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    基于Newton迭代滾動(dòng)時(shí)域估計(jì)的GPS/SINS緊組合導(dǎo)航技術(shù)

    2019-08-01 02:25:04伍星華戰(zhàn)興群
    導(dǎo)航與控制 2019年3期
    關(guān)鍵詞:導(dǎo)航系統(tǒng)時(shí)域接收機(jī)

    伍星華,戰(zhàn)興群,劉 銘

    (上海交通大學(xué)航空航天學(xué)院,上海201812)

    0 引言

    捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)(Strapdown Inertial Navigation System,SINS)中的陀螺和加速度計(jì)的誤差會(huì)隨時(shí)間累積,因此SINS的精度是隨時(shí)間下降的。GPS具有全球性、全天候的特點(diǎn),高精度和低成本是它的顯著優(yōu)點(diǎn)[1]。但是,GPS也存在一些不足之處,主要表現(xiàn)為:GPS接收機(jī)的工作受載體機(jī)動(dòng)的影響較大,GPS接收機(jī)的數(shù)據(jù)更新頻率低(一般為1Hz),還容易受到干擾和人為控制,在遮擋的情況下(如室內(nèi)、水下、地下及城市峽谷環(huán)境)不能使用[2]。因此,GPS和SINS具有優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)的特點(diǎn),將兩者組合可以構(gòu)建一種比較理想的導(dǎo)航系統(tǒng),是目前組合導(dǎo)航系統(tǒng)的主要形式之一。根據(jù)組合結(jié)構(gòu)、信息交換及組合程度的不同,GPS/SINS的組合方式可以分為松組合、緊組合、超緊組合等模式。由于模型不復(fù)雜,導(dǎo)航精度較高,緊組合的方式被廣泛使用。

    傳統(tǒng)的Kalman濾波算法常被用于GPS/SINS緊組合導(dǎo)航系統(tǒng)以實(shí)現(xiàn)兩者之間的信息融合,然而即使是擴(kuò)展Kalman濾波也未能充分考慮到緊組合導(dǎo)航系統(tǒng)的非線性特性。因此,引入了滾動(dòng)時(shí)域估計(jì)以便更充分地利用系統(tǒng)的多時(shí)歷信息。文獻(xiàn)[3]提出 “有限記憶”估計(jì)以替代Kalman濾波,被認(rèn)為是首次應(yīng)用滾動(dòng)時(shí)域估計(jì)。文獻(xiàn)[4]將此算法引入對(duì)約束線性系統(tǒng)的優(yōu)化估計(jì)問題。

    一直以來,滾動(dòng)時(shí)域估計(jì)(Moving Horizon Estimation,MHE)多被應(yīng)用于控制領(lǐng)域的狀態(tài)估計(jì),這是一個(gè)耗時(shí)的過程。因此,對(duì)于響應(yīng)速度有要求的控制系統(tǒng),往往在未得到最優(yōu)估計(jì)的情況下便被強(qiáng)制反饋到了輸出反饋回路中。這樣,就需要快速的MHE算法,在不犧牲穩(wěn)定性的前提下削減計(jì)算的復(fù)雜度[5]。有關(guān) MHE的文獻(xiàn)[6]~文獻(xiàn)[8],均提出了使用快速技術(shù)進(jìn)行在線優(yōu)化。文獻(xiàn)[9]記錄了基于梯度與Newton法的初步結(jié)果。文獻(xiàn)[10]證明了基于Newton法、MHE算法的系統(tǒng)方程在一般非線性假設(shè)中的局部穩(wěn)定性。

    1 GPS/SINS緊組合導(dǎo)航系統(tǒng)

    在GPS/SINS緊組合中,狀態(tài)方程由SINS誤差狀態(tài)和GPS誤差狀態(tài)組成。將由SINS信息、衛(wèi)星星歷推算出的接收機(jī)相對(duì)于衛(wèi)星視線方向的偽距、偽距率與據(jù)GPS碼環(huán)和載波環(huán)得到的偽距、偽距率相減,作為Kalman濾波器的量測(cè)信息,然后利用Kalman濾波器估計(jì)SINS的誤差量及接收機(jī)鐘差等,最后根據(jù)SINS的誤差量對(duì)SINS進(jìn)行輸出校正或反饋校正。

