直觀想象素養(yǎng)在求解函數(shù)壓軸小題中的滲透

趙志剛

摘要：新修訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中強(qiáng)調(diào)：突出數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在數(shù)學(xué)課程逐漸展開的過(guò)程中，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，本文例談直觀想象數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在導(dǎo)數(shù)背景下的函數(shù)、不等式問(wèn)題中的滲透，

關(guān)鍵詞：直觀想象;導(dǎo)數(shù);函數(shù);不等式

導(dǎo)數(shù)背景下的函數(shù)或不等式問(wèn)題能很好地考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)，換元、構(gòu)造、對(duì)應(yīng)、圖形、配湊等意識(shí)及知識(shí)的綜合運(yùn)用能力，是培養(yǎng)直觀想象數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的良好載體.因而近年來(lái)，這類問(wèn)題作為壓軸小題，頻繁出現(xiàn)在各地模擬試題中，成為高考命題的一類熱點(diǎn)問(wèn)題.本文將對(duì)具體實(shí)例進(jìn)行剖析，力求揭示此類試題的考查形式，探索它們的題型規(guī)律，透視其求解策略，以期拋磚引玉.

評(píng)注 本題以方程根的個(gè)數(shù)判斷為背景，考查了方程與函數(shù)轉(zhuǎn)化、換元、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性中的應(yīng)用等知識(shí)，最后結(jié)合圖象作出判斷，很好地考查了直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2 函數(shù)方程中關(guān)系式的求解值問(wèn)題

評(píng)注 本題依據(jù)目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)特征，換元轉(zhuǎn)化為新元的一元二次方程后利用韋達(dá)定理，并結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，作出圖象整體求解.很好地考查了換元轉(zhuǎn)化、整體處理的意識(shí)和直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)的運(yùn)用.

3 函數(shù)方程中參數(shù)范圍的確定

評(píng)注 解決此類問(wèn)題往往將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程根的問(wèn)題，再轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題來(lái)解決.本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用以及直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

4 函數(shù)不等式中參數(shù)范圍的確定

例4（2019屆“超級(jí)全能生”聯(lián)考理16）設(shè)m∈

評(píng)注 本題充分挖掘函數(shù)式所蘊(yùn)含的幾何背景，將不等式成立轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解，充分體現(xiàn)直觀想象數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的運(yùn)用.

評(píng)注 本題基于高考的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化能力，計(jì)算能力以及數(shù)形結(jié)合思想命制，在分類討論的基礎(chǔ)上結(jié)合圖象進(jìn)行求解，很好地考查了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).5感悟

英國(guó)數(shù)學(xué)家懷特·海德說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)是從模式化的個(gè)體作抽象的過(guò)程中對(duì)模式的研究.”羅增儒教授也說(shuō)過(guò)：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，所積累的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)經(jīng)過(guò)加工，會(huì)得出有長(zhǎng)久保存價(jià)值或基本重要性的典型結(jié)構(gòu)與重要題型——模式，將其有意識(shí)地記憶下來(lái).當(dāng)遇到一個(gè)新問(wèn)題時(shí)，我們辨認(rèn)它屬于哪一類基本模式，聯(lián)想起一個(gè)已解決問(wèn)題以此索引，在記憶存儲(chǔ)中抽取相應(yīng)的方法來(lái)解決，這就是模式識(shí)別的解題策略.”如果學(xué)生對(duì)平時(shí)的問(wèn)題善于總結(jié)、積累，那么在以后的解題中，就可以迅速地把新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已掌握的類型.直觀想象作為作為六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，恰當(dāng)而合理的使用，確實(shí)會(huì)給一些數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決帶來(lái)事半功倍的效果，就像以上例題中看到的，導(dǎo)數(shù)本身就是研究函數(shù)性質(zhì)的有力工具，有同學(xué)曾感慨道，導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)給函數(shù)的研究插上了翅膀，而其背景下直觀想象素養(yǎng)有效運(yùn)用，相當(dāng)于給函數(shù)的研究又插上了一只翅膀，展開雙翅，這樣也許就會(huì)飛的更高、更遠(yuǎn).

新一輪的課程改革已經(jīng)進(jìn)入了關(guān)鍵時(shí)期，在教育教學(xué)中越來(lái)越強(qiáng)調(diào)要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和學(xué)習(xí)能力.近年來(lái)，高考制度的改革給高中數(shù)學(xué)教學(xué)也帶來(lái)了深刻的變革，在復(fù)習(xí)中教師越來(lái)越注重學(xué)習(xí)方法、解題方法的傳授，而不僅僅只是向?qū)W生傳授基礎(chǔ)的學(xué)科知識(shí).數(shù)學(xué)是學(xué)生學(xué)習(xí)生涯中促進(jìn)其能力發(fā)展、思維提高以及認(rèn)知水平提高的一個(gè)基礎(chǔ)性學(xué)科.但是由于高中數(shù)學(xué)知識(shí)的復(fù)雜性、抽象性使很多學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中望而生畏.教師在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中教學(xué)方式以及教學(xué)理念若運(yùn)用不當(dāng)，就會(huì)使得學(xué)生的學(xué)習(xí)效率低下，表面上每天都沉浸在高壓的學(xué)習(xí)下，但是并沒(méi)有什么太大的效果.因此，教師必須要轉(zhuǎn)變教學(xué)理念和教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不同類型題目的特征進(jìn)行總結(jié)和歸納，掌握不同的解題方法，讓學(xué)生在做題實(shí)踐中體會(huì)數(shù)學(xué)的魅力，

參考文獻(xiàn)：

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[2]蔡勇全.承載函數(shù)壓軸小題的兩個(gè)新熱點(diǎn)——x/e^x與lnx/x.理科考試研究，2019（1）1 -4.