聚焦彈簧模型 關(guān)注三類問題

武漢

彈簧是高考物理命題的一個經(jīng)典模型，高考涉及彈簧問題的題型多樣，主要圍繞彈力的特點、彈力做功與彈性勢能的變化等關(guān)系展開，與其他的知識如力的平衡、牛頓運動定律、動能定理、動量定理、機(jī)械能守恒定律、功能關(guān)系、動量守恒定律等問題進(jìn)行綜合。高考中彈簧模型的知識點有：

1.一般為輕彈簧。發(fā)生形變時(設(shè)形變量為x)，彈簧對其兩端物體的彈力沿彈簧的中軸線方向大小相等、方向相反。在彈性限度內(nèi)，彈力的大小遵循胡克定律F=kx(k為彈簧的勁度系數(shù)，大小只由彈簧本身的因素決定)。

2.彈簧的彈性勢能變化ΔEp與彈力做功W的關(guān)系ΔEp=-W。即彈力做了多少正功，彈簧的彈性勢能就減少多少；彈力做了多少負(fù)功，彈簧的彈性勢能就增加多少。

本文通過典型實例，分類解析彈簧模型在高考中的三類問題。

一、彈簧彈力的大小與特點

圖1

【例1】(原創(chuàng))如圖1所示，用一段細(xì)線和一根輕彈簧分別系住A、B兩個小球。B球的質(zhì)量為m，A球的質(zhì)量為M=2m。手握住線的上端沿水平向右做勻加速運動，不計空氣阻力，已知重力加速度為g，系統(tǒng)運動穩(wěn)定時細(xì)線與豎直方向的夾角θ=60°，當(dāng)系統(tǒng)速度為v時細(xì)線恰好斷開。則以下說法正確的是

( )

A.細(xì)線斷開前彈簧的軸線與豎直方向的夾角α>θ

B.細(xì)線斷開后的瞬間彈簧對B球拉力的功率為2mgv

C.細(xì)線斷開后的瞬間A、B兩球的加速度大小相等

D.細(xì)線斷開后到小球落地前系統(tǒng)沿任何方向的動量均不守恒

【答案】C

圖2

【點評】在彈性限度內(nèi)，彈力大小與彈簧的形變量成正比，即F=kx。彈簧彈力的大小不能發(fā)生突變，只有當(dāng)彈簧的形變量發(fā)生變化時彈簧彈力才發(fā)生變化。

【例2】(2019年湖北黃岡模擬)(多選)如圖3所示，光滑水平地面上，可視為質(zhì)點的兩小滑塊A、B在水平外力F的作用下緊靠在一起壓縮彈簧，彈簧左端固定在豎直擋板上，此時彈簧的壓縮量為x0。以地面上兩滑塊此時的位置為坐標(biāo)原點O，水平向右建立位移坐標(biāo)軸Ox，現(xiàn)將外力F突然反向并使B向右做勻加速運動。則關(guān)于外力的大小F、兩滑塊間彈力的大小FN隨滑塊B位移x變化的圖象可能正確的是

( )

圖3

A

B

C

D

【答案】BD

【點評】本題是彈簧與動力學(xué)圖象相結(jié)合的選擇判斷問題，以上分析求解中通過運用牛頓運動定律分別導(dǎo)出力F、FN隨x變化的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)關(guān)系式及相關(guān)的數(shù)學(xué)知識和可能存在的條件對圖象作出正確的判斷。

【小結(jié)】彈簧的彈力與彈簧的形變量相對應(yīng)。分析彈簧彈力及變化問題一般從彈簧的形變情況分析入手，確定彈簧原長位置、現(xiàn)長位置及臨界位置，找出彈簧形變量x與彈簧兩端物體空間位置變化的幾何關(guān)系，確定彈簧彈力的大小及方向，根據(jù)彈簧兩端物體的運動狀態(tài)再結(jié)合相關(guān)的力學(xué)規(guī)律求解。

二、彈力做功與彈性勢能的變化

圖4

【例3】(2019年哈爾濱模擬)(多選)如圖4所示，質(zhì)量相等的小物體A、B用豎直輕彈簧連接，B放在水平地面上，A用一根不可伸長的輕繩相連，輕繩的另一端繞過固定在物體A正上方的光滑小定滑輪D與小環(huán)C相連，小環(huán)C套在豎直固定的光滑細(xì)桿上。開始時小環(huán)位于桿上位置R處，此時繩與桿的夾角為θ，物體B與地面恰好無壓力。圖中SD水平，位置Q與R關(guān)于S點對稱?，F(xiàn)讓小環(huán)從R點靜止釋放，已知在環(huán)下落的過程中細(xì)繩始終處于拉直狀態(tài)，且環(huán)到達(dá)位置Q時速度最大。則在小環(huán)由R到Q的過程中，下列說法正確的是

( )

A.小環(huán)C與物體A組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒

B.小環(huán)C在位置S處其機(jī)械能一定最大

C.小環(huán)C從位置R到Q的過程中彈簧的彈性勢能可能先減小后增大

【答案】BCD

【點評】當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)只有重力、彈簧彈力做功時系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。彈簧彈力做功與路徑無關(guān)，只與初末位置有關(guān)。彈簧彈力做功對應(yīng)彈簧彈性勢能的變化。彈簧的彈性勢能與彈簧的勁度系數(shù)及形變量有關(guān)。同一彈簧的形變量相同時彈性勢能相等。

