例談“等時(shí)圓周”結(jié)論在動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用

徐美獎(jiǎng)　王燕萍

摘要：對(duì)于比較幾個(gè)質(zhì)點(diǎn)在圓周或類(lèi)似圓周情景中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，重點(diǎn)考查運(yùn)動(dòng)學(xué)和牛頓第二定律的基本規(guī)律.筆者通過(guò)對(duì)該類(lèi)問(wèn)題的研究，歸納出“等時(shí)圓周”結(jié)論，本文從兩個(gè)方面分析“等時(shí)圓周”結(jié)論在動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：等時(shí)圓周;動(dòng)力學(xué);模型應(yīng)用

1 基本模型及規(guī)律

模型一如圖1所示，質(zhì)點(diǎn)從豎直圓周的最高點(diǎn)，沿不同的光滑弦由靜止開(kāi)始滑至該圓周下端任意一點(diǎn)所用的時(shí)間均相等.

證明設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)從圓周的最高點(diǎn)P由靜止開(kāi)始，沿光滑弦PA滑至該圓周上A點(diǎn)，其中θ表示弦PA與水平面的夾角，如圖2所示，

在Rt△PAB中，由數(shù)學(xué)關(guān)系可得：PA= 2Rsinθ①

根據(jù)牛頓第二定律：mgsinθ= ma

②

根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式：PA=1/2at²

③

可見(jiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為定值，與到達(dá)圓周下端點(diǎn)的位置無(wú)關(guān).

模型二如圖3所示，質(zhì)點(diǎn)從豎直圓周上端任意一點(diǎn)，沿不同的光滑弦由靜止開(kāi)始滑至該圓周的最低點(diǎn)所用的時(shí)間相等.

證明 設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)從圓周上端任意一點(diǎn)A由靜止開(kāi)始，沿光滑弦AP滑至該圓周的最低點(diǎn)P，其中θ表示弦PA與水平面的夾角，如圖4所示，

在Rt△PAB中，由數(shù)學(xué)關(guān)系可得：AP= 2Rsinθ①

2 典例賞析

例1如圖5所示，位于豎直平面內(nèi)的固定光滑圓環(huán)軌道與水平面相切于M點(diǎn)，與豎直墻相切于A點(diǎn).豎直墻上另一點(diǎn)B與M的連線和水平面的夾角為600，C是圓環(huán)軌道的圓心.已知在同一時(shí)刻，a、b兩球分別由A、B兩點(diǎn)從靜止開(kāi)始沿光滑傾斜直軌道AM、BM運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)，而c球由C點(diǎn)自由下落到M點(diǎn)，則（ ）

A.a球最先到達(dá)M點(diǎn)

B.b球最先到達(dá)M點(diǎn)

C.c球最先到達(dá)M點(diǎn)

D.b球和c球都可能最先到達(dá)M點(diǎn)

點(diǎn)評(píng) 首先分析清楚各研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)情況是關(guān)鍵.其次，本題可巧妙地結(jié)合“等時(shí)圓周”的結(jié)論，進(jìn)行定性分析，a球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于一個(gè)“等時(shí)圓周”的時(shí)間，b球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間大于一個(gè)“等時(shí)圓周”的時(shí)間，c球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間小于一個(gè)“等時(shí)圓周”的時(shí)間，故c球最先到達(dá)M點(diǎn).

例2 如圖7所示，光滑細(xì)桿BC、DC和AC構(gòu)成矩形ABCD的兩鄰邊和對(duì)角線，AC：BC： DC =5：4：3，AC桿豎直.各桿上分別套有一小球a、b、d（可視為質(zhì)點(diǎn)），a、b、d三小球的質(zhì)量比為1：2：3.現(xiàn)讓三小球同時(shí)從各桿的頂點(diǎn)由靜止釋放，不計(jì)空氣阻力，則o、b、d三小球在各桿上滑行的時(shí)間之比為（ ）

A.1：1：l

B.5：4：3

C.5：8：9

D.1：2：3

解析 根據(jù)題設(shè)中所給的數(shù)學(xué)關(guān)系可知，該矩形的四個(gè)頂點(diǎn)位于以AC邊長(zhǎng)為直徑的圓周上，如圖8所示，故三個(gè)小球a、b、d的運(yùn)動(dòng)滿足“模型二”中的情景，由“等時(shí)圓周”結(jié)論可知，它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，所以選項(xiàng)A正確.

