素養(yǎng)立意視角下的高中數(shù)學(xué)試題命制

陳小波

摘要：高考命題以素養(yǎng)立意，以知識為載體考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).高質(zhì)量的試題具有較強(qiáng)的導(dǎo)向性、科學(xué)性、創(chuàng)新性，可以提高學(xué)生解決問題的能力、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：素養(yǎng)立意;高中數(shù)學(xué);試題命制

筆者長期參與高三數(shù)學(xué)模擬試題的命題工作，一直遵循“命題構(gòu)思試題命制答題分析命題反思”等基本流程.在命制的2019屆高三上學(xué)期期末試題中，第16題是一道高質(zhì)量的創(chuàng)新題，命題過程令人記憶猶新，收獲頗豐.本文以此題的命題過程為例，談?wù)勊仞B(yǎng)立意視角下試題命制的基本思路.

1 命題構(gòu)思

1.1 明確要求

第16題考查內(nèi)容為解三角形，涉及三角形的邊長與角度關(guān)系，正、余弦定理的應(yīng)用，承擔(dān)填空題壓軸題功能，命題設(shè)問最好是含有參數(shù)、與面積有關(guān)的最值問題，難度為中檔偏難.

1.2命題立意 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》背景下的高考命題基于素養(yǎng)立意，高考題的設(shè)問方式有簡單的陳述，也有程序性的呈現(xiàn)，更多的時(shí)候是考查策略性知識的設(shè)問情景，考查學(xué)生在情景中運(yùn)用“數(shù)學(xué)思想方法”解決問題的能力，以及必備知識、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)和核心價(jià)值.基于此，本題設(shè)問中不僅要有程序性知識，還要有策略性知識，要求立意新，情景新，設(shè)問新.

1.3制定雙向細(xì)目表 根據(jù)命題要求和命題立意，制定如下雙向細(xì)目表：

2 命題過程

2.1 設(shè)計(jì)思路

依據(jù)命題雙向細(xì)目表，以簡單的三角形為背景可能無法承載命題要求，因此考慮在三角形中增加線段，可以是中線、角平分線、或其它定比分點(diǎn)線段，設(shè)計(jì)合理參數(shù)，構(gòu)造二元代數(shù)式最值問題.

2.2 選材研究

根據(jù)設(shè)計(jì)思路，筆者重點(diǎn)研究了2017年高考數(shù)學(xué)全國Ⅲ卷第17題，決定以這道題為基礎(chǔ)進(jìn)行創(chuàng)作.

原題 （2017年全國Ⅲ卷第17題）△ABC中的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA+ √3cosA=0，a=2√7，b =2.

（1）求c;

（2）D為BC邊上一點(diǎn)，且AD⊥AC，求△ABD的面積.

這道高考題考查面比較廣，涉及正、余弦定理、面積公式、定比分點(diǎn)線段等，符合命題對內(nèi)容的要求.由sinA+ √3cosA=0可得∠A= 120°，易得c=4.隨之可以從幾何、代數(shù)、三角等角度進(jìn)行分析求解，解題思路很多，解題技巧多樣，但是難度不夠，思維量少，需要引進(jìn)參數(shù).

2.3 構(gòu)造設(shè)問

2.3.1 改頭換面，搭架構(gòu)題

隱去邊的長度，由學(xué)生自主選擇參數(shù)，考查學(xué)生分析問題的能力.由于邊長a，b，c未知，條件不夠，擬增加條件，但是增加的這個(gè)條件既要考查策略性知識，又要考查運(yùn)用轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力.已知AD的長就是一個(gè)創(chuàng)新設(shè)計(jì)，接下來，設(shè)計(jì)求△ABC面積的取值范圍，就比較自然了.

一稿在△ABC中，角A，B，C的對應(yīng)邊分別為a，b，c，已知sinA+ √3cosA=0，D是BC邊上的點(diǎn)，且AD⊥AC，若AD=1，則△ABC面積的最小值為____.

