三角不等式的證明

甘肅省蘭州市榆中縣恩玲中學(xué)(730100)張 科

三角不等式的證明是初等不等式證明問題的難點(diǎn),因為不僅要運(yùn)用代數(shù)不等式的方法,而且要使用三角函數(shù)的許多性質(zhì)如正弦、余弦函數(shù)的有界性、三角函數(shù)的單調(diào)性等,各種三角函數(shù)之間的變換在證明不等式過程中的目的性、規(guī)律性不強(qiáng),還有一些特殊方法不在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,三角不等式證明是一個非常重要的內(nèi)容,這些內(nèi)容在初等數(shù)學(xué)中都有很好的體現(xiàn).三角不等式的證明一直都是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容和難點(diǎn),不僅要求系統(tǒng)掌握知識的內(nèi)在聯(lián)系,運(yùn)用所學(xué)知識解決較為復(fù)雜或綜合性的問題,還要求有很強(qiáng)的邏輯思維能力、分析和解決問題的能力,證明三角不等式,是沒有固定的模式可以套用的,它方法靈活多變,技巧性強(qiáng).從而系統(tǒng)的掌握好不等式的性質(zhì),是解決不等式證明問題的基礎(chǔ).

三角不等式的幾種證明方法

下面結(jié)合實例給出證明三角不等式的5 種方法.

1.幾何法

借助幾何知識來證明代數(shù)或三角中的命題.

例1已知x,y,z ∈R,0 ＜x ＜y ＜z ＜證明：+2 sin x cos y+2 sin y cos z ＞sin 2x+sin 2y+sin 2z.

分析原不等式等價為+sin x sin y +sin y cos z ＞sin x cos x+sin y cos y+sin z cos z,再考慮利用幾何意義構(gòu)造證明.

證明因為原不等式等價為+sin x sin y+sin y cos z ＞sin x cos x + sin y cos y + sin z cos z,即＞sin x(cos x -cos y)+ sin y(cos y - cos z)+ sin z cos z.如圖1,OM1=cos x,OM2=cos y,OM3=cos z,M1A=sin x,M2B =sin y,M3C =sin z,

圖1

點(diǎn)評此題巧妙地利用三角線幾何意義,構(gòu)造矩形的面積證明,有較強(qiáng)的技巧性.對于不等式中含有自變量二個及二個以上的三角函數(shù)的這種混合型的三角不等式,常用幾何法證明,其思路、步驟是：先將題干中的不同量在單位圓中相應(yīng)地反映出來,如用線段、角度、弧長、面積等表示,然后結(jié)合兒何中等量或不等量關(guān)系,如圓心角等于所對的圓弧的弧度數(shù)、弧長大于所對的弦長、整體大于局部以及相似關(guān)系等,從而建立問題所需要的等量或不等量的關(guān)系式.如果建立關(guān)系式的過程受阻,應(yīng)設(shè)法添加輔助線.

2.公式法

例2已知求證：(tan α-tan β)2≥(tan γ-2 tan α)(2 tan β-tan γ).

分析所證不等式中涉及三個變量α,β,γ,結(jié)合結(jié)構(gòu)特征,考慮一元二次方程構(gòu)造證明.

證明當(dāng)tan γ - 2 tan α=0 時,原不等式顯然成立.當(dāng)tan γ -2 tan α /= 0 時,構(gòu)造一元二次方程(tan γ -2 tan α)x2+2(tan α-tan β)x+(2 tan β -tan γ)=0.因為(tan γ-2 tan α)+2(tan α-tan β)+(2 tan β-tan γ)=0,所以所作方程必有一根x=1,從而Δ=4(tan α-tan β)2-4(tan γ -2 tan α)(2 tan β -tan γ)≥0,即(tan α-tan β)2≥(tan γ-2 tan α)(2 tan β-tan γ).

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點(diǎn)評三角不等式的證明常通過代數(shù)方法去解決.

3.配方法

對某些三角式,可以通過恒等變形,使它變成一元二次函數(shù)的形式,然后用配方法解之.

例3在△ABC 中,求的整數(shù)部分.

分析利用三角形內(nèi)角和的特點(diǎn)考慮.

證 明在 △ABC 中,由冪平均不等式,則

又當(dāng)0 ＜x ＜1 時,x2＜x,所以,

點(diǎn)評證明過程中利用了冪平均不等式和0 ＜x ＜1 時,既考慮了三角特點(diǎn),又結(jié)合了代數(shù)不等式知識.

4.換元法

在解決三角不等式證明時,將三角函數(shù)用非三角函數(shù)的新變量代換,從而達(dá)到證明的目的,這種方法就是代數(shù)換元法.

例4求實數(shù)a 的取值范圍,使不等式恒成立.

分析對題中+sin θ)與sin 2θ 關(guān)系換元解決.

解設(shè)sin θ+cos θ =x,由可得sin 2θ =x2-1.原不等式可化為2a ＞0,即因為所以即易知f(x)在上單調(diào)遞減.所以故a ＞3.

點(diǎn)評換元之后,將三角不等化為代數(shù)不等式解決,既轉(zhuǎn)化了形式,又簡化了不等式.

5.輔助函數(shù)法

不等式和函數(shù)有著廣泛的聯(lián)系,函數(shù)的增減性是通過不等式體現(xiàn)的.因此,在證明某些三角不等式時,可引人輔助函數(shù),通過對函數(shù)性質(zhì)的研究來達(dá)到證明不等式的目的.

例5已知a,b,A,B ∈R,若對于一切實數(shù)x,都有f(x)=1-a cos x-b sin x-A cos 2x-B sin 2x ≥0,求證：a2+b2≤2,A2+B2≤1.

分析分析題中結(jié)構(gòu),考慮引入輔助角方法證明.

證明若a2+b2=0,A2+B2=0,則結(jié)論顯然成立.若令于是,

點(diǎn)評此題在恒成立的不等式中,通過賦值得 ②、③是關(guān)鍵的技巧.

從以上幾個方面淺談了三角不等式的證法,可以看到這些方法的運(yùn)用使問題的解答別開生面、獨(dú)具一格,大有妙不可言之感.當(dāng)然,使用這些方法,還需要對問題條件、結(jié)論作全面細(xì)致的分析,通過分析發(fā)現(xiàn)應(yīng)該借助哪些知識.而這些方法的使用既要有敏銳的觀察力、由此及彼的聯(lián)想能力,又要有嫻熟的轉(zhuǎn)化問題的技能.因此,它有利于培養(yǎng)良好思維的品質(zhì).