點A2(2,0),所以由可得

將方程整理可得7m2+16km+4k2=0.于是或m=-2k.當(dāng)時,直線l 為恒過定點當(dāng)m=-2k 時,直線l 為y=kx-2k=k(x-2),恒過定點A2(2,0),不符合題意舍去.

本題是“設(shè)而不求”在直線與橢圓問題中的應(yīng)用.點A和點B 的坐標(biāo)在計算過程中沒有具體去求出,而是利用韋達定理整體去求出的表達式,進而求解.這是常見的“設(shè)而不求”的應(yīng)用,也是學(xué)生最熟悉的一種“設(shè)而不求”題型.當(dāng)然,在利用韋達定理時應(yīng)該先確保聯(lián)立所得的二次方程有解,即Δ ≥0.本題直線l 與橢圓C 相交于A,B 兩點所以可確保Δ ≥0.在解決此類題目時,學(xué)生的解題思路往往沒有問題,但在運算上會出現(xiàn)問題.[4]所以對于此類問題的教學(xué),教師要放手讓學(xué)生獨立求解,自行突破運算化簡的“瓶頸”.這樣在以后的運算過程中學(xué)生才能從容應(yīng)對,提高運算的準(zhǔn)確性.

二、“設(shè)而不求”在最值問題中的應(yīng)用

例2已知△ABC 是邊長為3 的等邊三角形,點P 是以A 為圓心的單位圓上一動點,點Q 滿足則的最小值是多少?

圖1

解析建立如圖 1 所示的平面直角坐標(biāo) 系.設(shè) P(cos θ,sin θ),則 A(0,0),

本題利用平面幾何的特征,根據(jù)題意建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,將幾何問題坐標(biāo)化,通過引入?yún)?shù)θ 進行坐標(biāo)運算,繼而得到目標(biāo)函數(shù),進而再利用三角函數(shù)的輔助角知識求出最值.[2]在解答過程中增設(shè)了未知量θ,但對這里的θ 是“設(shè)而不求”,只是在θ 的幫助下求得三角函數(shù)的最值.

三、“設(shè)而不求”在函數(shù)零點問題中的應(yīng)用

例3已知函數(shù)f(x)=x2-2a ln x-2ax,(a ＞0),若f(x)有兩個零點,求實數(shù)a 的取值范圍.

解析定義域x ∈(0,+∞),

即方程x2-ax-a=0 在(0,+∞)上有一個解,設(shè)為x0,令g(x)=x2-ax-a,在(0,x0)上,f′(x)＜0,f(x)單調(diào)遞減；在(x0,+∞)上,f′(x)＞0,f(x)單調(diào)遞增；所以f(x)有最小值f(x0),并且f(x0)=x20-2a ln x0-2ax0＜0,x0是方程x2-ax-a=0 的解,故x20-ax0-a=0,所以把a 帶入上述不等式化簡得到1 - 2 ln x0- x0＜0,令k(x)=1-2 ln x-x,k′(x)＜0,所以k(x)是減函數(shù),且k(1)=0,所以不等式1-2 ln x0-x0＜0 的解集為x0＞1,

對于零點問題,一般都是找出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,顯然本題求解方程f′(x)=0 比較復(fù)雜,再利用這個解進行解題不可行,此時采用“設(shè)而不求”的方法,[3]引入了新的未知量,把該未知量帶入分析,從而得到函數(shù)的單調(diào)性,這樣靈活處理的做法比較省時省力.

四、“設(shè)而不求”在軌跡方程問題中的應(yīng)用

例4在平面直角坐標(biāo)系xOy 中,已知定點F(1,0),點P 在y 軸上運動,點M 在x 軸上運動,點N 為坐標(biāo)平面內(nèi)的動點,且滿足求動點N的軌跡方程.

解析設(shè)點N(x,y),M(a,0),P(0,b).由可知點P 是線段MN 的中點,所以解得所以可得即y2=4x,所以動點N 的軌跡方程是y2=4x.

在平面解析幾何問題中,常常需要設(shè)出點的坐標(biāo),但不具體求出這些坐標(biāo),而是運用設(shè)而不求的思想簡化解題過程,再利用曲線與方程之間的關(guān)系達到解題目的,這樣就避免了非必要的運算.

五、總結(jié)

“設(shè)而不求”是為了運算中的合理簡潔而采用的一種解題技巧,從數(shù)學(xué)解題的總體上看,“設(shè)而求”是普遍現(xiàn)象,“設(shè)而不求”是特殊形態(tài).其實“設(shè)而不求”在很多“數(shù)學(xué)板塊”中都能適用.作為教師,對此應(yīng)該要有全面的認(rèn)識,不能以偏概全,更不能絕對化.否則會出現(xiàn)學(xué)生在解題時是“死記硬背、套用模式”.長此以往,解題能力沒有提高,相反還抑制了學(xué)生的思維發(fā)展.我們應(yīng)該摒棄一些陳舊的、定勢的思維,努力培養(yǎng)學(xué)生多元化的創(chuàng)新思維.[4]波利亞曾經(jīng)說過“沒有任何一個題目是徹底完成了的”.因此,我們可以將任何解題方法加以改進,深化我們對答案的理解.[5]