探究一道簡(jiǎn)單高考題的豐富內(nèi)涵

李昌成

摘要：有些題目表面上看起來(lái)平淡無(wú)奇，實(shí)際上卻有豐富的內(nèi)涵.對(duì)于這種問(wèn)題，我們可以研究其最優(yōu)解法，討論其純粹性、完備性，拓展得到更一般的結(jié)論或相關(guān)結(jié)論，尋找其與從前高考題目的關(guān)聯(lián)性，探索其源題目.

關(guān)鍵詞：高考題;一題多解;合理猜想;發(fā)散思維

每一道高考題都深入考查了某一知識(shí)領(lǐng)域或某幾個(gè)知識(shí)領(lǐng)域，凝聚著命題專家的智慧，有些題目表面上看起來(lái)平淡無(wú)奇，實(shí)際上卻有豐富的內(nèi)涵.之所以如此，是因?yàn)槲覀儧](méi)有領(lǐng)悟到專家的良苦用心.比如，是否找到了最優(yōu)解法？是否弄明白了問(wèn)題的純粹性、完備性？是否可以拓展得到更一般的結(jié)論或相關(guān)結(jié)論？是否發(fā)現(xiàn)本題與從前高考題目的關(guān)聯(lián)性？是否發(fā)現(xiàn)本題與教材題目的關(guān)聯(lián)性？下面來(lái)研究一道看似簡(jiǎn)單的高考題，體會(huì)高考題的博大精深.

1 原題呈現(xiàn)一題多解

題目 （2017年全國(guó)高考數(shù)學(xué)Ⅲ卷理科第20題）已知拋物線C：y²=2x，過(guò)點(diǎn)（2，0）的直線交C于A，B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓.

（1）證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上;

（2）略.

分析 本題以直線與拋物線相交為背景，考查學(xué)生關(guān)于解析幾何的基本技能和技巧.只要學(xué)生有一定基礎(chǔ)都能較好地完成，難度較小.但它卻蘊(yùn)含著豐富的教學(xué)素材，可以作為一個(gè)典型例題，全面提升學(xué)生的能力.

解法1 由于直線Z的斜率可能存在，也可能不存在，因此必須分類討論，分別完成證明.不失一般性，設(shè)點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第四象限.

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，其方程為x=2，A（2，2），B（2，-2），OA：（2，2），OB：（2，-2），OA，OB=4 -4 =0：

當(dāng)直L的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為K，則其方程為y=五（x-2）.

以上解法都是圓錐曲線的基本處理辦法，也是教學(xué)大綱、考試大綱基本要求，作為基本功，我們不可忽視.有沒(méi)有更好的處理方式呢？答案是肯定的！

當(dāng)直線的斜率和截距存在時(shí)，直線方程一般設(shè)為y=KX+b.當(dāng)直線的斜率不確定，但橫截距已知時(shí)，如何設(shè)直線方程呢？我們運(yùn)用類比的思想，可以設(shè)直線方程為x=ty +a，這樣往往可避開討論和減少運(yùn)算.因?yàn)閠=0時(shí)它表示的直線無(wú)斜率，t≠0時(shí)它可以化成斜截式.至于這種設(shè)法能否減少計(jì)算量，只有對(duì)比才知道.下面驗(yàn)證一下這種設(shè)法是否可行.

3 發(fā)散思維碩果累累

不難發(fā)現(xiàn)，以上兩結(jié)論與拋物線的通徑長(zhǎng)2p密切相關(guān)，而焦點(diǎn)也是拋物線的重要組成部分，因此過(guò)焦點(diǎn)的弦也應(yīng)該有一些重要性質(zhì)，

4 結(jié)束語(yǔ)

本題其實(shí)是由教材上一道習(xí)題改裝而得，仿佛有點(diǎn)簡(jiǎn)單，但實(shí)際上蘊(yùn)含了很多知識(shí)，考查了很多技能.比如直線方程的形式就有好幾種，不難發(fā)現(xiàn)直線形式不同導(dǎo)致后續(xù)的運(yùn)算也有繁有簡(jiǎn).猜想是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的重要途徑，猜想也使問(wèn)題更加深入而豐富，正如波利亞所言“解數(shù)學(xué)題就像采蘑菇一樣，當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)蘑菇時(shí)，在它周圍可能有一個(gè)蘑菇圈”.因此教學(xué)的路途上風(fēng)景無(wú)限好，只要大膽猜想，精心雕琢，嚴(yán)謹(jǐn)證明，就一定能品出數(shù)學(xué)的迷人芳香.