點(diǎn)評(píng) 利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題是一項(xiàng)重要能力，本題要求學(xué)生能發(fā)現(xiàn)其中數(shù)學(xué)關(guān)系，并聯(lián)系物理“等時(shí)圓周”模型，同時(shí)考查思維遷移能力，如果學(xué)生沒(méi)有聯(lián)想到用此模型的結(jié)論來(lái)求解，而是通過(guò)位移關(guān)系并運(yùn)用動(dòng)力學(xué)知識(shí)去計(jì)算小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，將會(huì)花費(fèi)較多時(shí)間.

例3 如圖9所示，在傾角為θ的斜面上A點(diǎn)有一長(zhǎng)為L(zhǎng)= lOm的輕桿豎直放置.已知A點(diǎn)距斜面底端lOm，現(xiàn)從輕桿頂端B點(diǎn)處安裝一滑索到斜面底端，不計(jì)摩擦阻力，取g=lOm/s²，則一可套在滑索上的小球從B點(diǎn)由靜止開(kāi)始滑到斜面底端的時(shí)間為（ ）

A.Is

B.√2s

C.2s

D.4s

點(diǎn)評(píng) 學(xué)生在求解本題時(shí)，分析小球沿滑索下滑做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，可能會(huì)糾結(jié)如何表示其加速度和位移，而無(wú)法繼續(xù)進(jìn)行下去.如果我們巧妙地利用題于中的長(zhǎng)度關(guān)系構(gòu)建一個(gè)圓，就大大簡(jiǎn)化了過(guò)程分析，再直接利用“等時(shí)圓周”結(jié)論進(jìn)行計(jì)算就顯得非常簡(jiǎn)便.

點(diǎn)評(píng) 學(xué)生在解答本題容易錯(cuò)誤套用“等時(shí)圓周”結(jié)論，而錯(cuò)選A選項(xiàng).其實(shí)本題中三個(gè)小環(huán)下滑至a點(diǎn)并非圓周的最低點(diǎn)，因此本題應(yīng)用動(dòng)力學(xué)知識(shí)來(lái)求解.

變式應(yīng)用2 如圖12所示，在傾角為θ的斜面上方的A點(diǎn)處旋轉(zhuǎn)一光滑的木板AB，B端剛好在斜面上.木板與豎直方向AC所成角度為a，一小物塊自A端沿木板由靜止滑下，要使物塊滑到斜面的時(shí)間最短，則a角與θ角的大小關(guān)系應(yīng)為（ ）

A.a=θ

B.a=θ/2

C.a=θ/3

D.a =20

解析 利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析可知，要使物塊從A點(diǎn)滑到斜面的時(shí)間最短，我們可以作一個(gè)合適的圓，這個(gè)圓的圓心在AC上，同時(shí)也經(jīng)過(guò)A點(diǎn).當(dāng)這個(gè)圓恰好與斜面相切時(shí)，切點(diǎn)記為B，從A點(diǎn)到B點(diǎn)連線的方向就是木板AB應(yīng)該放置的方向，如圖13所示，再利用“等時(shí)圓周”結(jié)論可知，這樣所用的時(shí)間最短.由數(shù)學(xué)關(guān)系知，∠COB=θ，∠OAB=∠OBA=a，根據(jù)三角形知識(shí)得θ=2a，即a=θ/2，故選項(xiàng)B正確.

點(diǎn)評(píng) 本題所求時(shí)間最短問(wèn)題，學(xué)生不易想到對(duì)應(yīng)何種情景，但是如果學(xué)生對(duì)“等時(shí)圓周”模型及規(guī)律非常熟悉，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)做出圓并與斜面相切其實(shí)就是我們要找的情景，這個(gè)問(wèn)題就變得容易理解了.

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（收稿日期：2019 - 01 -15）