    1.1 狀態(tài)方程

    SINS以東北天地理坐標(biāo)系為導(dǎo)航坐標(biāo)系,其主要誤差有位置誤差、速度誤差、失準(zhǔn)角、加速度計(jì)常值偏置以及陀螺常值漂移等,SINS的系統(tǒng)狀態(tài)方程為

    式(1)中,F(xiàn)I(t)為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,GI(t)為系統(tǒng)的噪聲矩陣,WI(t)為系統(tǒng)的過程噪聲矢量,XI(t)為系統(tǒng)的誤差狀態(tài)矢量。XI(t)的具體表達(dá)式為

    式(2)中,δx、δy、δz為地心地固坐標(biāo)系3 方向上的位置誤差,為地心地固坐標(biāo)系3方向上的速度Δ誤差,ΔφE、ΔφN、φU為東北天3方向上的失準(zhǔn)角,x、y、z為載體坐標(biāo)系3方向上的加速度計(jì)常值偏置,εx、εy、εz為載體坐標(biāo)系3方向上的陀螺常值漂移。

    GPS的狀態(tài)參數(shù)取2個(gè)時(shí)間相關(guān)的誤差,δtu為接收機(jī)的時(shí)鐘偏差,δfu為接收機(jī)的時(shí)鐘頻漂,則GPS的狀態(tài)方程為

    式(3)中,β為誤差相關(guān)時(shí)間,ωtu、ωfu為驅(qū)動(dòng)噪聲。

    將式(3)改寫為矩陣形式,即有

    合并式(1)和式(4),可得緊組合導(dǎo)航系統(tǒng)的狀態(tài)方程

    1.2 量測(cè)方程

    緊組合系統(tǒng)采用偽距、偽距率組合方式,其量測(cè)方程為

    式(6)中,H(t)為量測(cè)矩陣,V(t)為接收機(jī)在地理坐標(biāo)系下位置與速度的誤差,分別為偽距、偽距率量測(cè)矩陣。

    在地心地固坐標(biāo)系中,設(shè)載體的真實(shí)位置為(x,y,z),SINS 測(cè)量得到的載體位置為 (xI,yI,zI),據(jù)衛(wèi)星星歷給出的衛(wèi)星位置為(xG,yG,zG)。當(dāng)選取4顆可見衛(wèi)星時(shí),偽距和偽距率量測(cè)方程為

    因此,

    其中,li、mi、ni為載體到衛(wèi)星的向量的方向余弦,bclk為與時(shí)鐘誤差等效的距離誤差,dclk為與時(shí)鐘頻率等效的距離率誤差。

    2 滾動(dòng)時(shí)域估計(jì)

    眾所周知,GPS/SINS緊組合導(dǎo)航系統(tǒng)實(shí)質(zhì)上是非線性系統(tǒng)。一般研究時(shí)常將其看作線性系統(tǒng),然后使用Kalman濾波器求解其狀態(tài)方程和量測(cè)方程,或是使用擴(kuò)展Kalman濾波,而擴(kuò)展Kalman濾波的中心思想便是將非線性系統(tǒng)線性化后再做Kalman處理。相比較而言,后者對(duì)導(dǎo)航系統(tǒng)狀態(tài)的估計(jì)更加精確,但其在處理過程中仍然忽略了較多的非線性特性。

    GPS/SINS緊組合導(dǎo)航系統(tǒng)的離散化非線性系統(tǒng)方程為

    類似于滾動(dòng)時(shí)域控制,滾動(dòng)時(shí)域估計(jì)可被描述為基于當(dāng)前和過去的測(cè)量輸出在線重復(fù)求解一個(gè)約束優(yōu)化的問題,即利用滾動(dòng)時(shí)域估計(jì)綜合信息批上多個(gè)時(shí)刻的信息估計(jì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)向量。其中心思想是,在每個(gè)當(dāng)前時(shí)刻,信息批上總有最老的測(cè)量量被最新的測(cè)量量替換掉,然后通過最優(yōu)化信息批的最小平方代價(jià)函數(shù)得到狀態(tài)估計(jì)。

