用舒爾不等式的變形證明一組征解題

河南省南陽師范學院軟件學院(473061)李居之

《數(shù)學通訊》(上半月)自2010年第1 期恢復“問題征解”子欄目以來,每期精選適合高中學生的有趣、實用、新穎、靈巧、深淺適度、富有啟發(fā)性的5 道題目進行征解,使其成為啟迪思維、開發(fā)智力的小智囊.筆者研讀了近十年來的征解題,在欣賞優(yōu)美精巧解答的同時,注意到了供題人經(jīng)常使用舒爾不等式及其變形來命制問題,本文以此為出發(fā)點,用舒爾不等式的一個變形舉例說明.

需要說明的是,利用舒爾不等式的變形證明不等式問題時,有時需結(jié)合均值不等式和柯西不等式以及兩個恒等式,這里將其列出,并且為了計算方便,不妨設p=a+b+c,q =ab+bc+ca,r =abc.

①(舒爾不等式的變形)設a,b,c ≥0,則有p3-4pq+9r ≥0；

②(a+b)(b+c)(c+a)=pq-r；

③a3+b3+c3=p3-3pq+3r.

例1(《數(shù)學通訊》2010年第9 期問題27)設a,b,c ∈R+,且a+b+c=3,求證：2(a3+b3+c3)+3abc ≥9.

證明待證不等式等價于2p3- 6pq + 9r ≥9 ?6p3- 18pq + 27r ≥27 ?6p3- 18pq + 27r ≥p3?5p3-18pq+27r ≥0.由舒爾不等式的變形并結(jié)合均值不等式得5p3-18pq+27r=5(p3-4pq+9r)+2pq-18r ≥從而原不等式成立,當且僅當a=b=c=1 時等號成立.

類似地,還可以證明2006年烏克蘭數(shù)學奧林匹克競賽題：

設a,b,c ＞0,求證：

例2(《數(shù)學通訊》2012年第10 期問題111)已知a,b,c為正實數(shù),求證：

證明由柯西不等式得則待所證不等式等價于

由舒爾不等式的變形結(jié)合均值不等式得

從而原不等式成立,當且僅當a=b=c=1 時等號成立.

類似地,還可以證明《數(shù)學教學》2018年第10 期問題1041：

設a,b,c ＞0,求證：

例3(《數(shù)學通訊》2013年第1、2 期問題124)已知正數(shù)a,b,c 滿足abc=a+b+c+2,求證：

證明容易證明r ≥8,待證不等式等價于

由舒爾不等式的變形結(jié)合條件r =p+2 得

從而原不等式成立,當且僅當a=b=c=1 時等號成立.

類似地,還可以證明《數(shù)學通訊》2017年第1 期問題284：

例4(《數(shù)學通訊》2014年第10 期問題195)已知正實數(shù)a,b,c 滿足a+b+c=3,求證：

證明將條件a+b+c=3 代入舒爾不等式的變形可得3r ≥4q-9,再由均值不等式得

從而原不等式成立,當且僅當a=b=c=1 時等號成立.

類似地,還可以證明《數(shù)學通訊》2010年第3 期問題8：

若a,b,c 為正數(shù),a+b+c=3,求證：

例5(《數(shù)學通訊》2015年第4 期問題211)已知x,y,z為正數(shù),求

的最小值.

解由舒爾不等式的變形結(jié)合均值不等式得

故P 的最小值為5,當且僅當x=y =z 時等號成立.

類似地,還可以證明《數(shù)學通訊》2017年第4 期問題295：

設x,y,z ＞0,求證：

盡管品牌真實性有不同定義，但研究者發(fā)現(xiàn)品牌真實性與消費者態(tài)度和行為意向有直接的關(guān)系[8]。Spiggle等[5]研究發(fā)現(xiàn)若人們對延伸品牌的真實性評價越高，那么他們就會更加接受該品牌的廣告信息推送，更愿意嘗試該品牌的新產(chǎn)品以及向親朋好友推薦這個品牌；Ewing等[9]研究發(fā)現(xiàn)若人們對綠色產(chǎn)品的品牌真實性評價越高，那么他們會更加喜歡購買綠色產(chǎn)品，也會愿意以更高的價格購買該產(chǎn)品；Morhart 等[10]研究發(fā)現(xiàn)品牌真實性與消費者對品牌的情感依戀和積極的口碑呈正相關(guān)；吳漪等[11]認為全球品牌真實性會正向影響品牌可靠性；徐偉等[12]研究發(fā)現(xiàn)本土品牌在國際化后，其品牌真實性會影響人們的購買意向。

例6(《數(shù)學通訊》2018年第7 期問題354)已知a,b,c為非負實數(shù),且a+b+c=ab+bc+ca ＞0,求證：

證明所證不等式結(jié)合條件a+b+c=ab+bc+ca 等價于

因為a,b,c 為非負實數(shù),所以只需證明a+b+c+abc ≥4.因為

所以

從而只需證明

進一步只需證明

此即為舒爾不等式的變形,顯然成立.從而原不等式成立,當且僅當a,b,c 中有一個為0,其余為2 時等號成立.

類似地,還可以證明《數(shù)學通報》2016年第9 期問題：

已知a,b,c ≥0,且a+b+c=ab+bc+ca ＞0,求證：

例7(《數(shù)學通訊》2019年第2 期問題388)已知正數(shù)a,b,c 滿足a+b+c=3,求

的最小值.

解由舒爾不等式的變形結(jié)合條件a+b+c=3 可得4(ab+bc+ca)≤9+3abc,再由均值不等式得

故P 的最小值為9,當且僅當a=b=c=1 時等號成立.

類似地,還可以證明2010年廣東省高中數(shù)學競賽題：

設a,b,c ≥0,且a+b+c=1,求證：9abc ≤ab+bc+ca ≤