【例4】(原創(chuàng))如圖5所示，勁度系數(shù)k=800 N/m的輕彈簧兩端分別連接著兩個質(zhì)量相同且均可視為質(zhì)點的物體A、B，豎立靜止在水平地面上。以A物體此時所在的位置為位移坐標(biāo)的原點，豎直向上建立位移坐標(biāo)系，給物體A加一豎直向上的力F，通過傳感器與DIS系統(tǒng)測出力F隨位移x變化的圖象如圖6所示。已知在A物體運動一段時間后B物體離開地面，設(shè)整個過程彈簧都處于彈性限度內(nèi)，g取10 m/s2。求：

圖5

圖6

(1)從A開始運動到B離開地面過程中F做的功WF；

(2)A物體運動多長時間B離開地面？

【答案】(1)49.5 J (2)0.4 s

【解析】(1)設(shè)兩物體質(zhì)量均為m，在A物體運動一段時間t到B物體離開地面的整個過程中，彈簧由壓縮量x1變?yōu)樯扉L量x2。加力F前對A有kx1=mg；當(dāng)B離地有kx2=mg；由圖乙知x1+x2=0.3 m；解得m=12 kg，x1=x2=0.15 m。

(2)由題知B離地前A做勻加速運動，有

對A由牛頓第二定律得

F1+kx1-mg=ma；F2-kx2-mg=ma。

解以上幾式得t=0.4 s。

【點評】同一彈簧在壓縮與伸長的形變量相同時，彈簧的彈力大小相等、方向相反，彈性勢能相同，這是彈簧對稱性的表現(xiàn)。在彈簧由壓縮到伸長相同的形變量的過程中，彈簧彈力做的總功為零。根據(jù)彈簧的這一對稱性特點，為用動能定理、能量守恒定律來定量分析彈簧的功能問題帶來了可能，體現(xiàn)了彈簧問題的特殊性。

【小結(jié)】由于目前高考中全國卷考綱不要求利用彈性勢能的表達(dá)式進(jìn)行定量計算彈性勢能的大小，因此有關(guān)彈簧彈性勢能的定量計算可用以下兩種方法：(1)通過彈力做功求彈性勢能大小。由于彈力大小F隨彈簧的形變量x是線性變化關(guān)系，可求這種變力的平均值(即為算術(shù)平均值)，由功的公式求其做的功，或利用F-x線性圖象中的“面積”求變化的彈力做功，或用“微元法”來計算變化的彈力做功，再根據(jù)彈力做功與彈性勢能的變化關(guān)系來確定彈性勢能的大??；(2)根據(jù)動能定理、能量轉(zhuǎn)化和守恒定律求彈性勢能的大小，在一些特殊情況下可充分利用彈簧的對稱性來分析問題。

三、彈簧類的探究性實驗

圖7

【例5】(2019年廣州模擬)如圖7所示為某同學(xué)做“探究彈力和彈簧伸長量關(guān)系”時實驗的裝置，讓刻度尺零刻線與彈簧上端平齊，彈簧不掛物體時下端指針?biāo)傅目潭葹閤0，在彈簧下用足夠長的輕質(zhì)細(xì)線掛上4個相同的鉤碼(彈簧處于彈性限度內(nèi))，靜止置于燒杯T內(nèi)，控制閥門S通過細(xì)膠管向燒杯中緩慢注水，依次浸沒4個鉤碼，記錄每浸沒一個鉤碼時指針?biāo)傅目潭葂1、x2、x3、x4，已知每個鉤碼質(zhì)量為m，重力加速度為g，以xn為縱坐標(biāo)，n為橫坐標(biāo)建立坐標(biāo)系，作出xn和浸沒鉤碼個數(shù)n的關(guān)系圖線，求得圖線斜率為a，縱截距為b，則該彈簧的勁度系數(shù)為________，每個鉤碼所受浮力為________。(均用a、b、m、g和x0表示)

圖8

【例6】(改編)某同學(xué)利用如圖8 所示裝置來驗證機(jī)械能守恒定律，并測量彈簧的勁度系數(shù)。A、B是由輕彈簧相連的質(zhì)量均為m的兩小物塊，C是質(zhì)量為M的重物，A、C間由輕質(zhì)細(xì)繩相連。在物塊B下放置一壓力傳感器，重物C下放置一速度傳感器，壓力傳感器與速度傳感器相連。整個實驗中彈簧均處于彈性限度內(nèi)，重力加速度大小為g。實驗操作如下：

a.開始時，系統(tǒng)在一外力作用下保持靜止，細(xì)繩拉直但張力為零?，F(xiàn)釋放C，使其向下運動，當(dāng)壓力傳感器示數(shù)為零時，速度傳感器測出C的速度為v。

b.在實驗中保持A、B質(zhì)量不變，改變C的質(zhì)量M，多次重復(fù)步驟a。

回答下列問題：

(1)為便于研究速度v與質(zhì)量M的關(guān)系，每次測C的速度時，C已下降的高度應(yīng)________(填“相同”或“不同”)。

(3)根據(jù)(2)中的圖線，若圖線在縱軸上的截距為b，則彈簧的勁度系數(shù)為________(用題給的已知量表示)。

【點評】本實驗驗證物塊A、重物C及彈簧系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，并測量彈簧的勁度系數(shù)，巧妙地利用了初末狀態(tài)下彈簧的彈性勢能相同。作線性圖象處理實驗數(shù)據(jù)，是實驗數(shù)據(jù)處理的一種常見的方法。