    式(14)的滾動(dòng)時(shí)域估計(jì)依賴于計(jì)算得到的當(dāng)前時(shí)刻t狀態(tài)矢量xt的估計(jì),而對(duì)的估計(jì)則基于yt-N,…,yt,ut-N,…,ut等。其中,N為考慮的信息批的長(zhǎng)度,被稱作滾動(dòng)時(shí)域窗口的寬度。此外,規(guī)定滾動(dòng)窗口的起始時(shí)狀態(tài)估計(jì)xt-N的預(yù)測(cè)值,有

    從而得到最小平方代價(jià)函數(shù)

    在當(dāng)前時(shí)刻t,在以下條件下的最小平方代價(jià)函數(shù)可被最優(yōu)化

    在初始時(shí)刻,應(yīng)當(dāng)首先初始化狀態(tài)估計(jì)值,設(shè)定初始時(shí)刻的先驗(yàn)估計(jì)值,然后根據(jù)圖1所示的流程繼續(xù)優(yōu)化、傳播和預(yù)測(cè)。

    根據(jù)對(duì)滾動(dòng)時(shí)域估計(jì)算法原理的介紹,理論上該算法可比擴(kuò)展Kalman濾波獲得更高的導(dǎo)航精度(此結(jié)論已通過實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果得到證明)。但是,在應(yīng)用該算法前,還應(yīng)考慮以下兩個(gè)問題:

    1)滾動(dòng)時(shí)域估計(jì)需要考慮到多個(gè)歷元時(shí)刻的狀態(tài)信息,計(jì)算量相對(duì)更大,因此計(jì)算速度會(huì)有差距。為保證計(jì)算效率,本文控制了滾動(dòng)時(shí)域窗口的數(shù)量,在仿真時(shí)分別取值N=3、5、7等,以比較不同窗口大小下的導(dǎo)航精度和計(jì)算效率。

    圖1 滾動(dòng)時(shí)域估計(jì)的示意圖Fig.1 Diagram of MHE process

    2)應(yīng)當(dāng)認(rèn)識(shí)到,滾動(dòng)時(shí)域估計(jì)不能被應(yīng)用于線性化緊組合導(dǎo)航系統(tǒng)中。這是由于在線性化系統(tǒng)中,滾動(dòng)時(shí)域估計(jì)的工作原理與擴(kuò)展Kalman濾波一致。

    3 Newton迭代法

    為使?jié)L動(dòng)時(shí)域估計(jì)值快速收斂,應(yīng)采用梯度下降算法。梯度下降算法一般可分為梯度下降法、共軛梯度法和Newton法。

    梯度下降算法形式簡(jiǎn)單,在一般情況下均可保證收斂,但是收斂速度較慢。

    作為二階迭代方法,Newton法需要對(duì)Hessen矩陣及其逆矩陣開展計(jì)算和存儲(chǔ),其收斂速度快,但收斂的穩(wěn)定性不能保證。

    共軛梯度法是介于梯度下降法與Newton法之間的一個(gè)方法,是一個(gè)一階方法。它克服了梯度下降法收斂慢的缺點(diǎn),又避免了存儲(chǔ)和計(jì)算Newton法所需要的二階導(dǎo)數(shù)信息。但是,其形式比前兩者都要復(fù)雜,對(duì)解算效率會(huì)產(chǎn)生較大的損害。

    結(jié)合上面的分析,如果能夠保證Newton迭代方法穩(wěn)定收斂,那么Newton法為最佳的方法。

    在使用Newton法之前,首先應(yīng)證明迭代算法估計(jì)誤差的穩(wěn)定性。

    在x t-N+1附近進(jìn)行T a y l o r展開,可得

    已知α0≤1,于是可以證明Newton迭代法指數(shù)穩(wěn)定。因此,本文采用Newton法作為迭代方法。

    應(yīng)用Newton迭代公式,有

    綜上,本文使用基于Newton法的多步迭代滾動(dòng)時(shí)域估計(jì),其步驟如下:

    1)設(shè)定起始迭代參數(shù)為

    2)當(dāng)m從1迭代到M時(shí),依次有

    4)最終根據(jù)式(26),可解算出結(jié)果

    4 驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)與仿真分析

    慣性數(shù)據(jù)與GPS數(shù)據(jù)采集設(shè)備主要包括:MEMS-IMU、高性能商用型GPS接收機(jī)、實(shí)驗(yàn)車、筆記本電腦等。MEMS是一款基于微機(jī)電的捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng),其主要特點(diǎn)為體積小、質(zhì)量小、集成化、諧振頻率高、響應(yīng)時(shí)間短,由陀螺和加速度計(jì)構(gòu)成。其中,陀螺的敏感度為0.989(″)/脈沖,速度增量為27.5μg×s/脈沖 。圖2為實(shí)驗(yàn)車主要測(cè)量裝置示意圖,由于實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)(Real-time Kinematic,RTK)技術(shù)的定位精度可達(dá)厘米級(jí),故可將RTK數(shù)據(jù)作為參考。

    圖2 實(shí)驗(yàn)車示意圖Fig.2 Diagram of experiment vehicle

    緊組合導(dǎo)航系統(tǒng)可分為硬件部分和軟件部分。硬件部分由導(dǎo)航計(jì)算機(jī)、GPS接收機(jī)、捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)組成;軟件部分即導(dǎo)航程序,主要包括捷聯(lián)慣導(dǎo)解算程序、中頻數(shù)據(jù)處理程序、緊組合導(dǎo)航濾波器等,可完成GPS定位信息和SINS數(shù)據(jù)間的數(shù)據(jù)融合。

    實(shí)驗(yàn)車在不平坦的路面上行駛,在起始時(shí)刻(t=0)時(shí)車輛開始啟動(dòng)。 汽車行駛于北緯 30°54′、東經(jīng)121°40′,實(shí)驗(yàn)區(qū)域?yàn)橐黄_闊地帶,車輛運(yùn)動(dòng)軌跡如圖3所示。

    圖3 實(shí)驗(yàn)車運(yùn)動(dòng)軌跡圖Fig.3 Motion trail diagram of experiment vehicle

    最終,通過緊組合導(dǎo)航系統(tǒng)解算求出的位置濾波誤差和速度濾波誤差的對(duì)比圖如圖4、圖5所示,位置誤差均值比對(duì)和速度誤差均值對(duì)比如表1、表2所示。

    圖4 濾波算法NMHE3、NMHE5和NMHE7位置誤差比較Fig.4 Comparison of NMHE3,NMHE5 and NMHE7 filter algorithm in position error

    圖5 濾波算法NMHE3、NMHE5和NMHE7速度誤差比較Fig.5 Comparison of NMHE3,NMHE5 and NMHE7 filter algorithm in velocity error

    表1 濾波算法NMHE3、NMHE5和NMHE7位置誤差均值對(duì)比Table 1 Comparison of NMHE3,NMHE5 and NMHE7 filter algorithm in mean value of position error

    表2 濾波算法NMHE3、NMHE5和NMHE7速度誤差均值對(duì)比Table 2 Comparison of NMHE3,NMHE5 and NMHE7 filter algorithm in mean value of velocity error

    首先,為比較不同時(shí)域窗口下的MHE算法對(duì)載體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)估計(jì)的精度,分別取窗口數(shù)N=3、5、7,并分別記相應(yīng)的算法為NMHE3、NMHE5、NMHE7。

    圖4顯示NMHE算法均快速收斂,位置誤差曲線光滑,波動(dòng)較?。粓D5顯示速度誤差均在±1m/s范圍內(nèi)振蕩。由表1和表2可知,NMHE5的位置誤差均值比NMHE3的位置誤差均值提升均超過25%,而NMHE7相較于NMHE5僅提升了不到10%;且NMHE5的水平面上速度誤差均值比NMHE3的水平面上速度誤差均值提高了約23%,而NMHE7相較于NMHE5提高了約14%。

    所有計(jì)算都是在PC的Matlab上完成的,PC配置了2.7GHz的Intel Core i7 CPU及16GB的RAM。計(jì)算得到了計(jì)算時(shí)間、導(dǎo)航誤差與滾動(dòng)時(shí)域窗口N之間的折線圖,如圖6所示。

    因此,NMHE5相比NMHE3獲得了較大提升,而NMHE7相比NMHE5改善不是很大。隨著時(shí)域窗口N值的增加,計(jì)算效率線性增大。故綜合考慮,設(shè)置滾動(dòng)時(shí)域窗口值N=5,下文中NMHE如無特殊說明即取N=5。