考查了正、余弦定理、面積公式，涉及均值不等式、函數(shù)思想、方程思想等.條件“sinA+ √3cosA=0”，考查了三角恒等式的變形和公式的靈活運(yùn)用等程序性知識;條件“AD⊥AC”和“AD =1”都是策略性知識情景，需要較強(qiáng)的遷移分析、轉(zhuǎn)化化歸、綜合應(yīng)用等思維能力.設(shè)計(jì)的目標(biāo)“求△ABC面積的最小值”，需要建構(gòu)條件與目標(biāo)間的聯(lián)系，尋找解題思路，考查學(xué)生“數(shù)學(xué)建模、邏輯推理”的數(shù)學(xué)素養(yǎng).此時(shí)，一稿已經(jīng)非常接近命題要求了，但考慮到運(yùn)算的時(shí)間成本，決定以陳述的方式已知∠BAC= 120°.

二稿在△ABC中，角.A，B，C的對應(yīng)邊分別為a，b，c，已知∠BAC= 120°，D是BC邊上的點(diǎn)，且ADIAC，若AD =1，則△ABC面積的最小值為____. 這樣一來，題目條件的設(shè)計(jì)清爽.進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，條件AD⊥AC的作用就是將∠BAC分解為30°和90°的兩個(gè)特殊角，三個(gè)三角形中都有一個(gè)特殊角，妙！命題人的心情是愉悅的，與學(xué)生的精神對話就此開始.命題人相信學(xué)生容易找到解題思路，運(yùn)算也應(yīng)該不那么難了.

實(shí)際上，本題關(guān)鍵是構(gòu)造關(guān)于b和c的等量關(guān)系2b+c=√3bc，這是很常見的一個(gè)關(guān)系式，可以衍生很多不等式結(jié)論，比如，求2b +c的最小值，也可以求b'c的最小值，這時(shí)候，三稿和四稿應(yīng)運(yùn)而生.

三稿在△ABC中，角A，B，C的對應(yīng)邊分別為a，6，c，∠BAC= 120°，D是BC邊上的點(diǎn)，且AD⊥AC，若AD =1，則2b +c的最小值為____.

四稿在△ABC中，角A，B，C的對應(yīng)邊分別為a，b，c，∠BAC= 120°，D是BC邊上的點(diǎn)，且AD⊥AC，若AD =1，則b.c的最小值為____.

鑒于條件AD上AC的作用就是將三角形分解為有特殊角的兩個(gè)小三角形，那么，變換條件“∠BAC=120°”為“∠BAC=150°”，其他條件不變，創(chuàng)作了五稿，變換條件“AD IAC”為“AD為角平分線”，其他條件不變，創(chuàng)作了六稿和七稿：

五稿在AABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，∠BAC= 150°，D是BC邊上的點(diǎn)，且AD⊥AC，若AD =1，則△ABC面積的最小值為____.

六稿在△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，∠BAC= 120°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，且AD =1，則2b +c的最小值為____.

七稿在△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，∠BAC= 120°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，且AD =1，則△ABC面積的最小值為____.

其實(shí)，在以上七稿中任取其一就可以完成命題任務(wù)了，但由于命題過程中驚喜不斷，任何一位命題人都會嘗試進(jìn)一步挖掘、研究和完善，對于三稿和六稿的解答，學(xué)生有可能走捷徑估算，直接在條件2b=c=2√2下求得2b +c的最小值，答案剛好是正確的，那么作為填空題似有不妥，至少不夠完美，只需要調(diào)整式子2b +c中的系數(shù)2，就可以避免這個(gè)問題但是，很湊巧，三稿和六稿與2018年高考數(shù)學(xué)江蘇卷第13題非常相似，都與角平分線有關(guān)，解題方法也完全一樣，這樣一來，就不能直接作為考題了.綜合分析，決定棄用三稿至七稿.

2.3.2 逆命題法，整合創(chuàng)新

對于一稿和二稿，對換條件和結(jié)論，有意想不到的收獲.

八稿在△ABC中，角A，B，C的對應(yīng)邊分別為a，b，c，∠BAC= 120°，D是BC邊上的點(diǎn)，且AD ⊥AC，當(dāng)AABC的面積最小時(shí)，AD=____.

此時(shí)，至少從試題表面上與原題相差甚遠(yuǎn)了，增強(qiáng)了創(chuàng)新性和應(yīng)用性，簡直就是一道完美的原創(chuàng)題.

計(jì)算過程中發(fā)現(xiàn)求AD的運(yùn)算量過大，如圖1，需繼續(xù)打磨.

再次調(diào)整之后，第九稿誕生.

九稿 在△ABC中，角A，B，C的對應(yīng)邊分別為a，b，c，∠BAC= 120°，D是BC邊上的點(diǎn)，且AD⊥AC，已知△ABC的面積為√3，當(dāng)AD取得最大值時(shí)，BC=____.

3 答題分析

實(shí)際測試效果非常好，是一次設(shè)計(jì)策略性知識為背景的成功案例，也是一道考查數(shù)學(xué)素養(yǎng)的好題，學(xué)生答題思路較寬，解決方法多樣，學(xué)生的答題方法有以下幾種.

3.1 幾何法

3.1.1 利用面積分割

4 命題反思

4.1 立意很好，難度偏大

高考命題從知識立意，到能力立意，再到素養(yǎng)立意，是實(shí)現(xiàn)發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)、培養(yǎng)新時(shí)代人才的要求，體現(xiàn)了命題的育人功能.此題是以素養(yǎng)立意命題的典型代表，考查“思想方法”的運(yùn)用.從實(shí)際測試結(jié)果的得分情況分析，此題實(shí)際難度為0.2，比預(yù)設(shè)難度稍微大了些.原因是高三上學(xué)期學(xué)生的能力水平和數(shù)學(xué)素養(yǎng)還沒有進(jìn)入最佳狀態(tài)，使用二稿可能是最合適的，到高三下學(xué)期模擬考試的時(shí)候再使用九稿.

4.2 深度研究，開發(fā)新題

在命題過程中致力于追求原創(chuàng)性，但是由于各種原因，大部分試題是來源于經(jīng)典題改編、多題融合，只能通過編題、改題、變題來實(shí)現(xiàn)命制創(chuàng)新題的目的.高考題具有導(dǎo)向性、科學(xué)性、創(chuàng)新性，特別是中高難度的高考試題的題設(shè)條件具有很強(qiáng)的策略性，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，對思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求高.所以，深度研究高考題，在此基礎(chǔ)上可以開發(fā)出更多的好題、新題和創(chuàng)新題實(shí)際上，在本題的命制過程中，結(jié)合高考題，文中的一稿至九稿還可以衍生很多新題、好題

4.3 反思命題，提升能力

命題是一項(xiàng)嚴(yán)肅的工作，每一道好題都是命題人、學(xué)生、教師與數(shù)學(xué)之間的一次精神交流.命題難，命原創(chuàng)題更難，每次命題都要經(jīng)過“命題要求——命題過程——答題分析——命題反思”的基本流程，再經(jīng)歷編題、打磨、修改、完善、反思等程序.最后，還要合理利用考試后的反饋數(shù)據(jù)，研究答題情況，有助于進(jìn)一步提升命題能力.

作為一名教研員或者一線教師，命題工作是自己的常規(guī)工作之一，也=是體現(xiàn)教師業(yè)務(wù)水平的重要工作之一.高質(zhì)量的試題能指引教學(xué)、提升解題能力，更重要的是可以促進(jìn)深度學(xué)習(xí)、發(fā)展教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高學(xué)生的解題能力，實(shí)現(xiàn)發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的育人目標(biāo).

參考文獻(xiàn)：

[1]王永生.一道高考數(shù)學(xué)試題的命題賞析與啟示[J].云南教育（中學(xué)教師），2017（06）：13 -16.

[2]陸王華.對一道高三調(diào)研試題的探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué).2013 （07）：88 -91.

[3]徐明.小填空，大乾坤——一道統(tǒng)考題的命題構(gòu)思與反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬）.2013 （06）：61 - 63.

[4]任子朝.一道高考數(shù)學(xué)題的命題過程與答題分析[J].高中生.2002（10）：2 -4.