    圖6 導(dǎo)航誤差和平均計(jì)算時(shí)間折線圖Fig.6 Line chart of navigation error and average computing time

    圖7顯示濾波結(jié)果不再隨著時(shí)間積累而發(fā)散。采用擴(kuò)展 Kalman濾波 (Extended Kalman Filter,EKF)時(shí),東北天三方向的位置誤差是收斂的,但是天向與北向位置誤差的波動(dòng)較大。而本文提出的Newton迭代MHE算法得到的位置誤差振蕩約為15s,可見它的位置誤差不僅可快速收斂,而且曲線光滑,波動(dòng)較小。由圖8可知,采用EKF算法時(shí),得到的東向速度誤差在±0.4m/s范圍內(nèi)振蕩,北向、天向速度誤差在±0.2m/s范圍內(nèi)振蕩,波動(dòng)較大,而改進(jìn)的自適應(yīng)EKF算法所得到的速度誤差在更小的范圍內(nèi)振蕩,穩(wěn)定性較好。

    圖7 NMHE算法與EKF算法位置誤差比較Fig.7 Comparison between NMHE algorithm and EKF algorithm in position error

    圖8 NMHE算法與EKF算法速度誤差比較Fig.8 Comparison between NMHE algorithm andEKF algorithm in velocity error

    表3與表4分別對(duì)比了兩種濾波算法在東北天3個(gè)方向的位置誤差均值和速度誤差均值。從數(shù)據(jù)中可以看出,與EKF算法相比,NMHE算法計(jì)算出的位置誤差和速度誤差較小,確保了GPS/SINS緊組合的導(dǎo)航精度。

    表3 NMHE算法與EKF算法的位置誤差均值對(duì)比Table 3 Comparison between NMHE algorithm and EKF algorithm in mean value of position error

    表4 NMHE算法與EKF算法的速度誤差均值對(duì)比Table 4 Comparison between NMHE algorithm and EKF algorithm in mean value of velocity error

    最后,使用滾動(dòng)時(shí)域估計(jì)算法仿真出實(shí)驗(yàn)車的運(yùn)動(dòng)軌跡,該軌跡接近于精確的RTK軌跡。截取其中一段典型的轉(zhuǎn)彎路段軌跡進(jìn)行對(duì)比,對(duì)比結(jié)果如圖9所示。

    圖9 RTK軌跡與NMHE5仿真軌跡對(duì)比Fig.9 Comparison between RTK trajectory and NMHE5 simulation trajectory

    利用RTK測(cè)量的高精度定位數(shù)據(jù)作為參考,模擬實(shí)驗(yàn)車的實(shí)際軌跡,與新算法NMHE5的仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,滾動(dòng)時(shí)域估計(jì)結(jié)果與真實(shí)軌跡接近,具備較高的定位精度。

    5 結(jié)論

    針對(duì)手機(jī)導(dǎo)航幾乎完全依賴GPS的問題,提出了基于Newton迭代MHE算法的GPS/SINS緊組合導(dǎo)航技術(shù)。該技術(shù)對(duì)手機(jī)內(nèi)置慣導(dǎo)系統(tǒng)的精度要求不高,又可有效提升導(dǎo)航精度,更可提升手機(jī)導(dǎo)航在復(fù)雜環(huán)境中的可用性。

    相對(duì)于傳統(tǒng)EKF算法,基于Newton迭代MHE算法對(duì)位置誤差的估計(jì)精度提高了50%,對(duì)速度誤差的估計(jì)精度提高了1倍以上。因此,在手機(jī)、車載導(dǎo)航等領(lǐng)域,MHE算法有著廣泛的應(yīng)用前景。

    MHE算法的效率和精度互相矛盾,不可兼得,其效率主要取決于滾動(dòng)時(shí)域窗口N的大小。在實(shí)際應(yīng)用過程中,應(yīng)針對(duì)不同場(chǎng)景設(shè)定相應(yīng)的參數(shù)N,如對(duì)高動(dòng)態(tài)載體設(shè)置較大的窗口,對(duì)低動(dòng)態(tài)載體設(shè)置較小的窗口,可以采用自適應(yīng)算法使得窗口大小隨運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化而改變。

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